aparecen x 2 , x 3 , etc. Asimismo, 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 , x 2 − 3 x + 2 = 0 , x 2 − 4 = 0 , son todas ecuaciones de la misma forma, a saber, ecuaciones que involucran una incógnita x en la que aparece x × x , es decir, x 2 . Estas ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas. Del mismo modo, las ecuaciones cúbicas, en las que aparece x 3 , producen otra forma, y así sucesivamente. Entre las tres ecuaciones cuadráticas dadas arriba hay una diferencia menor entre la última ecuación,
, y las dos ecuaciones precedentes, debido al hecho de que (a diferencia de ) no aparece en la última y sí en las otras dos. Esta distinción es muy poco importante en comparación con el gran hecho de que las tres son ecuaciones cuadráticas.
Luego, además, existen las formas de ecuación que expresan correlaciones entre dos variables; por ejemplo, , , y así sucesivamente.
Estos son ejemplos de lo que se denomina la forma lineal de ecuación. La razón de este nombre de «lineal» es que el método gráfico de representación, que se explica al final de II, siempre representa tales ecuaciones mediante una línea recta.
Luego hay otras formas para dos variables—por ejemplo, la forma cuadrática, la forma cúbica, y así sucesivamente. Pero el punto en el que insistimos aquí es que este estudio de la forma se ve facilitado, y de hecho hecho posible, por el método estándar de escribir ecuaciones con el símbolo en el lado derecho.
Existe además otra función que cumple el en relación con el estudio de la forma. Cualquiera que sea el número , y .
Por medio de estas propiedades se pueden asimilar pequeñas diferencias de forma. Así, la diferencia mencionada anteriormente entre las ecuaciones cuadráticas y puede borrarse escribiendo esta última ecuación en la forma .
Pues, según las leyes enunciadas anteriormente, .
De ahí que la ecuación sea meramente representativa de una clase particular de ecuaciones cuadráticas y pertenezca a la misma forma general que .
Por estas tres razones el símbolo , que representa el número cero, es esencial para las matemáticas modernas. Ha hecho posibles tipos de investigación que habrían sido imposibles sin él.
El simbolismo de las matemáticas es, en verdad, el resultado de las ideas generales que dominan la ciencia.
Tenemos ahora ante nosotros dos de esas ideas generales: la de variable y la de forma algebraica.
La unión de estos conceptos ha impuesto a las matemáticas otro tipo de simbolismo, casi pintoresco en su carácter, pero no menos eficaz.
Hemos visto que una ecuación que involucra dos variables, x e y , representa una correlación particular entre el par de variables.