XIV. Series

Si esta propiedad se cumple, es evidente que, a medida que se avanza en la serie $s_1$, $s_2$, $s_3$, ..., $s_n$, de izquierda a derecha, al cabo de un tiempo se llega a términos que están todos más cerca de $l$ que cualquier número que se quiera asignar.

En otras palabras, uno se aproxima a $l$ tanto como desee.

La estrecha conexión de esta definición del límite de una serie con la definición de función continua dada en el [capítulo] XI será percibida inmediatamente.

Then coming back to the original series $u_1$, $u_2$, $u_3$, , $u_n$, , the limit of the terms of the series $s_1$, $s_2$, $s_3$, , $s_n$, , is called the "sum to infinity" of the original series.

But it is evident that this use of the word "sum" is very artificial, and we must not assume the analogous properties to those of the ordinary sum of a finite number of terms without some special investigation.

Veamos un ejemplo de una "suma hasta el infinito".

Consideremos el decimal periódico $\mathrm{.1111}\dots$. Este decimal no es más que una forma de simbolizar la "suma hasta el infinito" de la serie $\mathrm{.1}$, $\mathrm{.01}$, $\mathrm{.001}$, $\mathrm{.0001}$, etc. La serie correspondiente hallada por sumación es $s_1=\mathrm{.1}$, $s_2=\mathrm{.11}$, $s_3=\mathrm{.111}$, $s_4=\mathrm{.1111}$, etc.

El límite de los términos de esta serie es $\frac{1}{9}$; esto es fácil de ver mediante una división simple, pues $\frac{1}{9}=\mathrm{.1}+\frac{1}{90}=\mathrm{.11}+\frac{1}{900}=\mathrm{.111}+\frac{1}{9000}=\text{etc.}$

Por lo tanto, si se da $\frac{3}{17}$ (el $k$ de la definición), $\mathrm{.1}$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{3}{17}$; si se da $\frac{1}{1000}$ (otra elección para el $k$ de la definición), $\mathrm{.111}$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{1}{1000}$; y así sucesivamente, cualquiera que sea la elección que se haga de $k$.

Es evidente que nada de lo que se ha dicho da la más mínima idea de cómo se ha de hallar la "suma hasta el infinito" de una serie. Simplemente hemos expuesto las condiciones que tal número debe satisfacer.

En efecto, un método general para hallar en todos los casos la suma hasta el infinito de una serie queda intrínsecamente fuera de cuestión, por la sencilla razón de que dicha "suma", tal como se define aquí, no siempre existe.

• Las series que poseen una suma hasta el infinito se llaman convergentes, y aquellas que no poseen una suma hasta el infinito se llaman divergentes.

Un ejemplo obvio de una serie divergente es 1 , 2 , 3 , … , n , es decir, la serie de los enteros en su orden de magnitud. Sea cual fuere el número l que intentes tomar como su suma hasta el infinito, y cualquiera que sea el estándar de aproximación k que elijas, tomando suficientes términos de la serie siempre puedes lograr que su suma difiera de l en más de k . Una vez más, otro ejemplo de una serie divergente es 1 , 1 , 1 , etc., es decir, la serie cuyos términos son todos iguales a 1 . Entonces, la suma de n términos es n , y esta suma crece sin límite a medida que n aumenta.