Los ejemplos son igualmente necesarios para estimular nuestros pensamientos sobre el número. Cuando pensamos en «dos» y «tres», vemos rayas en fila, o bolas en un montón, o alguna otra agregación física de cosas particulares.
La peculiaridad de la geometría es la fijeza y la abrumadora importancia del único ejemplo particular que acude a nuestras mentes. La forma lógica abstracta de las proposiciones, cuando se enuncia por completo, es: "Si cualquier colección de cosas tiene tales y cuales propiedades abstractas, también tiene tales y cuales otras propiedades abstractas".
Pero lo que aparece ante el ojo de la mente es una colección de puntos, líneas, superficies y volúmenes en el espacio; este ejemplo aparece inevitablemente, y es el único ejemplo que confiere a la proposición su interés. Sin embargo, a pesar de toda su abrumadora importancia, no es más que un ejemplo.
La geometría, considerada como una ciencia matemática, es una división de la ciencia más general del orden.
Puede llamarse la ciencia del orden dimensional; la calificación "dimensional" se ha introducido porque las limitaciones, que la reducen a solo una parte de la ciencia general del orden, son tales que producen las relaciones regulares de las líneas rectas con los planos, y de los planos con la totalidad del espacio.
Es fácil comprender la importancia práctica del espacio en la formación de la concepción científica de un mundo físico externo.
Por un lado, nuestras percepciones espaciales están entrelazadas en nuestras diversas sensaciones y las conectan entre sí. Normalmente juzgamos que tocamos un objeto en el mismo lugar en que lo vemos; e incluso en los casos anormales lo tocamos en el mismo espacio en que lo vemos, y este es el hecho real fundamental que une nuestras diversas sensaciones.
En consecuencia, las percepciones del espacio son, en cierto modo, la parte común de nuestras sensaciones.
Por otra parte, sucede que las propiedades abstractas del espacio forman una gran parte de todo aquello que tiene interés espacial. No es exagerado decir que a cada propiedad del espacio le corresponde una declaración matemática abstracta.
Para tomar el ejemplo más desfavorable, una curva puede tener una belleza de forma especial; pero a esta forma le corresponderán algunas propiedades matemáticas abstractas que van con esta forma y con ninguna otra.
Así, para resumir: (1) las propiedades del espacio que se investigan en la geometría, al igual que las del número, son propiedades que pertenecen a las cosas en cuanto cosas, y sin referencia especial a ningún modo particular de aprehensión: (2) La percepción del espacio acompaña a nuestras sensaciones, tal vez a todas ellas, ciertamente a muchas; pero no parece ser una cualidad necesaria de las cosas que todas deban existir en un solo espacio o en cualquier espacio.