plus 0.75em minus 0.25em
Pasaremos ahora a esta cuestión y preguntaremos qué significado nos resultará conveniente asignar a la suma de los dos pares ordenados y . La interpretación debe:
(a) hacer que el resultado de la suma sea otro par ordenado,
(b) hacer que la operación sea conmutativa, de modo que ,
(c) hacer que la operación sea asociativa, de modo que
(d) hacer que el resultado de la resta sea único, de modo que cuando busquemos determinar el par ordenado desconocido para satisfacer la ecuación exista una y sólo una respuesta que podamos representar mediante
Todos estos requisitos se satisfacen haciendo que signifique el par ordenado .
En consecuencia, por definición ponemos
Nótese que aquí hemos adoptado la costumbre matemática de usar el mismo símbolo en diferentes sentidos. El del lado izquierdo de la ecuación tiene el nuevo significado de que acabamos de definir; mientras que los dos del lado derecho tienen el significado de la suma de números positivos y negativos (operaciones) que se definió en el capítulo anterior. De este doble uso no se deriva ninguna confusión práctica.
Como ejemplos de suma tenemos
El significado de la sustracción ya está determinado para nosotros. Encontramos que
Por lo tanto, y y
Es fácil ver que También De aquí que deba considerarse como el par ordenado cero. Por ejemplo
La representación gráfica de la suma de pares ordenados es sorprendentemente sencilla.
10 plus 0.75em minus 0.25em Sean la representación de de modo que y ; y la representación de de modo que y .
Complete el paralelogramo mediante las líneas punteadas y ; entonces la diagonal es el par ordenado .
Pues tracemos paralelo a ; entonces es evidente que los triángulos y son en todos sus aspectos iguales. De ahí que , y y por consiguiente