Capítulo I Intuición y lógica en las matemáticas

# CAPÍTULO I

# Intuición y Lógica en las Matemáticas

I

Es imposible estudiar las obras de los grandes matemáticos, o incluso las de los menores, sin notar y distinguir dos tendencias opuestas, o más bien dos tipos de mentes completamente diferentes.

• Los primeros están sobre todo preucupados por la lógica; al leer sus obras, uno se tienta a creer que solo han avanzado paso a paso, a la manera de un Vauban que extiende sus trincheras contra la plaza asediada, sin dejar nada al azar.
• Los segundos se guían por la intuición y de un primer golpe realizan conquistas rápidas pero a veces precarias, como audaces jinetes de la vanguardia.

El método no se impone por la materia tratada. Aunque a menudo se diga de los primeros que son analistas y se llame a los otros geómetras, eso no impide que los unos sigan siendo analistas aun cuando trabajan en geometría, mientras que los otros siguen siendo geómetras aun cuando se ocupan del análisis puro. Es la naturaleza misma de su espíritu la que los hace lógicos o intuicionistas, y no pueden despojarse de ella cuando abordan un tema nuevo.

Tampoco es la educación la que ha desarrollado en ellos una de las dos tendencias y ahogado la otra. El matemático nace, no se hace, y parece que nace geómetra o analista. Me gustaría citar ejemplos y seguro que hay de sobra; pero para acentuar el contraste empezaré con un ejemplo extremo, tomándome la libertad de buscarlo en dos matemáticos vivos.

M. Méray quiere demostrar que una ecuación binomial siempre tiene una raíz, o, en palabras corrientes, que un ángulo siempre puede subdividirse.

Si hay alguna verdad que creamos conocer por intuición directa, es esta. ¿Quién podría dudar de que un ángulo siempre puede dividirse en cualquier número de partes iguales? M. Méray no lo ve de ese modo; a sus ojos esta proposición no es en absoluto evidente y para demostrarla necesita varias páginas.

Por otra parte, consideremos al profesor Klein: él está estudiando una de las cuestiones más abstractas de la teoría de las funciones: determinar si en una superficie de Riemann dada existe siempre una función que admita determinadas singularidades.

¿Qué hace el célebre geómetra alemán? Reemplaza su superficie de Riemann por una superficie metálica cuya conductividad eléctrica varía según ciertas leyes. Conecta dos de sus puntos con los dos polos de una batería. La corriente, dice él, debe pasar, y la distribución de esta corriente sobre la superficie definirá una función cuyas singularidades serán precisamente aquellas exigidas por el enunciado.

Sin duda, el profesor Klein sabe muy bien que aquí solo ha ofrecido un esbozo; sin embargo, no ha dudado en publicarlo; y probablemente crea hallar en él, si no una demostración rigurosa, al menos una especie de certeza moral. Un lógico habría rechazado con horror semejante concepción, o más bien no habría tenido que rechazarla, porque en su mente jamás se habría originado.

Nuevamente, permítanme comparar a dos hombres, honor de la ciencia francesa, que recientemente nos han sido arrebatados, pero que ambos entraron hace tiempo en la inmortalidad. Hablo del Sr. Bertrand y del Sr. Hermite.

Eran académicos de la misma escuela al mismo tiempo; tuvieron la misma educación, estuvieron bajo las mismas influencias; y sin embargo, ¡qué diferencia! No solo resplandece en sus escritos; está en su enseñanza, en su manera de hablar, en su misma mirada.

En la memoria de todos sus alumnos estos dos rostros están grabados con trazos inmortales; para todos los que han tenido el placer de seguir su enseñanza, este recuerdo aún está fresco; nos es fácil evocarlo.

Mientras habla, M. Bertrand está siempre en movimiento; ora parece en combate con algún enemigo exterior, ora delinea con un gesto de la mano las figuras que estudia. Claramente ve y está ávido por pintar, por eso acude el gesto en su ayuda.

Con M. Hermite, ocurre exactamente lo contrario; sus ojos parecen huir del contacto con el mundo; no es afuera, es adentro donde busca la visión de la verdad.

Entre los geómetras alemanes de este siglo, dos nombres sobre todos son ilustres, los de los dos científicos que fundaron la teoría general de funciones, Weierstrass y Riemann.

Weierstrass lo reduce todo a la consideración de las series y de sus transformaciones analíticas; para decirlo mejor, reduce el análisis a una especie de prolongación de la aritmética; se pueden hojear todos sus libros sin encontrar una sola figura.

Riemann, por el contrario, llama en seguida a la geometría en su ayuda; cada una de sus concepciones es una imagen que nadie puede olvidar una vez que ha comprendido su significado.

Más recientemente, Lie fue un intuicionista; esto podría haberse dudado al leer sus libros, nadie podía dudarlo después de hablar con él; uno veía de inmediato que pensaba en imágenes.

Madame Kovalevski era una lógica.

Entre nuestros alumnos notamos las mismas diferencias; unos prefieren tratar sus problemas «por el análisis», otros «por la geometría». Los primeros son incapaces de «ver en el espacio», los otros se cansan rápidamente de los largos cálculos y se quedan perplejos.

Los dos tipos de mentes son igualmente necesarios para el progreso de la ciencia; tanto los lógicos como los intuicionistas han logrado grandes cosas que otros no habrían podido hacer.

¿Quién se atrevería a decir si prefiere que Weierstrass nunca hubiera escrito o que nunca hubiera existido un Riemann?

El análisis y la síntesis tienen, pues, ambos sus papeles legítimos. Pero es interesante estudiar más de cerca en la historia de la ciencia la parte que le corresponde a cada uno.

II

¡Extraño! Si leemos las obras de los antiguos, sentimos la tentación de clasificarlos a todos entre los intuicionistas. Y, sin embargo, la naturaleza es siempre la misma; es poco probable que haya comenzado en este siglo a crear mentes devotas de la lógica. Si pudiéramos sumergirnos en el flujo de ideas que reinaba en su época, reconoceríamos que muchos de los antiguos geómetras eran analistas por tendencia.

Euclides, por ejemplo, levantó una estructura científica en la que sus contemporáneos no pudieron hallar tacha. En esta vasta construcción, cuya pieza sin embargo se debe a la intuición, todavía hoy podemos reconocer, sin gran esfuerzo, la obra de un lógico.

No son las mentes las que han cambiado, son las ideas; las mentes intuitivas han permanecido iguales; pero sus lectores les han exigido mayores concesiones.

¿Cuál es la causa de esta evolución? No es difícil de hallar.

La intuición no puede darnos el rigor, ni siquiera la certeza; esto se ha reconocido cada vez más. Citemos algunos ejemplos. Sabemos que existen funciones continuas que carecen de derivadas. Nada hay más chocante para la intuición que esta proposición que nos impone la lógica. Nuestros padres no habrían dejado de decir:

«Es evidente que toda función continua tiene una derivada, puesto que toda curva tiene una tangente».

¿Cómo puede engañarnos la intuición en este punto? Es porque cuando tratamos de imaginar una curva no podemos representárnosla a nosotros mismos sin anchura; así también, cuando nos representamos una línea recta, la vemos bajo la forma de una banda rectilínea de una cierta anchura.

Bien sabemos que estas líneas no tienen anchura; tratamos de imaginarlas cada vez más estrechas y de aproximarnos así al límite; eso hacemos en cierta medida, pero nunca alcanzaremos este límite.

Y entonces es evidente que siempre podemos figurarnos estas dos bandas estrechas, una recta, una curva, en una posición tal que se invadan ligeramente la una a la otra sin cruzarse. Seremos así conducidos, a menos que nos advierta un análisis riguroso, a concluir que una curva siempre tiene una tangente.

Tomaré como segundo ejemplo el principio de Dirichlet, sobre el que descansan tantos teoremas de la física matemática; hoy lo establecemos mediante un razonamiento muy riguroso pero muy largo; antaño, por el contrario, nos contentábamos con una demostración muy sumaria.

Cierta integral dependiente de una función arbitraria jamás puede anularse. De ahí se concluye que debe tener un mínimo. El fallo de este razonamiento nos choca de inmediato, ya que empleamos el término abstracto función y estamos familiarizados con todas las singularidades que las funciones pueden presentar cuando la palabra se entiende en su sentido más general.

Pero no habría sido lo mismo si hubiésemos empleado imágenes concretas, si, por ejemplo, hubiéramos considerado esta función como un potencial eléctrico; se habría considerado legítimo afirmar que el equilibrio electrostático puede ser alcanzado.

Sin embargo, tal vez una comparación física habría despertado cierta vaga desconfianza.

Pero si se hubiera tenido el cuidado de traducir el razonamiento al lenguaje de la geometría, intermedio entre el del análisis y el de la física, indudablemente esta desconfianza no se habría producido, y tal vez así se podría, aún hoy, engañar todavía a muchos lectores no advertidos.

La intuición, por lo tanto, no nos da certeza. Por esto tuvo que producirse la evolución; veamos ahora cómo sucedió.

No tardó en notarse que el rigor no podía introducirse en el razonamiento a menos que se hiciera entrar primero en las definiciones.

En su mayor parte, los objetos de los que trataban los matemáticos estuvieron mal definidos durante mucho tiempo; se suponía que eran conocidos porque se representaban por medio de los sentidos o de la imaginación; pero de ellos solo se tenía una imagen burda y no una idea precisa de la que pudiera aferrarse el razonamiento. Fue allí donde los lógicos tuvieron que dirigir sus esfuerzos en primer lugar.

Así, en el caso de los números incomensurables, la vaga idea de la continuidad, que debemos a la intuición, se disolvió en un complicado sistema de desigualdades referidas a números enteros.

Por este medio, las dificultades que surgen al pasar al límite, o de la consideración de los infinitésimos, quedan finalmente eliminadas.

Hoy en día, en el análisis solo quedan números enteros o sistemas, finitos o infinitos, de números enteros unidos por una red de relaciones de igualdad o desigualdad. Las matemáticas, como suele decirse, están aritmetizadas.

III

Se presenta una primera pregunta. ¿Ha terminado esta evolución? ¿Hemos alcanzado por fin el rigor absoluto? En cada etapa de la evolución nuestros padres también pensaron que lo habían logrado. Si ellos se engañaron, ¿no nos engañamos nosotros asimismo?

Creemos que en nuestros razonamientos ya no apelamos a la intuición; los filósofos nos dirán que esto es una ilusión. La lógica pura nunca podría conducirnos más que a tautologías; no podría crear nada nuevo; no puede surgir ninguna ciencia de ella sola.

En cierto sentido, estos filósofos tienen razón; para hacer aritmética, como para hacer geometría, o para hacer cualquier ciencia, es necesario algo más que la lógica pura. Para designar este algo más no tenemos otra palabra que intuición. Pero, ¿cuántas ideas diferentes se esconden bajo esta misma palabra?

Compare these four axioms: (1) Two quantities equal to a third are equal to one another; (2) if a theorem is true of the number 1 and if we prove that it is true of n + 1 if true for n, then will it be true of all whole numbers; (3) if on a straight the point C is between A and B and the point D between A and C, then the point D will be between A and B; (4) through a given point there is not more than one parallel to a given straight.

Las cuatro se atribuyen a la intuición, y sin embargo la primera es el enunciado de una de las reglas de la lógica formal; la segunda es un juicio sintético a priori real, es el fundamento de la inducción matemática rigurosa; la tercera es un llamamiento a la imaginación; la cuarta es una definición disimulada.

La intuición no se funda necesariamente en el testimonio de los sentidos; los sentidos pronto se volverían impotentes; por ejemplo, no podemos representarnos un quiliágono, y sin embargo razonamos por intuición sobre los polígonos en general, que incluyen al quiliágono como un caso particular.

Ya sabéis lo que entendía Poncelet por el principio de continuidad.

Lo que es verdad de una cantidad real, decía Poncelet, debe ser verdad de una cantidad imaginaria; lo que es verdad de la hipérbola cuyas asíntotas son reales, debe serlo entonces de la elipse cuyas asíntotas son imaginarias.

Poncelet fue uno de los espíritus más intuitivos de este siglo; lo era de manera apasionada, casi ostentosa; consideraba el principio de continuidad como una de sus concepciones más audaces, y sin embargo este principio no descansaba en la evidencia de los sentidos.

Asimilar la hipérbola a la elipse era más bien contradecir esta evidencia. No era sino una especie de generalización precoz e instintiva que, por lo demás, no tengo deseo de defender.

Tenemos, pues, muchas clases de intuición; primero, la apelación a los sentidos y a la imaginación; después, la generalización por inducción, copiada, por decirlo así, de los procedimientos de las ciencias experimentales; por último, tenemos la intuición del número puro, de donde surge el segundo de los axiomas recién enunciados, que es capaz de crear el verdadero razonamiento matemático.

He demostrado más arriba con ejemplos que las dos primeras no pueden darnos certeza; mas ¿quién dudará seriamente de la tercera, quién dudará de la aritmética?

Ahora bien, en el análisis de hoy, cuando uno se toma la molestia de ser riguroso, no puede haber más que silogismos o apelaciones a esta intuición del número puro, la única intuición que no puede engañarnos. Puede decirse que hoy se ha alcanzado el rigor absoluto.

IV

Los filósofos presentan todavía otra objeción:

«Lo que ganáis en rigor —dicen—, lo perdéis en objetividad. Solo podéis elevaros hacia vuestro ideal lógico cortando los lazos que os unen a la realidad. Vuestra ciencia es infalible, pero solo puede seguir siéndolo encerrándose en una torre de marfil y renunciando a toda relación con el mundo exterior. De este aislamiento deberá salir cuando intente la más mínima aplicación».

Por ejemplo, busco demostrar que cierta propiedad pertenece a un objeto cuyo concepto me parece al principio indefinible, porque es intuitivo. Al principio fracaso o debo contentarme con pruebas aproximadas; finalmente decido dar a mi objeto una definición precisa, y esto me permite establecer esta propiedad de manera irreprochable.

«Y después», dicen los filósofos, «todavía queda por demostrar que el objeto que corresponde a esta definición es, en efecto, el mismo que os da a conocer la intuición; o bien que algún objeto real y concreto cuya conformidad con vuestra idea intuitiva creéis reconocer inmediatamente corresponde a vuestra nueva definición.

