de las líneas correspondientes guardan una proporción fija, y las magnitudes de los ángulos correspondientes son iguales. La proporción fija entre las longitudes de las líneas correspondientes en un mapa (o plano) y en el original se denomina escala del mapa. La escala debe indicarse siempre en el margen de todo mapa y
Ya se ha señalado que dos triángulos cuyos ángulos son respectivamente iguales son semejantes. Así, si los dos triángulos 24 y tienen los ángulos en y iguales, y los de y , y los de y , entonces es a en la misma proporción que es a , y que es a .
Pero no es cierto para otras figuras que la semejanza esté garantizada por la mera igualdad de ángulos. Tomemos, por ejemplo, los casos familiares de un rectángulo y un cuadrado.
Sea un cuadrado y un rectángulo. Entonces todos los ángulos correspondientes son iguales. Pero 25 mientras que el lado del cuadrado es igual al lado del rectángulo, el lado del cuadrado mide aproximadamente la mitad del lado del rectángulo. De ahí que no sea verdad que el cuadrado sea semejante al rectángulo .
Esta propiedad peculiar del triángulo, que no comparten otras figuras rectilíneas, la convierte en la figura fundamental en la teoría de la semejanza. De ahí que en topografía la triangulación sea el proceso fundamental; y de ahí surge también la palabra «trigonometría».
derivado de las dos palabras griegas trigonon, triángulo, y metria, medición. La pregunta fundamental de la que surgió la trigonometría es la siguiente: dadas las magnitudes de los ángulos de un triángulo, ¿qué se puede afirmar sobre las magnitudes relativas de los lados?
Nótese que decimos "magnitudes relativas de los lados", ya que, según la teoría de la semejanza, solo se conocen las proporciones de los lados. Para responder a esta pregunta, se introducen ciertas funciones de las magnitudes de un ángulo, considerado como el argumento.
En su origen, estas funciones se obtenían considerando un triángulo rectángulo, y la magnitud del ángulo se definía por la longitud del arco de una circunferencia. En los libros elementales modernos, la posición fundamental del arco de la circunferencia como definidor de la magnitud del ángulo ha quedado relegada a un segundo plano, lo cual no beneficia ni a la teoría ni a la claridad de la explicación.
Debe observarse primero que, en relación con la semejanza, el círculo ocupa la misma posición fundamental entre las figuras curvilíneas que el triángulo entre las figuras rectilíneas. Cualesquiera dos círculos son figuras semejantes; solo se diferencian en la escala. Las longitudes de las circunferencias de dos círculos, como A P A ′ y A 1 P 1 A 1 ′ en la [fig.] 26, son proporcionales a las longitudes de sus radios. Además, si los dos círculos tienen el mismo centro O , al igual que los dos círculos de la [fig.] 26, entonces los arcos A P y A 1 P 1 interceptados por los lados de cualquier ángulo A O P , también son proporcionales a sus radios.