Hasta ahora, en estos ejemplos de multiplicación hemos considerado al vector como modificado por los vectores y . Obtendremos una pista sobre la ley general de la dirección si invertimos la forma de pensar y consideramos a los vectores y como modificados por el vector .
La ley para la longitud permanece inalterada; la longitud resultante es la longitud del producto de los dos vectores.
La nueva dirección para el ampliado (es decir, ) se encuentra girándolo en la dirección de rotación (antihoraria) desde hacia un ángulo igual al ángulo : es una coincidencia de este caso particular que esta rotación haga que se encuentre a lo largo de la línea .
Consideremos de nuevo el producto de y ; la nueva dirección para el ampliado (es decir, ) se encuentra girando en la dirección de rotación antihoraria un ángulo igual al ángulo , es decir, el ángulo es igual al ángulo .
La regla general para la representación geométrica de la multiplicación puede enunciarse ahora así:
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El producto de los dos vectores y es un vector , cuya longitud es el producto de las longitudes de y y cuya dirección es tal que el ángulo es igual a la suma de los ángulos y .
De ahí que podamos concebir el vector como haciendo girar el vector un ángulo (es decir, ), o el vector como haciendo girar el vector un ángulo (es decir, ).
No demostramos esta ley general, ya que con ello nos veríamos arrastrados a procesos matemáticos más técnicos de los que entran dentro del propósito de este libro.
Pero ahora podemos ver inmediatamente que se cumple la ley asociativa [numerada como () arriba] para la multiplicación. Consideremos primero la longitud del vector resultante; esta se obtiene mediante el proceso ordinario de multiplicación para números reales; y, por tanto, la ley asociativa se cumple para ella.
De nuevo, la dirección del vector resultante se obtiene mediante la mera adición de ángulos, y la ley asociativa también se cumple para este proceso.
Y tanto por lo que respecta a la multiplicación. Hemos indicado ahora rápidamente, al considerar la adición y la multiplicación, cómo se puede construir un álgebra o «cálculo» de vectores en un plano, tal que cualesquiera dos vectores en el plano puedan sumarse, o restarse, y puedan multiplicarse, o dividirse el uno por el otro.
No hemos considerado los detalles técnicos de todos estos procesos porque nos llevaría demasiado lejos en los detalles matemáticos; pero hemos mostrado el modo general de proceder.
Cuando interpretamos nuestros símbolos algebraicos de esta manera, se dice que estamos empleando «cantidades imaginarias» o «cantidades complejas». Estos términos son meros detalles, y tenemos demasiado en qué pensar como para detenernos a averiguar si han sido o no muy afortunadamente elegidos.