Solo entonces podríais afirmar que posee la propiedad en cuestión. No habéis hecho más que desplazar la dificultad».

Eso no es exactamente así; la dificultad no ha sido desplazada, ha sido dividida. La proposición que debía establecerse estaba compuesta en realidad de dos verdades diferentes, al principio no distinguidas.

• La primera era una verdad matemática, y ahora está rigurosamente establecida.
• La segunda era una veracidad experimental.

La experiencia sola puede enseñarnos que algún objeto real y concreto corresponde o no corresponde a alguna definición abstracta. Esta segunda veracidad no está demostrada matemáticamente, pero tampoco puede estarlo, ni más de lo que pueden estarlo las leyes empíricas de las ciencias físicas y naturales. Sería irrazonable pedir más.

Bien, ¿no es un gran avance haber distinguido lo que durante mucho tiempo se confundió erróneamente? ¿Significa esto que no queda nada de esta objeción de los filósofos? Eso no pretendo decir; al volverse rigurosa, la ciencia matemática adquiere un carácter tan artificial que llama la atención de cualquiera; olvida sus orígenes históricos; vemos cómo se puede responder a las preguntas, ya no vemos cómo ni por qué se plantean.

Esto nos muestra que la lógica no basta; que la ciencia de la demostración no lo es todo y que la intuición debe conservar su papel como complemento, estuve a punto de decir que como contrapeso o como antídoto de la lógica.

Ya he tenido ocasión de insistir en el puesto que la intuición debe ocupar en la enseñanza de las ciencias matemáticas. Sin ella, las mentes jóvenes no podrían dar inicio a la comprensión de las matemáticas; no podrían aprender a amar las y verían en ellas solo una vana logomaquia; sobre todo, sin la intuición nunca llegarían a ser capaces de aplicar las matemáticas.

Pero ahora deseo ante todo hablar del papel de la intuición en la ciencia misma. Si es útil para el estudiante, lo es aún más para el científico creador.

V

Buscamos la realidad, pero ¿qué es la realidad? Los fisiólogos nos dicen que los organismos están formados por células; los químicos añaden que las células mismas están formadas por átomos.

¿Significa esto que estos átomos o estas células constituyen la realidad, o más bien la única realidad?

La manera en que estas células están dispuestas y de la cual resulta la unidad del individuo, ¿no es también una realidad mucho más interesante que la de los elementos aislados, y debería un naturalista que jamás hubiera estudiado el elefante sino por medio del microscopio considerarse suficientemente familiarizado con ese animal?

Pues bien, hay algo análogo a esto en las matemáticas. El lógico desmenuza, por decirlo así, cada demostración en un número muy gran de operaciones elementales; cuando hemos examinado estas operaciones una tras otra y comprobado que cada una es correcta, ¿hemos de pensar que hemos comprendido el verdadero significado de la demostración?

¿La habremos comprendido incluso cuando, mediante un esfuerzo de memoria, seamos capaces de repetir esta prueba reproduciendo todas estas operaciones elementales exactamente en el orden en que el inventor las había dispuesto?

Evidentemente no; todavía no poseeremos la realidad entera; ese no sé qué, que constituye la unidad de la demostración, se nos escapará por completo.

El análisis puro pone a nuestra disposición una multitud de procedimientos cuya infalibilidad nos garantiza; nos abre mil caminos diferentes por los que podemos embarcarnos con toda confianza; tenemos la seguridad de no encontrar en ellos ningún obstáculo; pero de todos estos caminos, ¿cuál nos conducirá más rápidamente a nuestra meta? ¿Quién nos dirá cuál elegir?

Necesitamos una facultad que nos haga ver el fin desde lejos, y la intuición es esta facultad. Es necesaria al explorador para elegir su ruta; no lo es menos para quien sigue su rastro y quiere saber por qué la eligió.

Si uno está presente en una partida de ajedrez, no bastará, para la comprensión del juego, con conocer las reglas para mover las piezas. Eso solo permitirá reconocer que cada movimiento se ha realizado de conformidad con dichas reglas, y este conocimiento tendrá verdaderamente muy poco valor.

Sin embargo, esto es lo que haría el lector de un libro de matemáticas si fuera únicamente un lógico. Comprender el juego es totalmente otro asunto; es saber por qué el jugador mueve esta pieza en lugar de esa otra que podría haber movido sin infringir las reglas del juego. Es percibir la razón íntima que hace de esta serie de movimientos sucesivos una especie de todo organizado.

Esta facultad es todavía más necesaria para el jugador mismo, es decir, para el inventor.

Dejemos esta comparación y volvamos a las matemáticas. Vean, por ejemplo, qué ha ocurrido con la idea de función continua.

En un principio esto no era más que una imagen sensible, por ejemplo, la de una traza continua trazada por la tiza en una pizarra.

Luego se fue perfeccionando poco a poco; muy pronto se utilizó para construir un sistema complicado de desigualdades, que reproducía, por decirlo así, todas las líneas de la imagen original; terminada esta construcción, se retiró, por decirlo así, la cimbra del arco, se rechazó aquella representación burda que temporalmente había servido de apoyo y que después resultaba inútil; no quedó más que la construcción misma, irreprochable a los ojos del lógico.

Y sin embargo, si la imagen primitiva hubiera desaparecido por completo de nuestro recuerdo, ¿cómo podríamos adivinar por qué capricho todas estas desigualdades se levantaron de este modo unas sobre otras?

Quizá penséis que uso demasiadas comparaciones; pero perdonadme una más.

Sin duda habéis visto esos delicados conjuntos de agujas silíceas que forman el esqueleto de ciertas esponjas. Cuando la materia orgánica ha desaparecido, solo queda un encaje frágil y elegante. Es verdad que allí no hay nada excepto sílice, pero lo interesante es la forma que ha adoptado esta sílice, y no podríamos comprenderla si no conociéramos la esponja viva que le ha dado precisamente esta forma.

Así ocurre que las viejas nociones intuitivas de nuestros padres, aun cuando las hayamos abandonado, siguen imprimiendo su forma en las construcciones lógicas que hemos puesto en su lugar.

Esta visión del conjunto es necesaria para el inventor; es igualmente necesaria para quien quiera comprender realmente al inventor. ¿Puede la lógica dábanosla? No; el nombre que los letrados le dan bastaría para probarlo. En las matemáticas, la lógica se llama análisis y análisis significa división, disección. No puede tener, por consiguiente, otra herramienta que el bisturí y el microscopio.

Así, la lógica y la intuición tienen cada una su papel necesario. Cada una es indispensable. La lógica, que sola puede dar la certeza, es el instrumento de la demostración; la intuición es el instrumento de la invención.

VI

Pero en el momento de formular esta conclusión me asaltan los escrúpulos. Al principio distinguí dos clases de mentes matemáticas, las unas lógicas y analistas, las otras intuicionistas y geómetras. Pues bien, los analistas también han sido inventores. Los nombres que acabo de citar hacen innecesaria mi insistencia en esto.

He aquí una contradicción, al menos en apariencia, que necesita explicación.

Y en primer lugar, ¿creéis que estos lógicos han procedido siempre de lo general a lo particular, como las reglas de la lógica formal parecerían exigirles? No de este modo habrían podido extender los límites de la ciencia; la conquista científica solo se logra mediante la generalización.

En uno de los capítulos de «Ciencia e hipótesis», he tenido ocasión de estudiar la naturaleza del razonamiento matemático, y he mostrado cómo este razonamiento, sin dejar de ser absolutamente riguroso, podía elevarnos de lo particular a lo general mediante un procedimiento que he llamado inducción matemática.

Es mediante este procedimiento como los analistas han hecho progresar a la ciencia, y si examinamos el detalle mismo de sus demostraciones, lo encontraremos allí a cada instante junto al silogismo clásico de Aristóteles.

Vemos, por lo tanto, ya desde ahora, que los analistas no son meros hacedores de silogismos a la manera de los escolásticos.

Además, ¿creéis que siempre han marchado paso a paso sin ninguna visión de la meta que querían alcanzar? Deben de haber adivinado el camino que conducía hasta allí, y para ello necesitaban un guía.

Este guía es, en primer lugar, la analogía. Por ejemplo, uno de los métodos de demostración queridos por los analistas es el fundado en el empleo de las funciones dominantes. Sabemos que ya ha servido para resolver una multitud de problemas; ¿en qué consiste entonces el papel del inventor que desea aplicarlo a un nuevo problema? De entrada, debe reconocer la analogía de esta cuestión con aquellas que ya han sido resueltas mediante este método; luego debe percibir en qué difiere esta nueva cuestión de las otras, y deducir de ello las modificaciones necesarias para aplicar el método.

¿Pero cómo se perciben estas analogías y estas diferencias?

En el ejemplo que acabo de citar son casi siempre evidentes, pero podría haber encontrado otros en los que habrían estado mucho más profundamente ocultas; a menudo es necesaria una penetración muy poco común para descubrirlas. Los analistas, para no dejar escapar estas analogías ocultas, es decir, para ser inventores, deben poseer, sin la ayuda de los sentidos y la imaginación, un sentido directo de lo que constituye la unidad de un razonamiento, de lo que hace, por decirlo así, su alma y su vida más íntima.

Cuando se hablaba con M. Hermite, este nunca evocaba una imagen sensorial, y sin embargo uno pronto percibía que las entidades más abstractas eran para él como seres vivos. No las veía, pero percibía que no son un agregado artificial y que poseen algún principio de unidad interna.

Pero, se dirá, eso sigue siendo intuición. ¿Concluiremos que la distinción hecha al principio era solo aparente, que hay una sola clase de espíritu y que todos los matemáticos son intuicionistas, al menos aquellos que son capaces de inventar?

No, nuestra distinción corresponde a algo real. He dicho más arriba que hay muchas clases de intuición. He dicho cuánto difiere la intuición del número puro, de donde procede la inducción matemática rigurosa, de la intuición sensible a la que la imaginación, propiamente dicha, es la principal colaboradora.

¿Es menos profundo de lo que a primera vista parecía el abismo que los separa? ¿Podríamos reconocer, con un poco de atención, que esta intuición pura en sí misma no podría prescindir de la ayuda de los sentidos?

Esto es asunto del psicólogo y del metafísico, y no discutiré la cuestión. Pero basta con que la cosa sea dudosa para justificarme al reconocer y afirmar una diferencia esencial entre los dos tipos de intuición; no tienen el mismo objeto y parecen poner en juego dos facultades diferentes de nuestra alma; se diría que son dos reflectores dirigidos hacia dos mundos ajenos el uno al otro.

Es la intuición del número puro, la de las formas lógicas puras, la que ilumina y dirige a los que hemos llamado analistas. Ella es la que les permite no solo demostrar, sino también inventar. Por ella perciben de un vistazo el plano general de un edificio lógico, y ello sin que los sentidos parezcan intervenir.

Al rechazar la ayuda de la imaginación, que, como hemos visto, no siempre es infalible, pueden avanzar sin temor a engañarse. ¡ Dichosos, por tanto, los que pueden prescindir de esta ayuda! Debemos admirarlos; ¡pero cuán raros son!

Entre los analistas habrá entonces inventores,但 serán pocos. La mayoría de nosotros, si quisiéramos ver lejos mediante la pura intuición sola, pronto nos sentiríamos presa del vértigo. Nuestra debilidad necesita un bastón más sólido y, a pesar de las excepciones de las que acabamos de hablar, no es menos cierto que la intuición sensible es en matemáticas el instrumento más habitual de invención.

A propósito de estas reflexiones, surge una cuestión que no tengo tiempo ni de resolver ni siquiera de enunciar con los desarrollos que admitiría. ¿Hay lugar para una nueva distinción, para distinguir entre los analistas a aquellos que ante todo utilizan la intuición pura y aquellos que se preocupan en primer lugar por la lógica formal?

M. Hermite, por ejemplo, a quien acabo de citar, no puede ser clasificado entre los geómetras que hacen uso de la intuición sensible; pero tampoco es un lógico, propiamente dicho. No oculta su aversión por los procedimientos puramente deductivos que parten de lo general y terminan en lo particular.

# CAPÍTULO II

# La medida del tiempo

I

Mientras no salgamos del dominio de la conciencia, la noción de tiempo es relativamente clara. No solo distinguimos sin dificultad la sensación presente del recuerdo de sensaciones pasadas o de la anticipación de sensaciones futuras, sino que sabemos perfectamente lo que queremos decir cuando afirmamos que, de dos fenómenos conscientes que recordamos, uno fue anterior al otro; o que, de dos fenómenos conscientes previstos, uno será anterior al otro.

Cuando decimos que dos hechos conscientes son simultáneos, queremos decir que se interpenetran profundamente, de modo que el análisis no puede separarlos sin mutilarlos.

El orden en que disponemos los fenómenos conscientes no admite arbitrariedad alguna. Nos es impuesta y de él no podemos cambiar nada.

Solo me queda una única observación que añadir. Para que un agregado de sensaciones se haya convertido en un recuerdo capaz de ser clasificado en el tiempo, debe haber dejado de ser actual, debemos haber perdido el sentido de su complejidad infinita, de otro modo habría permanecido presente. Debe, por decirlo así, haberse cristalizado en torno a un centro de asociaciones de ideas que será una especie de etiqueta. Es solo cuando así han perdido toda vida cuando podemos clasificar nuestros recuerdos en el tiempo como un botánico arregla flores secas en su herbario.

Pero estas etiquetas solo pueden ser finitas en número. En este aspecto, el tiempo psicológico debería ser discontinuo.

¿De dónde viene la sensación de que entre dos instantes cualesquiera hay otros? Ordenamos nuestros recuerdos en el tiempo, pero sabemos que quedan compartimentos vacíos.

¿Cómo podría ser eso, si el tiempo no fuera una forma preexistente en nuestra mente? ¿Cómo podríamos saber que había compartimentos vacíos, si estos compartimentos nos fueran revelados solo por su contenido?

II

Pero eso no es todo; en esta forma deseamos poner no solo los fenómenos de nuestra propia conciencia, sino aquellos de los que otras conciencias son teatro. Mas aún, deseamos poner allí hechos físicos, esos no sé qué con los que poblamos el espacio y que ninguna conciencia ve directamente. Esto es necesario porque sin ello la ciencia no podría existir.

En una palabra, el tiempo psicológico nos es dado y debe necesariamente crear el tiempo científico y físico. Ahí empieza la dificultad, o más bien las dificultades, pues son dos.

