es el mismo que la razón de cambio de en la tangente en .
Por consiguiente, si disponemos de un método general para determinar la razón de cambio de una función de una variable , podemos determinar la pendiente de la tangente en cualquier punto de una curva, y a partir de ahí podemos trazarla.
Así pues, los problemas de trazar tangentes a una curva y de determinar las razones de cambio de una función son en realidad idénticos.
Se notará que, al igual que en los casos de las Secciones Cónicas y la Trigonometría, el más artificial de los dos puntos de vista es aquel en el que el tema tuvo su origen.
El aspecto realmente fundamental de la ciencia solo cobró prominencia comparativamente tarde. Es una generalización histórica bien fundada que lo último que se descubre en cualquier ciencia es de qué trata realmente dicha ciencia.
Los hombres siguen tanteando a ciegas durante siglos, guiados meramente por un instinto tenue y una curiosidad desconcertada, hasta que por fin «se libera alguna gran verdad».
Tomemos algunos casos especiales para familiarizarnos con el tipo de ideas que queremos precisar.
Un tren está en movimiento; ¿cómo determinaremos su velocidad en un instante dado, digamos, al mediodía?
Podemos tomar un intervalo de cinco minutos que incluya el mediodía, y medir qué distancia ha recorrido el tren en ese período. Supongamos que resulta ser de cinco millas, entonces podemos concluir que el tren corría a razón de millas por hora.
Pero cinco millas es una gran distancia, y no podemos estar seguros de que justo al mediodía el tren se estuviera moviendo a ese ritmo. Al mediodía puede haber estado corriendo a millas por hora, y después se pudo haber aplicado el freno.
Será más seguro trabajar con un intervalo más pequeño, digamos un minuto, que incluya el mediodía, y medir el espacio recorrido durante ese período. Pero para algunos propósitos se puede requerir mayor precisión, y un minuto puede ser demasiado largo.
En la práctica, la imprecisión necesaria de nuestras mediciones hace que sea inútil tomar un período demasiado pequeño para la medición.
Pero en teoría, cuanto menor sea el período, mejor, y nos sentimos tentados a decir que para lograr una precisión ideal se requiere un período infinitamente pequeño. Los matemáticos más antiguos, en particular Leibniz, no solo sintieron la tentación, sino que cayeron en ella y efectivamente lo dijeron. Aún hoy es una manera útil de hablar, siempre que sepamos cómo interpretarla en el lenguaje del sentido común.
Resulta curioso que, en su exposición de los fundamentos del cálculo, Newton, el científico natural, sea mucho más filosófico que Leibniz, el filósofo, y que, por otra parte, Leibniz proporcionara la admirable notación que ha sido tan esencial para el progreso de la disciplina.