El resto de este capítulo debe dedicarse a la explicación de ideas notables que son fundamentales, tanto para la física matemática como para las matemáticas puras: estas son las ideas de las magnitudes vectoriales y la ley del paralelogramo para la suma de vectores.
Hemos visto que la esencia del movimiento es que un cuerpo estaba en y ahora está en . Esta transferencia de a requiere que se establezcan dos elementos distintos antes de quedar completamente determinada, a saber, su magnitud (es decir, la longitud ) y su dirección. Ahora bien, cualquier cosa, como esta transferencia, que viene dada por completo mediante la determinación de una magnitud y una dirección, se denomina vector.
Por ejemplo, una velocidad requiere para su definición la asignación de una magnitud y de una dirección. Debe ser de tantas millas por hora en tal o cual dirección.
La existencia y la independencia de estos dos elementos en la determinación de una velocidad quedan bien ilustradas por la acción del capitán de un barco, quien se comunica con diferentes subordinados respecto a ellos:
- le indica al jefe de máquinas el número de nudos a los que debe navegar,
- y al timonel el rumbo de la brújula que debe mantener.
Nuevamente, la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la velocidad añadida por unidad de tiempo, es también una cantidad vectorial: se denomina aceleración.
Del mismo modo, una fuerza en el sentido dinámico es otra cantidad vectorial. Ciertamente, la naturaleza vectorial de las fuerzas se deduce inmediatamente, según los principios dinámicos, de la de las velocidades y aceleraciones; pero este es un punto en el que no necesitamos profundizar. Basta con decir aquí que una fuerza actúa sobre un cuerpo con una cierta magnitud en una cierta dirección.
Ahora todos los vectores pueden representarse gráficamente mediante líneas rectas. Todo lo que hay que hacer es disponer:
- (i) una escala según la cual las unidades de longitud correspondan a las unidades de magnitud del vector; por ejemplo, una pulgada a una velocidad de millas por hora en el caso de las velocidades, y una pulgada a una fuerza de toneladas de peso en el caso de las fuerzas; y
- (ii) una dirección de la línea en el diagrama que corresponda a la dirección del vector.
Entonces, una línea trazada con el número adecuado de pulgadas de longitud en la dirección adecuada representa el vector requerido en la escala de magnitud asignada arbitrariamente. Esta representación diagramática de vectores es de la máxima importancia. Con su ayuda podemos enunciar la famosa «ley del paralelogramo» para la suma de vectores del mismo tipo pero de diferentes direcciones.
Consideremos el vector de la [figura] 6 como representante de la posición modificada de un cuerpo desde hasta : lo denominaremos vector de traslación. Se observará que, si la reducción de los fenómenos físicos a meros cambios de posición, tal como se ha explicado anteriormente, es correcta, todos los demás tipos de vectores físicos son en realidad reductibles de una u otra forma a este único tipo.
Ahora el transporte final de A a C se efectúa igualmente bien mediante un transporte de A a B y un transporte de B a C , o, completando el paralelogramo A B C D , mediante un transporte de A a D y un