Piensa en dos conciencias, que son como dos mundos impenetrables el uno para el otro. ¿Con qué derecho nos empeñamos en meterlos en el mismo molde, en medirlos con el mismo rasero?

¿No es acaso como si uno se empeñara en medir la longitud con un gramo o el peso con un metro? Y además, ¿por qué hablamos de medir? Sabemos tal vez que un hecho es anterior a otro, pero no por cuánto le es anterior.

Por tanto, dos dificultades: (1) ¿Podemos transformar el tiempo psicológico, que es cualitativo, en un tiempo cuantitativo? (2) ¿Podemos reducir a una y la misma medida hechos que transcurren en mundos diferentes?

III

La primera dificultad se ha notado desde hace tiempo; ha sido objeto de largas discusiones y puede decirse que la cuestión está zanjada.

No tenemos una intuición directa de la igualdad de dos intervalos de tiempo. Las personas que creen poseer esta intuición son víctimas de una ilusión. Cuando digo, del mediodía a la una transcurre el mismo tiempo que de dos a tres, ¿qué significado tiene esta afirmación?

La más mínima reflexión muestra que, por sí misma, no tiene ninguno en absoluto. Solo tendrá el que yo elija darle, mediante una definición que ciertamente poseerá un cierto grado de arbitrariedad. Los psicólogos habrían podido prescindir de esta definición; los físicos y los astrónomos no; veamos cómo se las han arreglado.

Para medir el tiempo emplean el péndulo y suponen por definición que todas las pulsaciones de este péndulo son de igual duración.

Pero esto es solo una primera aproximación; la temperatura, la resistencia del aire, la presión barométrica hacen variar el ritmo del péndulo.

Si pudiéramos escapar a estas fuentes de error, obtendríamos una aproximación mucho mayor, pero seguiría siendo solo una aproximación. Nuevas causas, hasta entonces negligidas, eléctricas, magnéticas u otras, introducirían diminutas perturbaciones.

De hecho, los mejores cronómetros deben corregirse de vez en cuando, y las correcciones se realizan con la ayuda de observaciones astronómicas; se toman disposiciones para que el reloj sidéreo marque la misma hora cuando la misma estrella pasa por el meridiano.

En otras palabras, es el día sidéreo, es decir, la duración de la rotación de la tierra, la unidad constante de tiempo. Se supone, mediante una nueva definición sustituida por la basada en los latidos del péndulo, que dos rotaciones completas de la tierra alrededor de su eje tienen la misma duración.

Sin embargo, los astrónomos aún no están conformes con esta definición.

Muchos de ellos piensan que las mareas actúan como un freno para nuestro globo, y que la rotación de la tierra se vuelve cada vez más lenta. Así se explicaría la aparente aceleración del movimiento de la luna, la cual parecería ir más rápidamente de lo que la teoría permite porque nuestro reloj, que es la tierra, va lento.

IV

Todo esto carece de importancia, se dirá; sin duda nuestros instrumentos de medida son imperfectos, pero basta con que podamos concebir un instrumento perfecto. Este ideal no puede alcanzarse, pero es suficiente haberlo concebido y haber introducido así rigor en la definición de la unidad de tiempo.

El problema es que no hay rigor en la definición. Cuando usamos el péndulo para medir el tiempo, ¿qué postulado admitimos implícitamente?

Consiste en que la duración de dos fenómenos idénticos es la misma; o, si lo prefieren, que las mismas causas tardan el mismo tiempo en producir los mismos efectos.

Y a primera vista, esta es una buena definición de la igualdad de dos duraciones. Pero cuidado. ¿Es imposible que la experiencia contradiga algún día nuestro postulado?

Permítame que me explique.

Supongo que en un cierto lugar del mundo ocurre el fenómeno α, causando como consecuencia al cabo de cierto tiempo el efecto α´.

En otro lugar del mundo muy alejado del primero, ocurre el fenómeno β, el cual causa como consecuencia el efecto β´.

Los fenómenos α y β son simultáneos, al igual que lo son también los efectos α´ y β´.

Más tarde, el fenómeno α se reproduce bajo aproximadamente las mismas condiciones que antes, y simultáneamente el fenómeno β también se reproduce en un lugar muy distante del mundo y casi bajo las mismas circunstancias. Los efectos α´ y β´ también tienen lugar. Supongamos que el efecto α´ ocurre perceptiblemente antes que el efecto β´.

Si la experiencia nos hiciera presenciar tal espectáculo, nuestro postulado quedaría contradicho. Pues la experiencia nos diría que la primera duración αα´ es igual a la primera duración ββ´ y que la segunda duración αα´ es menor que la segunda duración ββ´.

Por otra parte, nuestro postulado exigiría que las dos duraciones αα´ fuesen iguales entre sí, al igual que las dos duraciones ββ´. La igualdad y la desigualdad deducidas de la experiencia serían incompatibles con las dos igualdades deducidas del postulado.

¿Podemos afirmar ahora que las hipótesis que acabo de hacer son absurdas? De ningún modo son contrarias al principio de contradicción.

Sin duda, no podrían ocurrir sin que el principio de razón suficiente pareciera vulnerado. Pero para justificar una definición tan fundamental, preferiría alguna otra garantía.

V

Pero eso no es todo. En la realidad física una causa no produce un efecto determinado, sino que una multitud de causas distintas contribuyen a producirlo, sin que tengamos medio alguno de discriminar la parte de cada una de ellas.

Los físicos procuran hacer esta distinción; pero solo la hacen de manera aproximada y, por mucho que avancen, nunca la harán sino de manera aproximada. Es aproximadamente verdad que el movimiento del péndulo se debe únicamente a la atracción de la Tierra; pero, en todo rigor, cada atracción, incluso la de Sirio, actúa sobre el péndulo.

Bajo estas condiciones, es evidente que las causas que han producido un cierto efecto nunca volverán a reproducirse, salvo de manera aproximada.

Entonces deberíamos modificar nuestro postulado y nuestra definición. En lugar de decir:

«Las mismas causas tardan el mismo tiempo en producir los mismos efectos»,

deberíamos decir:

«Causas casi idénticas tardan casi el mismo tiempo en producir casi los mismos efectos».

Nuestra definición ya no es, por tanto, más que aproximada.

Además, como observa muy justamente el Sr. Calinon en una memoria reciente:⁷⁷

Una de las circunstancias de cualquier fenómeno es la velocidad de rotación de la tierra; si esta velocidad de rotación varía, constituye en la reproducción de este fenómeno una circunstancia que ya no permanece igual. Pero suponer constante esta velocidad de rotación es suponer que sabemos cómo medir el tiempo.

Nuestra definición no es, por tanto, satisfactoria todavía; ciertamente no es la que los astrónomos de quienes hablé más arriba adoptan implícitamente cuando afirman que la rotación terrestre se está ralentizando.

¿Qué sentido tiene según ellos esta afirmación? Solo podemos comprenderla analizando las pruebas que dan de su proposición. Dicen primero que la fricción de las mareas al producir calor debe destruir la vis viva. Invocan, por tanto, el principio de la vis viva, o de la conservación de la energía.

Dicen a continuación que la aceleración secular de la luna, calculada según la ley de Newton, sería menor que la deducida de las observaciones a menos que se hiciera la corrección relativa a la ralentización de la rotación terrestre. Invocan, por tanto, la ley de Newton. En otras palabras, definen la duración de la siguiente manera: el tiempo debe definirse de tal modo que la ley de Newton y la de la vis viva puedan verificarse. La ley de Newton es una verdad experimental; como tal, solo es aproximada, lo que demuestra que aún solo tenemos una definición por aproximación.

Si ahora se supone que se adopta otra forma de medir el tiempo, los experimentos en los que se funda la ley de Newton no tendrían por ello un significado diferente. Solo que el enunciado de la ley sería distinto, debido a que se traduciría a otro lenguaje; evidentemente sería mucho menos simple.

De modo que la definición adoptada implícitamente por los astrónomos puede resumirse así:

El tiempo debe definirse de tal manera que las ecuaciones de la mecánica sean lo más simples posibles.

En otras palabras, no hay una forma de medir el tiempo que sea más verdadera que otra; la que se adopta generalmente es solo más conveniente. De dos relojes, no tenemos derecho a decir que uno marcha bien y el otro mal; solo podemos decir que es ventajoso atenerse a las indicaciones del primero.

La dificultad que acaba de ocuparnos ha sido, como he dicho, señalada a menudo; entre las obras más recientes en las que se la considera, puedo mencionar, además del pequeño libro de M. Calinon, el tratado de mecánica de Andrade.

VI

La segunda dificultad ha atraído hasta el presente mucha menos atención; sin embargo, es del todo análoga a la precedente; e incluso, lógicamente, debí haber hablado de ella primero.

Dos fenómenos psicológicos ocurren en dos conciencias distintas; cuando digo que son simultáneos, ¿qué quiero decir?

Cuando digo que un fenómeno físico, que ocurre fuera de toda conciencia, es anterior o posterior a un fenómeno psicológico, ¿qué quiero decir?

En 1572, Tycho Brahe advirtió en el cielo una nueva estrella. Una inmensa conflagración había ocurrido en algún cuerpo celeste muy lejano; pero había ocurrido mucho antes; al menos se necesitaron doscientos años para que la luz de esa estrella llegara a nuestra tierra. Esta conflagración ocurrió, por lo tanto, antes del descubrimiento de América.

Pues bien, cuando digo eso; cuando, al considerar este fenómeno gigantesco, que tal vez no tuvo testigo, ya que los satélites de esa estrella tal vez estaban deshabitados, digo que este fenómeno es anterior a la formación de la imagen visual de la isla Española en la conciencia de Cristóbal Colón, ¿qué quiero decir?

Una pequeña reflexión es suficiente para comprender que todas estas afirmaciones no tienen por sí mismas ningún sentido. Solo pueden tenerlo como resultado de una convención.

VII

Primeramente debemos preguntarnos cómo se le pudo ocurrir a alguien la idea de poner en un mismo marco tantos mundos impenetrables entre sí.

Quisiéramos representarnos el universo exterior, y solo obrando así podríamos sentir que lo comprendemos. Sabemos que jamás podremos alcanzar esta representación: nuestra debilidad es demasiado grande.

Pero al menos deseamos la capacidad de concebir una inteligencia infinita para la cual esta representación fuera posible, una especie de gran conciencia que lo viera todo, y que lo clasificara todo en su tiempo, como nosotros clasificamos, en nuestro tiempo, lo poco que vemos.

Esta hipótesis es, en verdad, burda e incompleta, porque esta inteligencia suprema sería solo un semidiós; infinita en un sentido, estaría limitada en otro, puesto que solo tendría un recuerdo imperfecto del pasado; y no podría tener otro, ya que de lo contrario todos los recuerdos le serían igualmente presentes y para ella no habría tiempo.

Y, sin embargo, cuando hablamos del tiempo, para todo lo que ocurre fuera de nosotros, ¿no adoptamos inconscientemente esta hipótesis?, ¿no nos ponemos en el lugar de este dios imperfecto?, ¿y acaso ni siquiera los ateos se ponen en el lugar en el que estaría dios si existiera?

Lo que acabo de decir nos muestra, tal vez, por qué hemos tratado de meter todos los fenómenos físicos en el mismo marco. Pero eso no puede pasar por una definición de simultaneidad, ya que esta inteligencia hipotética, aun si existiera, sería para nosotros impenetrable.

Es necesario, por lo tanto, buscar otra cosa.

VIII

Las definiciones ordinarias que convienen al tiempo psicológico ya no nos bastarían.

Dos hechos psicológicos simultáneos están tan estrechamente unidos que el análisis no puede separarlos sin mutilarlos. ¿Sucede lo mismo con dos hechos físicos? ¿No está mi presente más próximo a mi pasado de ayer que el presente de Sirio?

También se ha dicho que dos hechos deben considerarse simultáneos cuando el orden de su sucesión puede invertirse a voluntad.

Es evidente que esta definición no convendría a dos hechos físicos que ocurren lejos el uno del otro, y que, en lo que a ellos respecta, ni siquiera comprendemos ya lo que sería esta reversibilidad; además, la sucesión misma debe ser definida primero.

IX

Intentemos pues dar cuenta de lo que se entiende por simultaneidad o antecedencia, y para ello analicemos algunos ejemplos.

Escribo una carta; es leída después por el amigo a quien se la he dirigido. He aquí dos hechos que han tenido por teatro dos conciencias distintas. Al escribir esta carta he tenido la imagen visual de ella, y mi amigo ha tenido a su vez esta misma imagen visual al leer la carta. Aunque estos dos hechos ocurren en mundos impenetrables, no dudo en considerar el primero como anterior al segundo, porque creo que es su causa.

Oigo un trueno, y concluyo que ha habido una descarga eléctrica;

no dudo en considerar el fenómeno físico como anterior a la imagen auditiva percibida en mi conciencia, porque creo que es su causa.

He aquí, pues, la regla que seguimos, y la única que podemos seguir: cuando un fenómeno se nos aparece como la causa de otro, lo consideramos anterior. ¡Es por lo tanto por la causa como definimos el tiempo!; pero muy a menudo, cuando dos hechos se nos aparecen unidos por una relación constante, ¿cómo reconocemos cuál es la causa y cuál el efecto? Suponemos que el hecho anterior, el antecedente, es la causa del otro, del consecuente. Es entonces por el tiempo como definimos la causa. ¿Cómo librarnos de este petitio principii?

Decimos ahora post hoc, ergo propter hoc; ahora propter hoc, ergo post hoc; ¿escaparemos de este círculo vicioso?

X

Veamos, no cómo logramos escapar, pues no lo logramos por completo, sino cómo intentamos escapar.

Ejecuto un acto voluntario A y siento después una sensación D, que considero como una consecuencia del acto A; por otra parte, por la razón que sea, infiero que esta consecuencia no es inmediata, sino que fuera de mi consciencia han ocurrido dos hechos B y C, de los cuales no he sido testigo, y de tal manera que B es el efecto de A, que C es el efecto de B, y D de C.

¿Pero por qué? Si creo tener razones para considerar que los cuatro hechos A, B, C, D están vinculados entre sí por una conexión causal, ¿por qué ordenarlos en la secuencia causal A B C D y, al mismo tiempo, en la secuencia cronológica A B C D, en lugar de hacerlo en cualquier otro orden?

