Détase el umbilico S, el punto P, y la tangente TR, y hágase de hallar el otro umbilico H. A la tangente bájese una perpendicular ST, y prodúzcase la misma hasta Y, de modo que TY sea igual a ST, y YH será igual al eje transverso. Únase SP, HP y SP será la diferencia entre HP y el eje transverso.
De este modo, si se dan varias tangentes TR, o varios puntos P, se llegará siempre a otras tantas líneas YH, o PH, trazadas desde dichos puntos Y o P hasta el umbilico H, las cuales o son iguales a los ejes, o difieren de los mismos en longitudes dadas SP, y por consiguiente o son iguales entre sí, o tienen diferencias dadas; y de ahí, por el Lema anterior, se da aquel otro umbilico H.
Mas tenidos los umbilicos juntamente con la longitud del eje (la cual o es YH, o si la Trayectoria es una Elipse, PH + SP; mas si es Hipérbola PH - SP), se tiene la Trayectoria. Q. E. I.
# Escolio.
Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, inq; GS infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A Page 69 vertex, & Aa axis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut GA minor, æqualis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto a in primo casu cadente ad eandem partem lineæ GK cum puncto A; in secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineæ GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectæ omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.