VI. Generalizations of Number

componen una especie de trinidad matemática que preside todo el tema. Todas ellas provienen en realidad de la misma raíz, a saber, de la naturaleza abstracta de la ciencia.

Veamos cómo se gana en generalidad con la introducción de esta idea de operaciones.

Tomemos la ecuación $x + 1 = 3$ ; la solución es $x = 2$ . Aquí podemos interpretar nuestros símbolos como meros números, y el recurso a las «operaciones» es completamente innecesario.

Pero, si $x$ es un mero número, la ecuación $x + 3 = 1$ carece de sentido. Pues $x$ debería ser el número de cosas que quedan cuando has quitado $3$ cosas de $1$ cosa; y tal procedimiento no es posible.

Llegados a este punto interviene nuestra idea de forma algebraica, que no es en sí misma sino una generalización bajo otro aspecto.

Consideramos, por tanto, la ecuación general de la misma forma que $x + 1 = 3$ . Esta ecuación es $x + a = b$ , y su solución es $x = b - a$ .

Aquí nuestras dificultades se agudizan; pues esta forma solo puede utilizarse para la interpretación numérica en tanto que $b$ sea mayor que $a$ , y no podemos afirmar sin reservas que $a$ y $b$ puedan ser cualesquiera constantes.

En otras palabras, hemos introducido una limitación en la variabilidad de las «constantes» $a$ y $b$ , que debemos arrastrar como una cadena a lo largo de todo nuestro razonamiento. Unas investigaciones matemáticas realmente prolongadas serían imposibles bajo tales condiciones. Cada ecuación terminaría por quedar sepultada bajo un montón de limitaciones.

Pero si ahora interpretamos nuestros símbolos como "operaciones", toda limitación desaparece como por arte de magia. La ecuación $x + 1 = 3$ da $x = + 2$ , la ecuación $x + 3 = 1$ da $x = - 2$ , la ecuación $x + a = b$ da $x = b - a$ , que es una operación de suma o resta según sea el caso. Nunca necesitamos decidir si $b - a$ representa la operación de suma o de resta, pues las reglas de procedimiento con los símbolos son las mismas en ambos casos.

No entra en el plan de esta obra escribir un capítulo detallado de álgebra elemental.

Nuestro objetivo es meramente aclarar las ideas fundamentales que guían la formación de la ciencia. En consecuencia, no explicamos con más detalle las reglas minuciosas mediante las cuales los «números positivos y negativos» se multiplican y combinan de otro modo.

Hemos explicado más arriba que los números positivos y negativos son operaciones. También se les ha llamado «pasos». Así, $+ 3$ es el paso por el cual vamos de $2$ a $5$ , y $- 3$ es el paso hacia atrás por el cual vamos de $5$ a $2$ .

Consideremos la línea $O X$ dividida de la manera explicada en la primera parte del capítulo, de modo que sus puntos representen números. Entonces $+ 2$

pg86 es el paso de $O$ a $B$ , o de $A$ a $C$ , o (si las divisiones se toman hacia atrás a lo largo de $O X^{'}$ ) de $C^{'}$ a $A^{'}$ , o de $D^{'}$ a $B^{'}$ , y así sucesivamente. De manera similar, $- 2$ es el paso de $O$ a $B^{'}$ , o de $B^{'}$ a $D^{'}$ , o de $B$ a $O$ , o de $C$ a $A$ .