Veo claramente que en el acto A tengo la sensación de haber estado activo, mientras que al experimentar la sensación D tengo la de haber sido pasivo. Por esta razón considero a A como la causa inicial y a D como el efecto último; por esto pongo a A al principio de la cadena y a D al final; pero ¿por qué poner a B antes de C en vez de a C antes de B?

Si se plantea esta pregunta, la respuesta ordinariamente es: sabemos que es B la causa de C porque siempre vemos que B ocurre antes de C.

Estos dos fenómenos, cuando son presenciados, ocurren en un cierto orden; cuando ocurren fenómenos análogos sin ser presenciados, no hay razón para invertir este orden.

Sin duda, pero tenga cuidado; nunca conocemos directamente los fenómenos físicos B y C. Lo que conocemos son las sensaciones B´ y C´ producidas respectivamente por B y C. Nuestra conciencia nos dice inmediatamente que B´ precede a C´ y suponemos que B y C se suceden el uno al otro en el mismo orden.

Esta regla parece en realidad muy natural, y, sin embargo, a menudo nos vemos conducidos a apartarnos de ella. Oímos el sonido del trueno solo algunos segundos después de la descarga eléctrica de la nube. De dos relámpagos, el uno distante, el otro cercano, ¿no puede el primero ser anterior al segundo, aun cuando el sonido del segundo llegue a nosotros antes que el del primero?

XI

Otra dificultad; ¿tenemos realmente derecho a hablar de la causa de un fenómeno? Si todas las partes del universo están encadenadas en cierta medida, un fenómeno cualquiera no será el efecto de una sola causa, sino la resultante de causas infinitamente numerosas; es, se suele decir, la consecuencia del estado del universo un instante antes. ¿Cómo enunciar reglas aplicables a circunstancias tan complejas? Y sin embargo, solo así estas reglas pueden ser generales y rigurosas.

Para no perdernos en esta infinita complejidad, hagamos una hipótesis más sencilla. Consideremos tres estrellas, por ejemplo, el Sol, Júpiter y Saturno; pero, para mayor simplicidad, considerémoslas reducidas a puntos materiales y aisladas del resto del mundo.

Las posiciones y las velocidades de tres cuerpos en un instante dado bastan para determinar sus posiciones y velocidades en el instante siguiente y, en consecuencia, en cualquier instante. Sus posiciones en el instante t determinan sus posiciones en el instante t + h así como sus posiciones en el instante t − h.

Aún más; la posición de Júpiter en el instante t, junto con la de Saturno en el instante t + a, determina la posición de Júpiter en cualquier instante y la de Saturno en cualquier instante.

El conjunto de posiciones que ocupan Júpiter en el instante t + e y Saturno en el instante t + a + e está ligado al conjunto de posiciones que ocupan Júpiter en el instante t y Saturno en el instante t + a, por leyes tan precisas como la de Newton, aunque más complicadas. Entonces, ¿por qué no considerar uno de estos conjuntos como la causa del otro, lo que llevaría a considerar como simultáneos el instante t de Júpiter y el instante t + a de Saturno?

En respuesta solo puede haber razones, muy fuertes, es verdad, de conveniencia y simplicidad.

XII

Pero pasemos a ejemplos menos artificiales; para comprender la definición supuesta implícitamente por los sabios, veámoslos en acción y busquemos las reglas mediante las cuales investigan la simultaneidad.

Tomaré dos ejemplos sencillos: la medición de la velocidad de la luz y la determinación de la longitud.

Cuando un astrónomo me dice que cierto fenómeno estelar, que su telescopio le revela en este momento, ocurrió, sin embargo, hace cincuenta años, busco su significado y, con ese fin, le preguntaré primero cómo lo sabe, es decir, cómo ha medido la velocidad de la luz.

Él ha comenzado por suponer que la luz tiene una velocidad constante, y en particular que su velocidad es la misma en todas las direcciones. Ese es un postulado sin el cual no se podría intentar ninguna medición de esta velocidad. Este postulado no podría ser verificado jamás directamente por la experiencia; esta podría contradecirlo si los resultados de las diferentes mediciones no fuesen concordantes. Deberíamos considerarnos afortunados de que esta contradicción no haya ocurrido y de que las ligeras discordancias que puedan suceder se expliquen fácilmente.

El postulado, en todo caso, semejante al principio de razón suficiente, ha sido aceptado por todo el mundo; lo que deseo enfatizar es que nos proporciona una nueva regla para la investigación de la simultaneidad, enteramente distinta de la que hemos enunciado más arriba.

Asentado este postulado, veamos cómo se ha medido la velocidad de la luz. Ya sabéis que Roemer utilizó los eclipses de los satélites de Júpiter y calculó cuánto se atrasaba el fenómeno respecto a su predicción. Pero ¿cómo se hace esta predicción? Se hace con la ayuda de las leyes astronómicas; por ejemplo, la ley de Newton.

¿No podrían explicarse los hechos observados de manera igual de buena si atribuyéramos a la velocidad de la luz un valor un poco diferente al adoptado, y supiéramos que la ley de Newton es solo aproximada? Solo que esto llevaría a reemplazar la ley de Newton por otra más complicada.

Así pues, se adopta un valor para la velocidad de la luz tal que las leyes astronómicas compatibles con este valor sean lo más simples posible.

Cuando los navegantes o geógrafos determinan una longitud, tienen que resolver exactamente el problema que estamos discutiendo; deben, sin estar en París, calcular la hora de París. ¿Cómo lo logran? Llevan un cronómetro ajustado a la hora de París.

El problema cualitativo de la simultaneidad se hace depender del problema cuantitativo de la medida del tiempo. No necesito abordar las dificultades relativas a este último problema, ya que las he subrayado extensamente más arriba.

O bien observan un fenómeno astronómico, como un eclipse de la luna, y suponen que este fenómeno se percibe simultáneamente desde todos los puntos de la tierra. Eso no es del todo cierto, ya que la propagación de la luz no es instantánea; si se deseara una exactitud absoluta, habría que hacer una corrección según una regla complicada.

O bien finalmente usan el telégrafo. Es claro primero que la recepción de la señal en Berlín, por ejemplo, es posterior al envío de esta misma señal desde París. Esta es la regla de causa y efecto analizada antes. ¿Pero cuánto después? En general, la duración de la transmisión se descuidas y los dos eventos se consideran simultáneos. Pero, para ser rigurosos, aún habría que hacer una pequeña corrección mediante un cálculo complicado; en la práctica no se hace, porque estaría muy dentro de los errores de observación; su necesidad teórica no es menor desde nuestro punto de vista, que es el de una definición rigurosa. De esta discusión, deseo enfatizar dos cosas: (1) Las reglas aplicadas son sumamente variadas. (2) Es difícil separar el problema cualitativo de la simultaneidad del problema cuantitativo de la medida del tiempo; no importa si se usa un cronómetro, o si hay que tener en cuenta una velocidad de transmisión, como la de la luz, porque tal velocidad no podría ser medida sin medir un tiempo.

# XIII

Para concluir:

No tenemos una intuición directa de la simultaneidad, ni de la igualdad de dos duraciones. Si creemos tener esta intuición, es una ilusión. La reemplazamos con la ayuda de ciertas reglas que aplicamos casi siempre sin darnos cuenta.

Pero ¿cuál es la naturaleza de estas reglas? Ninguna regla general, ninguna regla rigurosa; una multitud de pequeñas reglas aplicables a cada caso particular.

Estas reglas no nos son impuestas y podríamos divertirnos inventando otras; pero no podrían descartarse sin complicar enormemente la enunciación de las leyes de la física, la mecánica y la astronomía.

Por consiguiente, elegimos estas reglas, no porque sean verdaderas, sino porque son las más convenientes, y podemos recapitularlas de la siguiente manera:

"La simultaneidad de dos acontecimientos, o el orden de su sucesión, la igualdad de dos duraciones, deben ser definidas de tal manera que el enunciado de las leyes naturales sea lo más simple posible. En otras palabras, todas estas reglas, todas estas definiciones son solo el fruto de un oportunismo inconsciente".

CAPÍTULO III

# La noción del espacio

# 1. Introduction

En los artículos que hasta ahora he dedicado al espacio, he insistido sobre todo en los problemas planteados por la geometría no euclidiana, dejando casi por completo de lado otras cuestiones más difíciles de abordar, como aquellas que se refieren al número de dimensiones. Todas las geometrías que consideré tenían así una base común, ese continuo tridimensional que era el mismo para todas y que se diferenciaba únicamente por las figuras que en él se trazaban o cuando se aspiraba a medirlo.

En este continuo, primitivamente amorfo, podemos imaginar una red de líneas y superficies, podemos entonces convenir en considerar las mallas de esta red como iguales entre sí, y es solo después de esta convención que este continuo, vuelto mensurable, se convierte en espacio euclidiano o no euclidiano.

De este continuo amorfo puede por lo tanto surgir indiferentemente uno u otro de los dos espacios, así como en una hoja de papel en blanco puede trazarse indiferentemente una recta o un círculo.

En el espacio conocemos triángulos rectilíneos cuya suma de ángulos es igual a dos rectos; pero igualmente conocemos triángulos curvilíneos cuya suma de ángulos es menor que dos rectos.

La existencia de una clase no es más dudosa que la de la otra. Dar el nombre de rectas a los lados de los primeros es adoptar la geometría euclidiana; dar el nombre de rectas a los lados de los segundos es adoptar la geometría no euclidiana.

De modo que preguntar qué geometría conviene adoptar equivale a preguntar: ¿a qué línea conviene dar el nombre de recta?

Es evidente que el experimento no puede resolver tal cuestión; no se le pediría, por ejemplo, al experimento que decidiera si debo llamar AB o CD a una recta.

Por otra parte, tampoco puedo decir que no tengo derecho a dar el nombre de rectas a los lados de los triángulos no euclidianos porque no están en conformidad con la idea eterna de recta que poseo por intuición.

Concedo, en verdad, que tengo la idea intuitiva del lado del triángulo euclidiano, pero tengo igualmente la idea intuitiva del lado del triángulo no euclidiano. ¿Por qué habría de tener el derecho de aplicar el nombre de recta a la primera de estas ideas y no a la segunda? ¿En qué forma constituye esta sílaba una parte integrante de dicha idea intuitiva?

Evidentemente, cuando decimos que la recta euclidiana es una recta verdadera y que la recta no euclidiana no es una recta verdadera, simplemente queremos decir que la primera idea intuitiva corresponde a un objeto más notable que la segunda. Pero ¿cómo decidimos que este objeto es más notable?

Esta cuestión la he investigado en «Ciencia e hipótesis».

Es aquí donde vimos intervenir la experiencia. Si la línea recta euclidiana es más digna de mención que la no euclidiana, lo es principalmente porque difiere poco de ciertos objetos naturales notables de los cuales la recta no euclidiana difiere grandemente.

Pero, se dirá, la definición de la recta no euclidiana es artificial; si la adoptamos por un momento, veremos que dos círculos de radio diferente reciben ambos el nombre de rectas no euclidianas, mientras que de dos círculos del mismo radio uno puede satisfacer la definición sin que el otro pueda satisfacerla, y entonces, si transportamos una de estas llamadas rectas sin deformarla, dejará de ser una recta.

Pero ¿con qué derecho consideramos como iguales estas dos figuras que los geómetras euclidianos llaman dos círculos con el mismo radio? Es porque transportando uno de ellos sin deformarlo podemos hacerlo coincidir con el otro. ¿Y por qué decimos que este transporte se efectúa sin deformación? Es imposible dar una buena razón de ello.

Entre todos los movimientos concebibles, hay algunos de los cuales los geómetras euclidianos dicen que no van acompañados de deformación; pero hay otros de los cuales los geómetras no euclidianos dirían que no van acompañados de deformación.

En los primeros, llamados movimientos euclidianos, las líneas rectas euclidianas siguen siendo líneas rectas euclidianas y las líneas rectas no euclidianas no siguen siendo líneas rectas no euclidianas; en los movimientos del segundo tipo, o movimientos no euclidianos, las líneas rectas no euclidianas siguen siendo líneas rectas no euclidianas y las líneas rectas euclidianas no siguen siendo líneas rectas euclidianas.

Por lo tanto, no se ha demostrado que fuera irracional llamar rectas a los lados de los triángulos no euclidianos; solo se ha demostrado que eso sería irracional si se siguiera llamando movimientos sin deformación a los movimientos euclidianos; pero al mismo tiempo se ha demostrado que sería igual de irracional llamar rectas a los lados de los triángulos euclidianos si se llamara movimientos sin deformación a los movimientos no euclidianos.

Ahora bien, cuando decimos que los movimientos euclidianos son los verdaderos movimientos sin deformación, ¿qué queremos decir? Simplemente queremos decir que son más notables que los demás. ¿Y por qué son más notables? Porque ciertos cuerpos naturales notables, los cuerpos sólidos, experimentan movimientos casi similares.

Y luego, cuando preguntamos: ¿Puede imaginarse el espacio no euclidiano?

Eso significa: ¿Podemos imaginar un mundo donde haya objetos naturales notables que afecten casi la forma de las líneas rectas no euclidianas, y cuerpos naturales notables que experimenten frecuentemente movimientos casi similares a los movimientos no euclidianos? He mostrado en «Ciencia e hipótesis» que a esta pregunta debemos responder que sí.

Se ha observado con frecuencia que, si todos los cuerpos del universo se dilatasen simultáneamente y en la misma proporción, no tendríamos medio alguno de percibirlo, ya que todos nuestros instrumentos de medida crecerían al mismo tiempo que los objetos mismos que sirven para medir.

El mundo, tras esta dilatación, continuaría su curso sin que nada nos advirtiera de un acontecimiento tan considerable. En otras palabras, dos mundos semejantes entre sí (entendiendo la palabra similitud en el sentido de Euclides, Libro VI) serían absolutamente indistinguibles.

Pero aún hay más; los mundos serán indistinguibles no solo si son iguales o similares, es decir, si podemos pasar de uno a otro cambiando los ejes de coordenadas, o cambiando la escala a la que se refieren las longitudes; sino que seguirán siendo indistinguibles si podemos pasar de uno a otro mediante cualquier «transformación puntual» que sea.

Explicaré lo que quiero decir. Supongo que a cada punto de uno le corresponde un punto del otro y solo uno, y viceversa; y además que las coordenadas de un punto son funciones continuas, por lo demás totalmente arbitrarias, del punto correspondiente.

Supongo además que a cada objeto del primer mundo le corresponde en el segundo un objeto de la misma naturaleza situado precisamente en el punto correspondiente.

Supongo finalmente que esta correspondencia cumplida en el instante inicial se mantiene indefinidamente. No tendríamos ningún medio de distinguir estos dos mundos el uno del otro.

La relatividad del espacio no suele comprenderse en un sentido tan amplio; es así, sin embargo, como cabría comprenderla.

Si uno de estos universos es nuestro mundo euclidiano, lo que sus habitantes llamarán recta será nuestra recta euclidiana; pero lo que los habitantes del segundo mundo llamarán recta será una curva que tendrá las mismas propiedades en relación con el mundo que habitan y en relación con los movimientos que llamarán movimientos sin deformación. Su geometría será, por tanto, la geometría euclidiana, pero su recta no será nuestra recta euclidiana. Será su transformada mediante la transformación puntual que traslada de nuestro mundo al de ellos. Las rectas de estos hombres no serán nuestras rectas, pero tendrán entre sí las mismas relaciones que nuestras rectas entre sí. Es en este sentido en el que digo que su geometría será la nuestra.

Si entonces deseamos a fin de cuentas proclamar que se engañan, que su recta no es la recta verdadera, si aún nos empeñamos en no admitir que semejante afirmación carece de sentido, al menos debemos confesar que esta gente no tiene medio alguno de reconocer su error.

# 2. Geometría cualitativa

Todo eso es relativamente fácil de comprender, y ya lo he repetido tantas veces que creo innecesario explayarme más sobre el asunto.

El espacio euclidiano no es una forma impuesta a nuestra sensibilidad, puesto que podemos imaginar un espacio no euclidiano; pero ambos espacios, el euclidiano y el no euclidiano, tienen una base común, ese continuo amorfo del que hablé al principio.

A partir de este continuo podemos obtener tanto el espacio euclidiano como el lobachevskiano, del mismo modo que podemos, trazando sobre él una graduación adecuada, transformar un termómetro sin graduar en uno Fahrenheit o en uno Réaumur.

Y luego surge una pregunta:

¿No es este continuo amorfo, que nuestro análisis ha permitido sobrevivir, una forma impuesta a nuestra sensibilidad? Si es así, habríamos ampliado la prisión en la que se halla confinado esta sensibilidad, pero seguiría siendo una prisión.

Este continuo tiene un cierto número de propiedades, exentas de toda idea de medida. El estudio de estas propiedades es el objeto de una ciencia que ha sido cultivada por muchos grandes geómetras y en particular por Riemann y Betti, y que ha recibido el nombre de analysis situs.

En esta ciencia se hace abstracción de toda idea cuantitativa y, por ejemplo, si constatamos que en una línea el punto B está entre los puntos A y C, nos contentaremos con esta constatación y no nos molestaremos en saber si la línea ABC es recta o curva, ni si la longitud AB es igual a la longitud BC, o si es dos veces mayor.

Los teoremas del analysis situs tienen, por consiguiente, esta peculiaridad: seguirían siendo verdaderos si las figuras fueran copiadas por un dibujante inexperto que alterara groseramente todas las proporciones y sustituyera las líneas rectas por otras más o menos sinuosas. En términos matemáticos, no se alteran por ninguna «transformación puntual» en absoluto.

Se ha dicho a menudo que la geometría métrica era cuantitativa, mientras que la geometría proyectiva era puramente cualitativa. Eso no es del todo cierto. La recta sigue distinguiéndose de otras líneas por propiedades que siguen siendo cuantitativas en ciertos aspectos. La verdadera geometría cualitativa es, por tanto, el analysis situs.

Las mismas cuestiones que surgieron a propósito de las verdades de la geometría euclidiana, surgen de nuevo a propósito de los teoremas del analysis situs.

• ¿Se pueden obtener mediante razonamiento deductivo?
• ¿Son convenciones disimuladas?
• ¿Son verdades experimentales?
• ¿Son las características de una forma impuesta ya sea sobre nuestra sensibilidad o sobre nuestro entendimiento?

Deseo simplemente observar que las dos últimas soluciones se excluyen mutuamente. No podemos admitir al mismo tiempo que es imposible imaginar un espacio de cuatro dimensiones y que la experiencia nos prueba que el espacio tiene tres dimensiones.

El experimentador le hace una pregunta a la naturaleza: ¿Es esto o aquello? y no puede formularla sin imaginar los dos términos de la alternativa. Si fuese imposible imaginar uno de estos términos, sería inútil y además imposible consultar la experiencia.

No hay necesidad de observación para saber que la manecilla de un reloj no está marcando la hora 15 en la esfera, porque sabemos de antemano que solo hay 12, y no podríamos mirar la marca 15 para ver si la manecilla está ahí, porque esta marca no existe.

Nótese asimismo que en el analysis situs los empiristas se ven libres de una de las objeciones más graves que se les pueden formular, de aquella que vuelve absolutamente vanos de antemano todos sus esfuerzos por aplicar su tesis a las verdades de la geometría euclidiana.

Estas verdades son rigurosas y toda experimentación solo puede ser aproximada. En el analysis situs los experimentos aproximados pueden bastar para dar un teorema riguroso y, por ejemplo, si se ve que el espacio no puede tener ni dos ni menos de dos dimensiones, ni cuatro ni más de cuatro, estamos seguros de que tiene exactamente tres, puesto que no podría tener dos y media o tres y media.

De todos los teoremas del analysis situs, el más importante es el que se expresa diciendo que el espacio tiene tres dimensiones.

Esto es lo que vamos a considerar, y plantearemos la cuestión en estos términos: cuando decimos que el espacio tiene tres dimensiones, ¿qué queremos decir?

### 3. El continuo físico de varias dimensiones

He explicado en «Ciencia e hipótesis» de dónde deriva la noción de continuidad física y cómo ha surgido de ella la de continuidad matemática. Sucede que somos capaces de distinguir dos impresiones la una de la otra, mientras que cada una de ellas es indistinguible de una tercera. Así, podemos distinguir fácilmente un peso de 12 gramos de un peso de 10 gramos, mientras que un peso de 11 gramos no se podría distinguir ni del uno ni del otro. Tal enunciado, traducido a símbolos, puede escribirse:

• A = B, B = C, A < C.

Esta sería la fórmula del continuo físico, tal como nos lo da la experiencia en bruto, de donde surge una contradicción intolerable que ha sido obviada por la introducción del continuo matemático. Este es una escala cuyos peldaños (números commensurables o incommensurables) son infinitos en número, pero son exteriores unos a otros, en vez de invadirse unos a otros como lo hacen los elementos del continuo físico, de conformidad con la fórmula precedente.

El continuo físico es, por así decirlo, una nebulosa no resuelta; los instrumentos más perfectos no podrían lograr su resolución.

Sin duda, si pesáramos los pesos con una buena balanza en lugar de juzgarlos con la mano, podríamos distinguir el peso de 11 gramos de los de 10 y 12 gramos, y nuestra fórmula se convertiría en:

• A < B,
• B < C,
• A < C.

Pero siempre debemos encontrar entre A y B y entre B y C nuevos elementos D y E, tales que

• A = D,      D = B,      A < B;      B = E,      E = C,      B < C,

y la dificultad no habría hecho más que retroceder y la nebulosa seguiría siendo siempre irresoluble; solo la mente puede resolverla y es el continuo matemático el que constituye la nebulosa resuelta en estrellas.

Sin embargo, hasta este punto no hemos introducido la noción del número de dimensiones. ¿Qué se quiere decir cuando decimos que un continuo matemático o que un continuo físico tiene dos o tres dimensiones?

Primero debemos introducir la noción de corte, estudiando primeramente los continuos físicos. Hemos visto lo que caracteriza al conjunto continuo físico.

Cada uno de los elementos de este continuo consiste en una multiplicidad de impresiones; y puede suceder o bien que un elemento no pueda ser discriminado de otro elemento del mismo continuo, si este nuevo elemento corresponde a una multiplicidad de impresiones no suficientemente diferente, o, por el contrario, que la discriminación sea posible; finalmente, puede suceder que dos elementos indistinguibles de un tercero puedan, sin embargo, distinguirse el uno del otro.

Postulado esto, si A y B son dos elementos distinguibles de un continuo C, se puede hallar una serie de elementos, E₁, E₂, ..., E_n, que pertenezcan todos a este mismo continuo C y tales que cada uno de ellos sea indistinguible del precedente, que E₁ sea indistinguible de A y E_n indistinguible de B.

Por tanto, podemos ir de A a B por una ruta continua y sin salir de C. Si esta condición se cumple para cualesquiera dos elementos A y B del continuo C, podemos decir que este continuo C forma un todo continuo.

Ahora bien, distingamos ciertos elementos de C que pueden ser todos distinguibles entre sí, o bien formar por sí mismos uno o varios continua. El conjunto de los elementos así elegidos arbitrariamente entre todos los de C formará lo que llamaré el corte o los cortes.

Tómense en C dos elementos cualesquiera A y B. O bien podemos encontrar también una serie de elementos E₁, E₂, ..., E_n, tales que: (1) todos ellos pertenezcan a C; (2) cada uno de ellos sea indistinguible del siguiente, E₁ indistinguible de A y E_n de B; (3) y además que ninguno de los elementos E sea indistinguible de ningún elemento del corte. O bien, por el contrario, en cada una de las series E₁, E₂, ..., E_n que satisfacen las dos primeras condiciones, habrá un elemento E indistinguible de uno de los elementos del corte. En el primer caso podemos ir de A a B por una ruta continua sin abandonar C y sin encontrar los cortes; en el segundo caso eso es imposible.

Si entonces para cualesquiera dos elementos A y B del continuo C, se presenta siempre el primer caso, diremos que C permanece todo en una sola pieza a pesar de los cortes.

Por tanto, si elegimos los cortes de cierta manera, por lo demás arbitraria, puede ocurrir o bien que el continuo permanezca enteramente en una sola pieza o bien que no permanezca enteramente en una sola pieza; en esta última hipótesis diremos entonces que está dividido por los cortes.

Se observará que todas estas definiciones se construyen partiendo únicamente de este hecho muy simple: que dos conjuntos de impresiones a veces pueden distinguirse, y a veces no.

Postulado esto, si, para dividir un continuo, basta con considerar como cortes un cierto número de elementos todos distinguibles entre sí, decimos que este continuo es de una dimensión; si, por el contrario, para dividir un continuo, es necesario considerar como cortes un sistema de elementos que a su vez forman uno o varios continuos, diremos que este continuo es de varias dimensiones.

Si para dividir un continuo C bastan cortes que forman uno o varios continua de una dimensión, diremos que C es un continuo de dos dimensiones; si bastan cortes que forman uno o varios continua de dos dimensiones a lo sumo, diremos que C es un continuo de tres dimensiones; y así sucesivamente.

Para justificar esta definición conviene ver si es de este modo como los geómetras introducen la noción de tres dimensiones al principio de sus obras. Ahora bien, ¿qué es lo que vemos? Por lo general empiezan definiendo las superficies como los límites de los sólidos o porciones de espacio, las líneas como los límites de las superficies, los puntos como los límites de las líneas, y afirman que el mismo procedimiento no puede llevarse más lejos.

Esta es precisamente la idea expuesta más arriba: para dividir el espacio se necesitan cortes llamados superficies; para dividir las superficies se necesitan cortes llamados líneas; para dividir las líneas se necesitan cortes llamados puntos; no podemos ir más lejos, el punto no puede dividirse, de modo que el punto no es un continuo.

Así pues, las líneas que pueden dividirse mediante cortes que no son continuos serán continuos de una dimensión; las superficies que pueden dividirse mediante cortes continuos de una dimensión serán continuos de dos dimensiones; finalmente, el espacio que puede dividirse mediante cortes continuos de dos dimensiones será un continuo de tres dimensiones.

Por consiguiente, la definición que acabo de dar no difiere esencialmente de las definiciones habituales; solo me he esforzado en darle una forma aplicable no al continuo matemático, sino al continuo físico, que es el único susceptible de representación, y sin embargo retener toda su precisión.

Además, vemos que esta definición no se aplica únicamente al espacio; que en todo lo que cae bajo nuestros sentidos encontramos las características del continuo físico, lo que permitiría la misma clasificación; que sería fácil hallar en él ejemplos de continuos de cuatro, de cinco dimensiones, en el sentido de la definición precedente; tales ejemplos acuden por sí mismos a la mente.

Debería explicar al fin, si tuviera el tiempo, que esta ciencia, de la que hablé más arriba y a la que Riemann dio el nombre de analysis situs, nos enseña a hacer distinciones entre continua del mismo número de dimensiones y que la clasificación de estas continua descansa también en la consideración de los cortes.

De esta noción ha surgido la del continuo matemático de varias dimensiones, del mismo modo que el continuo físico de una dimensión engendró el continuo matemático de una dimensión. La fórmula

A > C,      A = B,      B = C, lo cual resumía los datos de la experiencia bruta, implicaba una contradicción intolerable.

Para librarse de ella, era necesario introducir una noción nueva respetando al mismo tiempo las características esenciales del continuo físico de varias dimensiones.

El continuo matemático de una dimensión admitía una escala cuyas divisiones, infinitas en número, correspondían a los diferentes valores, conmensurables o no, de una misma magnitud. Para tener el continuo matemático de n dimensiones, bastará con tomar n escalas semejantes cuyas divisiones correspondan a los diferentes valores de n magnitudes independientes llamadas coordenadas.

Tendremos así una imagen del continuo físico de n dimensiones, y esta imagen será tan fiel como sea posible tras la determinación de no permitir la contradicción de la que hablé más arriba.

4. The Notion of Point

Parece ahora que la pregunta que nos planteamos al principio está respondida. Cuando decimos que el espacio tiene tres dimensiones, se dirá, queremos decir que la variedad de puntos del espacio satisface la definición que acabamos de dar del continuo físico de tres dimensiones. Contentarse con eso sería suponer que sabemos qué es la variedad de puntos del espacio, o incluso un solo punto del espacio.

Ahora bien, eso no es tan simple como se podría pensar. Todo el mundo cree saber qué es un punto, y es precisamente porque lo conocemos demasiado bien que pensamos que no hay necesidad de definirlo. Seguramente no se nos puede exigir que sepamos cómo definirlo, porque al retroceder de definición en definición debe llegar un momento en que debamos detenernos. ¿Pero en qué momento deberíamos detenernos?

Nos detendremos primero cuando alcancemos un objeto que caiga bajo nuestros sentidos o que podamos representarnos; la definición se volverá entonces inútil; no le definimos la oveja a un niño; le decimos: Mira la oveja.

Así pues, debemos preguntarnos si nos es posible representarnos un punto del espacio. Quienes responden que sí no reflexionan en que se representan en realidad una mancha blanca hecha con tiza en una pizarra o una mancha negra hecha con pluma sobre papel blanco, y en que solo pueden representarse un objeto o, más bien, las impresiones que este objeto ha dejado en sus sentidos.

Cuando intentan representarse a sí mismos un punto, se representan las impresiones que les hicieron sentir los objetos muy pequeños. Es innecesario añadir que dos objetos diferentes, aunque ambos muy pequeños, pueden producir impresiones extremadamente diferentes, pero no me detendré en esta dificultad, que todavía requeriría cierta discusión.

Pero no se trata de eso; no basta con representar un punto, es necesario representar un cierto punto y tener los medios para distinguirlo de otro punto. Y, en efecto, para que podamos aplicar al continuo la regla que he expuesto más arriba y mediante la cual se puede reconocer el número de sus dimensiones, debemos basarnos en el hecho de que dos elementos de este continuo a veces pueden distinguirse y a veces no.

Es necesario, por lo tanto, que en ciertos casos sepamos cómo representarnos un elemento específico y cómo distinguirlo de otro elemento.

La cuestión consiste en saber si el punto que me representaba hace una hora es el mismo que este que ahora me represento, o si es un punto diferente. En otros términos, ¿cómo sabemos si el punto ocupado por el objeto A en el instante α es el mismo que el punto ocupado por el objeto B en el instante β, o mejor aún, qué significa esto?

Me encuentro sentado en mi habitación; un objeto está colocado sobre mi mesa; durante un segundo no me muevo, nadie toca el objeto. Me siento tentado a decir que el punto A que este objeto ocupaba al principio de este segundo es idéntico al punto B que ocupa al final del mismo.

De ningún modo; del punto A al punto B hay 30 kilómetros, porque el objeto ha sido arrastrado por el movimiento de la tierra. No podemos saber si un objeto, ya sea grande o pequeño, ha cambiado o no su posición absoluta en el espacio; no solo no podemos afirmarlo, sino que esta afirmación carece de sentido y en ningún caso puede corresponder a representación alguna.

Pero entonces podemos preguntarnos si la posición relativa de un objeto con respecto a otros objetos ha cambiado o no, y primeramente si la posición relativa de este objeto con respecto a nuestro cuerpo ha cambiado. Si las impresiones que este objeto nos produce no han cambiado, nos inclinaremos a juzgar que tampoco ha cambiado esta posición relativa; si han cambiado, juzgaremos que este objeto ha cambiado ya sea en estado o en posición relativa. Queda por decir cuál de los dos. He explicado en «Ciencia e hipótesis» cómo nos hemos visto ledos a distinguir los cambios de posición. Además, volveré sobre ello más adelante. Llegamos a saber, por tanto, si la posición relativa de un objeto con respecto a nuestro cuerpo ha permanecido o no invariable.

Si ahora vemos que dos objetos han conservado su posición relativa con respecto a nuestro cuerpo, concluimos que la posición relativa de estos dos objetos entre sí no ha cambiado; pero solo llegamos a esta conclusión mediante un razonamiento indirecto.

Lo único que conocemos directamente es la posición relativa de los objetos con respecto a nuestro cuerpo. A fortiori, es solo mediante un razonamiento indirecto como creemos saber (y, por lo demás, esta creencia es ilusoria) si la posición absoluta del objeto ha cambiado.

En una palabra, el sistema de ejes coordenados al que referimos naturalmente todos los objetos exteriores es un sistema de ejes invariablemente ligado a nuestro cuerpo y que llevamos con nosotros.

Es imposible representarse el espacio absoluto; cuando intento representarme simultáneamente los objetos y a mí mismo en movimiento en el espacio absoluto, en realidad me represento a mi propio yo inmóvil y viendo moverse a mi alrededor a diferentes objetos y a un hombre que me es exterior, pero al que convengo en llamar yo.

¿Se resolverá la dificultad si convenimos en referir todo a estos ejes ligados a nuestro cuerpo? ¿Sabremos entonces qué es un punto así definido por su posición relativa respecto a nosotros mismos?

Muchas personas responderán que sí y dirán que «localizan» los objetos exteriores.

¿Qué significa esto? Localizar un objeto significa simplemente representarse a sí mismo los movimientos que serían necesarios para alcanzarlo.

Me explicaré. No se trata de representar los movimientos mismos en el espacio, sino únicamente de representarse las sensaciones musculares que acompañan a estos movimientos y que no presuponen la preexistencia de la noción de espacio.

Si suponemos dos objetos diferentes que ocupan sucesivamente la misma posición relativa respecto a nosotros, las impresiones que estos dos objetos nos causan serán muy diferentes; si los localizamos en el mismo punto, es simplemente porque es necesario hacer los mismos movimientos para alcanzarlos; aparte de eso, no se ve bien qué es lo que podrían tener en común.

Pero, dado un objeto, podemos concebir muchas series diferentes de movimientos que nos permiten igualmente alcanzarlo.

Si entonces nos representamos un punto representándonos la serie de sensaciones musculares que acompañan a los movimientos que permiten alcanzar este punto, habrá muchas maneras enteramente diferentes de representarse a uno mismo el mismo punto.

Si uno no está satisfecho con esta solución, sino que desea, por ejemplo, introducir las sensaciones visuales junto con las sensaciones musculares, habrá una o dos maneras más de representarse este mismo punto y la dificultad no hará sino aumentar.

En cualquier caso se plantea la siguiente cuestión: ¿Por qué pensamos que todas estas representaciones tan diferentes entre sí representan todavía el mismo punto?

Otra observación: acabo de decir que es a nuestro propio cuerpo al que referimos naturalmente los objetos exteriores; que llevamos a todas partes con nosotros un sistema de ejes al que referimos todos los puntos del espacio y que este sistema de ejes parece estar invariablemente ligado a nuestro cuerpo.

Debe señalarse que, rigurosamente, no podríamos hablar de ejes invariablemente ligados al cuerpo a menos que las diferentes partes de este cuerpo estuviesen ellas mismas invariablemente ligadas unas a otras. Como este no es el caso, debemos, antes de referir los objetos exteriores a estos ejes ficticios, suponer que nuestro cuerpo ha vuelto a la actitud inicial.

5. The Notion of Displacement

He demostrado en La ciencia y la hipótesis el papel preponderante que desempeñan los movimientos de nuestro cuerpo en la génesis de la noción de espacio.

Para un ser completamente inamovible no habría ni espacio ni geometría; en vano se desplazarían los objetos exteriores a su alrededor, las variaciones que estos desplazamientos produjeran en sus impresiones no serían atribuidas por este ser a cambios de posición, sino a simples cambios de estado; este ser no tendría ningún medio de distinguir estas dos clases de cambios, y esta distinción, fundamental para nosotros, carecería de sentido para él.

Los movimientos que imprimimos a nuestros miembros tienen como efecto variar las impresiones producidas en nuestros sentidos por los objetos externos; otras causas pueden asimismo hacerlas variar; pero somos llevados a distinguir los cambios producidos por nuestros propios movimientos y los discriminamos fácilmente por dos razones: (1) porque son voluntarios; (2) porque están acompañados por sensaciones musculares.

De modo que dividimos naturalmente los cambios que nuestras impresiones pueden experimentar en dos categorías a las que tal vez he dado una designación inapropiada:

• (1) los cambios internos, que son voluntarios y van acompañados de sensaciones musculares;
• (2) los cambios externos, que poseen las características opuestas.

Observamos entonces que entre los cambios externos hay algunos que pueden corregirse, gracias a un cambio interno que devuelve todo al estado primitivo; otros no pueden corregirse de este modo (es así como, cuando un objeto exterior es desplazado, podemos entonces, cambiando nuestra propia posición, volver a colocarnos respecto a este objeto en la misma posición relativa que antes, a fin de restablecer el conjunto original de impresiones; si este objeto no fue desplazado, sino que cambió de estado, eso es imposible).

De ahí surge una nueva distinción entre los cambios externos: aquellos que pueden corregirse de este modo los llamamos cambios de posición; y los demás, cambios de estado.

Pensemos, por ejemplo, en una esfera con un hemisferio azul y el otro rojo; primero se nos presenta el hemisferio azul, y luego gira de modo que presenta el hemisferio rojo.

Pensemos ahora en un florero esférico que contiene un líquido azul que se vuelve rojo como consecuencia de una reacción química.

En ambos casos la sensación de rojo ha reemplazado a la de azul; nuestros sentidos han experimentado las mismas impresiones que se han sucedido en el mismo orden, y sin embargo estos dos cambios son considerados por nosotros como muy diferentes; el primero es un desplazamiento, el segundo un cambio de estado.

¿Por qué? Porque en el primer caso me basta con rodear la esfera para colocarme frente al hemisferio azul y restablecer la sensación azul original.

Aun hay más; si los dos hemisferios, en lugar de ser rojo y azul, hubiesen sido amarillo y verde, ¿cómo habría interpretado la revolución de la esfera?

Antes, el rojo sucedía al azul; ahora, el verde sucede al amarillo; y sin embargo digo que las dos esferas han experimentado la misma revolución, que cada una ha girado alrededor de su eje; sin embargo, no puedo decir que el verde es al amarillo lo que el rojo es al azul; ¿cómo soy conducido entonces a decidir que las dos esferas han experimentado el mismo desplazamiento?

Evidentemente porque, en un caso como en el otro, soy capaz de restablecer la sensación original dando la vuelta a la esfera, realizando los mismos movimientos, y sé que he realizado los mismos movimientos porque he sentido las mismas sensaciones musculares; por tanto, para saberlo, no necesito conocer la geometría de antemano ni representarme los movimientos de mi cuerpo en el espacio geométrico.

Otro ejemplo:

• Un objeto se desplaza ante mi ojo; su imagen se formó primero en el centro de la retina; luego se forma en el borde; la antigua sensación me fue transmitida por una fibra nerviosa que termina en el centro de la retina; la nueva sensación me es transmitida por otra fibra nerviosa que parte del borde de la retina; estas dos sensaciones son cualitativamente diferentes; de otro modo, ¿cómo podría distinguirlas?

¿Por qué entonces me veo llevado a decidir que estas dos sensaciones, cualitativamente diferentes, representan la misma imagen, que ha sido desplazada?

Es porque puedo seguir el objeto con el ojo y, mediante un desplazamiento del ojo, voluntario y acompañado de sensaciones musculares, traer de vuelta la imagen al centro de la retina y restablecer la sensación primitiva.

Supongamos que la imagen de un objeto rojo ha pasado del centro A al borde B de la retina, y que después la imagen de un objeto azul pasa a su vez del centro A al borde B de la retina; decidiré que estos dos objetos han sufrido el mismo desplazamiento. ¿Por qué? Porque en ambos casos habré podido restablecer la sensación primitiva, y para lograrlo habré tenido que ejecutar el mismo movimiento del ojo, y sabré que mi ojo ha ejecutado el mismo movimiento porque habré sentido las mismas sensaciones musculares.

Si no pudiera mover el ojo, ¿tendría alguna razón para suponer que la sensación de rojo en el centro de la retina es a la sensación de rojo en el borde de la retina como la de azul en el centro es a la de azul en el borde? Solo tendría cuatro sensaciones cualitativamente diferentes, y si se me preguntara si están conectadas por la proporción que acabo de enunciar, la pregunta me parecería ridícula, tal como si se me preguntara si existe una proporción análoga entre una sensación auditiva, una sensación táctil y una sensación olfativa.

Consideremos ahora los cambios internos, es decir, aquellos que se producen por los movimientos voluntarios de nuestro cuerpo y que van acompañados de modificaciones musculares. Estos dan lugar a las dos observaciones siguientes, análogas a las que acabamos de hacer a propósito de los cambios externos.

1. Puedo suponer que mi cuerpo se ha movido de un punto a otro, pero que se ha retenido la misma actitud; por lo tanto, todas las partes del cuerpo han retenido o retomado la misma situación relativa, aunque su situación absoluta en el espacio haya variado. Puedo suponer que no solo ha cambiado la posición de mi cuerpo, sino que su actitud ya no es la misma, que, por ejemplo, mis brazos que antes estaban cruzados ahora están estirados.

Por consiguiente, debo distinguir los simples cambios de posición sin cambio de actitud, y los cambios de actitud. Ambos se me aparecerían bajo la forma de sensaciones musculares. ¿Cómo soy conducido entonces a distinguirlos? Es que los primeros pueden servir para corregir un cambio externo, y los otros no pueden, o al menos solo pueden dar una corrección imperfecta.

Este hecho procedo a explicarlo como lo explicaría a alguien que ya conociera la geometría, pero no ha de concluirse de ello que sea necesario conocer ya la geometría para hacer esta distinción; antes de conocer la geometría constato el hecho (experimentalmente, por decirlo así), sin ser capaz de explicarlo.

Pero meramente para hacer la distinción entre los dos tipos de cambio, no necesito explicar el hecho, me basta con constatarlo.

Sea como fuere, la explicación es sencilla. Supóngase que un objeto exterior es desplazado; si deseamos que las diferentes partes de nuestro cuerpo recuperen con respecto a este objeto su posición relativa inicial, es necesario que estas diferentes partes hayan recuperado asimismo su posición relativa inicial la una con respecto a la otra.

Sólo los cambios internos que satisfagan esta última condición serán capaces de corregir el cambio externo producido por el desplazamiento de dicho objeto.

Si, por lo tanto, la posición relativa de mi ojo con respecto a mi dedo ha cambiado, aún podré volver a colocar el ojo en su situación relativa inicial con respecto al objeto y restablecer así las sensaciones visuales primitivas, pero entonces la posición relativa del dedo con respecto al objeto habrá cambiado y las sensaciones táctiles no se restablecerán.

2. Comprobamos asimismo que un mismo cambio externo puede ser corregido por dos cambios internos correspondientes a diferentes sensaciones musculares. Aquí de nuevo puedo comprobar esto sin conocer la geometría; y no necesito de ninguna otra cosa; pero paso a dar la explicación del hecho, empleando el lenguaje geométrico. Para ir de la posición A a la posición B puedo tomar varias rutas. A la primera de estas rutas le corresponderá una serie S de sensaciones musculares; a una segunda ruta le corresponderá otra serie S′, de sensaciones musculares que por lo general serán completamente diferentes, puesto que se utilizarán otros músculos.

¿Cómo soy conducido a considerar estas dos series S y S´´ como correspondientes al mismo desplazamiento AB? Es porque estas dos series son capaces de corregir el mismo cambio externo. Aparte de eso, no tienen nada en común.

Consideremos ahora dos cambios externos: $\alpha$ y $\beta$, que serán, por ejemplo, la rotación de una esfera mitad azul, mitad roja, y la de una esfera mitad amarilla, mitad verde; estos dos cambios no tienen nada en común, ya que el uno es para nosotros el paso del azul al rojo y el otro el paso del amarillo al verde.

Consideremos, por otra parte, dos series de cambios internos $S$ y $S´´$; al igual que los otros, no tendrán nada en común. Y, sin embargo, digo que $\alpha$ y $\beta$ corresponden al mismo desplazamiento, y que $S$ y $S´´$ corresponden también al mismo desplazamiento. ¿Por qué?

Simplemente porque $S$ puede corregir tanto a $\alpha$ como a $\beta$, y porque $\alpha$ puede ser corregida tanto por $S´´$ como por $S$. Y entonces surge una pregunta:

Si he comprobado que S corrige a α y β y que S´´ corrige a α, ¿tengo la certeza de que S´´ corrige asimismo a β? Solo la experiencia puede enseñarnos si esta ley se verifica. Si no se verificase, al menos de manera aproximada, no habría geometría, no habría espacio, porque ya no tendríamos interés en clasificar los cambios internos y externos como acabo de hacerlo y, por ejemplo, en distinguir los cambios de estado de los cambios de posición.

Es interesante ver cuál ha sido el papel de la experiencia en todo esto. Me ha demostrado que cierta ley se verifica aproximadamente. No me ha dicho cómo es el espacio, y que satisface la condición en cuestión. Yo sabía, de hecho, antes de toda experiencia, que el espacio satisfacía esta condición o que no lo sería; ni tengo ningún derecho a decir que la experiencia me ha dicho que la geometría es posible; veo muy bien que la geometría es posible, puesto que no implica contradicción; la experiencia solo me dice que la geometría es útil.

6. Espacio visual

Aunque las impresiones motrices han ejercido, como acabo de explicar, una influencia totalmente preponderante en la génesis de la noción de espacio —la cual jamás habría nacido sin ellas—, no carecerá de interés examinar también el papel de las impresiones visuales e investigar cuántas dimensiones tiene el «espacio visual», y para tal fin aplicar a estas impresiones la definición del § 3.

Una primera dificultad se presenta: considérese una sensación de color rojo que afecte a un cierto punto de la retina; y, por otra parte, una sensación de color azul que afecte al mismo punto de la retina. Es necesario que dispongamos de algún medio para reconocer que estas dos sensaciones, cualitativamente diferentes, tienen algo en común.

Ahora bien, según las consideraciones expuestas en el párrafo precedente, solo hemos podido reconocer esto mediante los movimientos del ojo y las observaciones a las que han dado lugar. Si el ojo estuviera inmóvil, o si no fuéramos conscientes de sus movimientos, no habríamos podido reconocer que estas dos sensaciones, de diferente cualidad, tenían algo en común; no habríamos podido separar de ellas lo que les confiere un carácter geométrico. Las sensaciones visuales, sin las sensaciones musculares, no tendrían nada de geométricas, de modo que puede decirse que no existe un espacio visual puro.

Para salvar esta dificultad, consideremos únicamente sensaciones de la misma naturaleza, sensaciones rojas, por ejemplo, que difieren unas de otras únicamente en lo que se refiere al punto de la retina al que afectan.

Es evidente que no tengo motivo alguno para hacer una elección tan arbitraria entre todas las sensaciones visuales posibles, con el fin de unir en una misma clase todas las sensaciones del mismo color, sea cual fuere el punto de la retina afectado. Nunca lo habría soñado de no haber aprendido antes, por los medios que acabamos de ver, a distinguir los cambios de estado de los cambios de posición, es decir, si mi ojo fuera inmóvil. Dos sensaciones del mismo color que afectaran a dos partes diferentes de la retina me habrían parecido cualitativamente distintas, exactamente igual que dos sensaciones de diferente color.

Al limitarme a las sensaciones rojas, me impongo por lo tanto una limitación artificial y descuido sistemáticamente todo un lado de la cuestión; pero solo mediante este artificio me es posible analizar el espacio visual sin mezclar ninguna sensación motora.

Imagínese una línea trazada en la retina y que divide en dos su superficie; y sepárense las sensaciones rojas que afectan a un punto de esta línea, o las que difieren de ellas demasiado poco para distinguirlas.

El agregado de estas sensaciones formará una especie de corte que llamaré C, y es evidente que este corte basta para dividir la multiplicidad de las posibles sensaciones rojas, y que si tomo dos sensaciones rojas que afectan a dos puntos situados a uno y otro lado de la línea, no puedo pasar de una de estas sensaciones a la otra de manera continua sin pasar en un momento determinado por una sensación perteneciente al corte.

Si, por lo tanto, el corte tiene n dimensiones, la multiplicidad total de mis sensaciones rojas, o si se prefiere, todo el espacio visual, tendrá n + 1.

Ahora, distingo las sensaciones rojas que afectan a un punto del corte C. El conjunto de estas sensaciones formará un nuevo corte C´. Es evidente que este dividirá el corte C, dando siempre a la palabra dividir el mismo significado.

Si, por consiguiente, el corte C´ tiene n dimensiones, el corte C tendrá n + 1 y la totalidad del espacio visual n + 2.

Si todas las sensaciones rojas que afectan al mismo punto de la retina se consideraran idénticas, el corte C´ reducido a un solo elemento tendría 0 dimensiones, y el espacio visual tendría 2.

Y, sin embargo, las más de las veces se dice que el ojo nos da la sensación de una tercera dimensión y nos permite, en cierta medida, reconocer la distancia de los objetos. Cuando tratamos de analizar esta sensación, comprobamos que se reduce ya sea a la conciencia de la convergencia de los ojos, o bien a la del esfuerzo de acomodación que el músculo ciliar realiza para enfocar la imagen.

Dos sensaciones rojas que afecten al mismo punto de la retina, por tanto, solo se considerarán idénticas si van acompañadas de la misma sensación de convergencia y también de la misma sensación de esfuerzo de acomodación, o al menos de sensaciones de convergencia y acomodación tan ligeramente diferentes que resulten indistinguibles.

Por este motivo, el corte C´ es en sí mismo un continuo y el corte C tiene más de una dimensión.

Pero ocurre precisamente que la experiencia nos enseña que cuando dos sensaciones visuales van acompañadas de la misma sensación de convergencia, van acompañadas asimismo de la misma sensación de acomodación.

Si formamos entonces un nuevo corte C´´ con todas aquellas sensaciones del corte C´ que van acompañadas de una cierta sensación de convergencia, de acuerdo con la ley precedente, serán todas indistinguibles y podrán considerarse idénticas.

Por lo tanto, C´´ no será un continuo y tendrá 0 dimensiones; y como C´´ divide a C´, de ello resultará que C´ tiene una, C dos y todo el espacio visual tres dimensiones.

Pero ¿sería lo mismo si la experiencia nos hubiera enseñado lo contrario y si cierta sensación de convergencia no estuviera acompañada siempre por la misma sensación de acomodación? En este caso, dos sensaciones que afectaran al mismo punto de la retina y estuvieran acompañadas por el mismo sentido de convergencia, dos sensaciones que por consiguiente pertenecerían ambas al corte C´´, podrían sin embargo distinguirse, ya que estarían acompañadas por dos sensaciones diferentes de acomodación.

Por lo tanto, C´´ sería a su vez un continuo y tendría una dimensión (al menos); entonces C´ tendría dos, C tres y el espacio visual entero tendría cuatro dimensiones.

¿Se dirá entonces que es la experiencia la que nos enseña que el espacio tiene tres dimensiones, puesto que es a partir de una ley experimental como hemos llegado a atribuírselas? Pero en ello no hemos realizado, por decirlo así, sino un experimento de fisiología; y como además bastaría con colocar ante los ojos lentes de una construcción adecuada para acabar con el acuerdo entre los sentimientos de convergencia y de acomodación, ¿hemos de decir que ponerse gafas basta para hacer que el espacio tenga cuatro dimensiones y que el óptico que las ha construido le ha dado una dimensión más al espacio?

Evidentemente no; todo lo que podemos decir es que la experiencia nos ha enseñado que es conveniente atribuir tres dimensiones al espacio.

Pero el espacio visual no es sino una parte del espacio, y aun en la noción de este espacio hay algo de artificial, como lo he explicado al principio. El espacio real es el espacio motor y es este el que examinaremos en el capítulo siguiente.

# CAPÍTULO IV

# El espacio y sus tres dimensiones

# 1. El Grupo de Desplazamientos

Resumamos brevemente los resultados obtenidos. Nos propusimos investigar qué se quería decir al afirmar que el espacio tiene tres dimensiones y nos hemos preguntado primero qué es un continuo físico y cuándo puede decirse que tiene n dimensiones.

Si consideramos diferentes sistemas de impresiones y los comparamos entre sí, a menudo reconocemos que dos de estos sistemas de impresiones son indistinguibles (lo que ordinariamente se expresa diciendo que están demasiado cerca el uno del otro, y que nuestros sentidos son demasiado groseros para que podamos distinguirlos) y comprobamos además que dos de estos sistemas a veces pueden diferenciarse entre sí aunque sean indistinguibles de un tercer sistema.

En ese caso decimos que la variedad de estos sistemas de impresiones forma un continuo físico C. Y cada uno de estos sistemas se llama un elemento del continuo C.

¿Cuántas dimensiones tiene este continuo? Tómense los dos primeros elementos A y B de C, y supóngase que existe una serie Σ de elementos, todos pertenecientes al continuo C, de tal modo que A y B son los dos términos extremos de esta serie y que cada término de la serie es indistinguible del precedente.

Si dicha serie Σ puede encontrarse, decimos que A y B están unidos el uno al otro; y si cualesquiera dos elementos de C están unidos el uno al otro, decimos que C es de una sola pieza.

Tomemos ahora en el continuo C un cierto número de elementos de un modo completamente arbitrario. El agregado de estos elementos se llamará corte.

Entre las diversas series Σ que unen A con B, distinguiremos aquellas de las cuales un elemento es indistinguible de uno de los elementos del corte (diremos que son aquellas que cortan el corte) y aquellas de las cuales todos los elementos son distinguibles de todos los del corte.

• Si todas las series Σ que unen A con B cortan el corte, diremos que A y B están separados por el corte, y que el corte divide a C.
• Si no podemos encontrar sobre C dos elementos que estén separados por el corte, diremos que el corte no divide a C.

Sentadas estas definiciones, si el continuo C puede ser dividido por cortes que no forman por sí mismos un continuo, este continuo C tiene una sola dimensión; en el caso contrario tiene varias.

Si un corte que forma un continuo de 1 dimensión basta para dividir C, C tendrá 2 dimensiones; si basta un corte que forma un continuo de 2 dimensiones, C tendrá 3 dimensiones, etc.

Gracias a estas definiciones, siempre podemos reconocer cuántas dimensiones tiene cualquier continuo físico. Solo resta encontrar un continuo físico que sea, por decirlo así, equivalente al espacio, de tal suerte que a cada punto del espacio corresponda un elemento de este continuo, y que a puntos del espacio muy próximos entre sí correspondan elementos indistinguibles. El espacio tendrá entonces tantas dimensiones como este continuo.

La intermediación de este continuo físico, capaz de representación, es indispensable; porque no podemos representarnos el espacio a nosotros mismos, y ello por una multitud de razones.

• El espacio es un continuo matemático, es infinito, y solo podemos representarnos continuos físicos y objetos finitos.
• Los diferentes elementos del espacio, a los que llamamos puntos, son todos iguales, y, para aplicar nuestra definición, es necesario que sepamos cómo distinguir los elementos unos de otros, al menos si no están demasiado cerca.
• Por último, el espacio absoluto es un sinsentido, y nos es necesario empezar por referir el espacio a un sistema de ejes ligado invariablemente a nuestro cuerpo (que debemos suponer siempre devuelto a la actitud inicial).

Luego he procurado formar con nuestras sensaciones visuales un continuo físico equivalente al espacio; eso ciertamente es fácil y este ejemplo es particularmente apropiado para la discusión del número de dimensiones; esta discusión nos ha permitido ver en qué medida es admisible decir que el «espacio visual» tiene tres dimensiones.

Solo que esta solución es incompleta y artificial. He explicado por qué, y no es sobre el espacio visual sino sobre el espacio motor donde es necesario centrar nuestros esfuerzos.

He recordado luego cuál es el origen de la distinción que hacemos entre los cambios de posición y los cambios de estado. Entre los cambios que se producen en nuestras impresiones, distinguimos, primero, los cambios internos, voluntarios y acompañados de sensaciones musculares, y los cambios externos, que tienen características opuestas. Comprobamos que puede suceder que un cambio externo sea corregido por un cambio interno que restablece las sensaciones primitivas.

Los cambios externos susceptibles de ser corregidos por un cambio interno se denominan cambios de posición; aquellos que no lo son se denominan cambios de estado. Los cambios internos capaces de corregir un cambio externo se denominan desplazamientos de todo el cuerpo; los otros se denominan cambios de actitud.

Ahora sean $\alpha$ y $\beta$ dos cambios externos, $\alpha ´$ y $\beta ´$ dos cambios internos. Supongamos que $a$ puede ser corrido ya sea por $\alpha ´$ o por $\beta ´$, y que $\alpha ´$ puede corregir ya sea $\alpha$ o $\beta$; la experiencia nos enseña entonces que $\beta ´$ puede asimismo corregir $\beta$. En este caso decimos que $\alpha$ y $\beta$ corresponden al mismo desplazamiento y también que $\alpha ´$ y $\beta ´$ corresponden al mismo desplazamiento. Postulado esto, podemos imaginar un continuo físico que llamaremos el continuo o grupo de desplazamientos y que definiremos de la manera siguiente. Los elementos de este continuo serán los cambios internos capaces de corregir un cambio externo. Dos de estos cambios internos $\alpha ´$ y $\beta ´$ deberán ser considerados como indistinguibles: (1) si lo son de manera natural, es decir, si están demasiado próximos el uno del otro; (2) si $\alpha ´$ es capaz de corregir el mismo cambio externo que un tercer cambio interno naturalmente indistinguible de $\beta ´$. En este segundo caso, serán, por decirlo así, indistinguibles por convención, quiero decir por el acuerdo de prescindir de circunstancias que podrían distinguirlos.

Nuestro continuo queda ahora enteramente definido, puesto que conocemos sus elementos y hemos fijado bajo qué condiciones pueden considerarse indistinguibles. Tenemos así todo lo necesario para aplicar nuestra definición y determinar cuántas dimensiones tiene este continuo.

Reconocemos que tiene seis. El continuo de los desplazamientos no es, por tanto, equivalente al espacio, ya que el número de dimensiones no es el mismo; solo está relacionado con el espacio.

Ahora bien, ¿cómo sabemos que este continuo de los desplazamientos tiene seis dimensiones? Lo sabemos por la experiencia.

Sería fácil describir los experimentos mediante los cuales podríamos llegar a este resultado. Se vería que en este continuo pueden hacerse cortes que lo dividen y que son continuos; que estos mismos cortes pueden ser divididos por otros cortes de segundo orden que sin embargo son continuos, y que esto solo se detendría tras cortes de sexto orden que ya no serían continuos. Según nuestras definiciones, eso significaría que el grupo de desplazamientos tiene seis dimensiones.

Eso sería fácil, he dicho, pero sería bastante largo; ¿y no sería un poco superficial? Este grupo de desplazamientos, lo hemos visto, está relacionado con el espacio, y el espacio podría deducirse de él, pero no es equivalente al espacio, ya que no tiene el mismo número de dimensiones; y cuando hayamos mostrado cómo se puede formar la noción de este continuo y cómo se puede deducir de él la del espacio, siempre se podría preguntar por qué el espacio de tres dimensiones nos es mucho más familiar que este continuo de seis dimensiones, y en consecuencia dudar de que haya sido por este rodeo como se ha formado la noción de espacio en la mente humana.

2. Identidad de Dos Puntos

¿Qué es un punto? ¿Cómo sabemos si dos puntos del espacio son idénticos o diferentes? O, en otras palabras, cuando digo:

El objeto A ocupaba en el instante α el punto que el objeto B ocupa en el instante β, ¿qué significa eso?

Tal es el problema que nos planteamos en el capítulo precedente,

§4. Tal como lo he expuesto, no se trata de comparar las posiciones de los objetos A y B en el espacio absoluto; la cuestión carecería entonces manifiestamente de sentido. Se trata de comparar las posiciones de estos dos objetos con respecto a ejes invariablemente ligados a mi cuerpo, suponiendo siempre este cuerpo colocado en la misma actitud.

Supongo que entre los instantes α y β no he movido ni mi cuerpo ni mi ojo, como sé por mi sentido muscular.

Tampoco he movido ni mi cabeza, ni mi brazo, ni mi mano. Constato que en el instante α las impresiones que atribuía al objeto A me fueron transmitidas, unas por una de las fibras de mi nervio óptico, las otras por uno de los nervios sensitivos táctiles de mi dedo; constato que en el instante β otras impresiones que atribuyo al objeto B me son transmitidas, unas por esta misma fibra del nervio óptico, las otras por este mismo nervio táctil.

Aquí debo hacer una pausa para dar una explicación; ¿cómo se me dice que esta impresión que atribuyo a A, y aquella que atribuyo a B, impresiones que son cualitativamente diferentes, me son transmitidas por el mismo nervio?

¿Debemos suponer, tomando por ejemplo las sensaciones visuales, que A produce dos sensaciones simultáneas, una sensación puramente luminosa a y una sensación coloreada a´, que B produce del mismo modo simultáneamente una sensación luminosa b y una sensación coloreada b´, que si estas diferentes sensaciones me son transmitidas por la misma fibra retiniana, a es idéntica a b, pero que en general las sensaciones coloreadas a´ y b´ producidas por diferentes cuerpos son diferentes?

En ese caso sería la identidad de la sensación a que acompaña a a´ con la sensación b que acompaña a b´, lo que indicaría que todas estas sensaciones me son transmitidas por la misma fibra.

Sea lo que fuere de esta hipótesis y aunque me siento llevado a preferirle otras considerablemente más complicadas, es cierto que de algún modo se nos dice que hay algo en común entre estas sensaciones a + a´ y b + b´, sin lo cual no tendríamos medio alguno de reconocer que el objeto B ha tomado el lugar del objeto A.

Por tanto, no insisto más y recuerdo la hipótesis que acabo de formular: supongo que he comprobado que las impresiones que atribuyo a B me son transmitidas en el instante β por las mismas fibras, tanto ópticas como táctiles, que, en el instante α, me habían transmitido las impresiones que atribuí a A. Si esto es así, no dudaremos en declarar que el punto ocupado por B en el instante β es idéntico al punto ocupado por A en el instante α.

Acabo de enunciar dos condiciones para que estos puntos sean idénticos; la una es relativa a la vista, la otra al tacto. Considerémoslas por separado.

• La primera es necesaria, pero no es suficiente.
• La segunda es a la vez necesaria y suficiente.

Una persona que conozca la geometría podría explicar esto fácilmente de la siguiente manera:

Sea O el punto de la retina donde se forma en el instante α la imagen del cuerpo A; sea M el punto del espacio ocupado en el instante α por este cuerpo A; sea M´ el punto del espacio ocupado en el instante β por el cuerpo B.

Para que este cuerpo B forme su imagen en O, no es necesario que los puntos M y M´ coincidan; puesto que la visión actúa a distancia, basta con que los tres puntos O M M´ estén en línea recta. Esta condición de que los dos objetos formen su imagen en O es, por tanto, necesaria, pero no suficiente para que los puntos M y M´ coincidan.

Sea ahora P el punto ocupado por mi dedo y donde este permanece, puesto que no se mueve. Como el tacto no actúa a distancia, si el cuerpo A toca mi dedo en el instante α, es porque M y P coinciden; si B toca mi dedo en el instante β, es porque M´ y P coinciden. Por lo tanto, M y M´ coinciden.

Así pues, esta condición de que si A toca mi dedo en el instante α, B lo toque en el instante β, es a la vez necesaria y suficiente para que M y M´ coincidan.

Mas los que, como aún no sabemos geometría, no podemos razonar así; todo lo que podemos hacer es comprobar experimentalmente que la primera condición relativa a la vista puede cumplirse sin la segunda, que es relativa al tacto, pero que la segunda no puede cumplirse sin la primera.

Supongamos que la experiencia nos hubiera enseñado lo contrario, como bien podría ser; esta hipótesis no contiene nada absurdo. Supongamos, por tanto, que hubiéramos comprobado experimentalmente que la condición relativa al tacto puede cumplirse sin que se cumpla la de la vista y que, por el contrario, la de la vista no puede cumplirse sin que lo haga también la del tacto. Es evidente que, de ser así, concluiríamos que es el tacto el que puede ejercerse a distancia, y que la vista no opera a distancia.

Pero esto no es todo; hasta este momento he supuesto que, para determinar el lugar de un objeto, me he servido únicamente de mi ojo y de un solo dedo; pero podría haber empleado igualmente otros medios, por ejemplo, todos mis demás dedos.

Supongo que mi primer dedo recibe en el instante α una impresión táctil que atribuyo al objeto A. Hago una serie de movimientos, correspondientes a una serie S de sensaciones musculares. Después de estos movimientos, en el instante α', mi segundo dedo recibe una impresión táctil que atribuyo asimismo a A. Después, en el instante β, sin haberme movido, como me lo dice mi sentido muscular, este mismo segundo dedo me transmite de nuevo una impresión táctil que atribuyo esta vez al objeto B; hago entonces una serie de movimientos, correspondientes a una serie S´ de sensaciones musculares. Sé que esta serie S´ es la inversa de la serie S y corresponde a movimientos contrarios. Lo sé porque muchas experiencias anteriores me han demostrado que si hiciera sucesivamente las dos series de movimientos correspondientes a S y a S´, las impresiones primitivas se restablecerían, en otras palabras, que las dos series se compensan mutuamente.

Una vez sentado esto, ¿debo esperar que en el instante β', cuando la segunda serie de movimientos ha terminado, mi primer dedo sienta una impresión táctil atribuible al objeto B?

Para responder a esta pregunta, aquellos que ya conocen la geometría razonarían del siguiente modo:

Existen probabilidades de que el objeto A no se haya movido entre los instantes α y α', ni el objeto B entre los instantes β y β'; supongámoslo.

En el instante α, el objeto A ocupaba un cierto punto M del espacio. Ahora bien, en este instante tocaba mi primer dedo, y como el tacto no opera a distancia, mi primer dedo se encontraba asimismo en el punto M.

Posteriormente realicé la serie S de movimientos y al final de esta serie, en el instante α', constaté que el objeto A tocaba mi segundo dedo. Concluyo de ello que este segundo dedo se hallaba entonces en M, es decir, que los movimientos S tuvieron por resultado llevar el segundo dedo al lugar del primero.

En el instante β el objeto B ha entrado en contacto con mi segundo dedo: como no me he movido, este segundo dedo ha permanecido en M; por tanto, el objeto B ha venido a M; por hipótesis no se mueve hasta el instante β'.

Pero entre los instantes β y β' he realizado los movimientos S´; como estos movimientos son la inversa de los movimientos S, deben tener por efecto llevar el primer dedo al lugar del segundo.

En el instante β´ este primer dedo estará, por lo tanto, en M; y como el objeto B se halla asimismo en M, este objeto B tocará mi primer dedo. A la pregunta planteada, la respuesta debe ser, pues, afirmativa.

Nosotros, que aún no conocemos la geometría, no podemos razonar de este modo; pero comprobamos que esta anticipación se realiza ordinariamente; y siempre podemos explicar las excepciones diciendo que el objeto A se ha movido entre los instantes α y α', o el objeto B entre los instantes β y β'.

¿Pero no podría la experiencia haber dado un resultado contrario? ¿Habría sido este resultado contrario absurdo en sí mismo? Evidentemente no.

¿Qué habríamos hecho entonces si la experiencia hubiera dado este resultado contrario? ¿Se habría vuelto por ello toda la geometría imposible? Ni lo más mínimo. Nos habríamos tenido que conformar con concluir que el tacto puede actuar a distancia.

Cuando digo que el tacto no actúa a distancia, pero la vista actúa a distancia, esta afirmación tiene un único significado, que es el siguiente: Para reconocer si B ocupa en el instante β el punto ocupado por A en el instante α, puedo usar una multitud de criterios diferentes. En uno interviene mi ojo, en otro mi dedo índice, en otro mi segundo dedo, etc.

Pues bien, basta con que se satisfaga el criterio relativo a uno de mis dedos para que todos los demás queden satisfechos, pero no basta con que se satisfaga el criterio relativo al ojo. Este es el sentido de mi afirmación. Me contento con afirmar un hecho experimental que se verifica ordinariamente.

Al final del capítulo precedente analizamos el espacio visual; vimos que para generar este espacio es necesario introducir las sensaciones retinianas, la sensación de convergencia y la sensación de acomodación; que si estas dos últimas no estuvieran siempre de acuerdo, el espacio visual tendría cuatro dimensiones en lugar de tres; vimos también que si introdujéramos únicamente las sensaciones retinianas, obtendríamos un «espacio visual simple», de dos dimensiones solamente.

Por otra parte, consideremos el espacio táctil, limitándonos a las sensaciones de un solo dedo, es decir, en suma, al conjunto de posiciones que este dedo puede ocupar. Este espacio táctil que analizaremos en la sección siguiente y que, en consecuencia, pido permiso para no seguir considerando por el momento, este espacio táctil, digo, tiene tres dimensiones. ¿Por qué el espacio propiamente dicho tiene tantas dimensiones como el espacio táctil y más que el espacio visual simple? Es porque el tacto no actúa a distancia, mientras que la visión sí actúa a distancia. Estas dos afirmaciones tienen el mismo significado y acabamos de ver cuál es este.

Ahora vuelvo a un punto sobre el que pasé rápidamente para no interrumpir la discusión. ¿Cómo sabemos que las impresiones producidas en nuestra retina por A en el instante $\alpha$ y por B en el instante $\beta$ son transmitidas por la misma fibra retiniana, aunque estas impresiones sean cualitativamente diferentes?

He sugerido una hipótesis simple, añadiendo al mismo tiempo que otras hipótesis, decididamente más complejas, me parecerían más probablemente verdaderas. He aquí, pues, estas hipótesis, de las que ya he dicho una palabra.

¿Cómo sabemos que las impresiones producidas por el objeto rojo A en el instante α, y por el objeto azul B en el instante β, si estos dos objetos han sido proyectados sobre el mismo punto de la retina, tienen algo en común?

La simple hipótesis antes formulada puede ser rechazada y podemos suponer que estas dos impresiones, cualitativamente diferentes, son transmitidas por dos fibras nerviosas diferentes aunque contiguas. ¿Qué medios tengo entonces para saber que estas fibras son contiguas? Es probable que no tuviéramos ninguno, si el ojo estuviera inmóvil.

Son los movimientos del ojo los que nos han enseñado que existe la misma relación entre la sensación de azul en el punto A y la sensación de azul en el punto B de la retina que entre la sensación de rojo en el punto A y la sensación de rojo en el punto B.

Nos han demostrado, en efecto, que los mismos movimientos, correspondientes a las mismas sensaciones musculares, nos transportan del primero al segundo, o del tercero al cuarto. No insisto en estas consideraciones, que pertenecen, como puede verse, a la cuestión de los signos locales planteada por Lotze.

### 3. Espacio táctil

Así sé reconocer la identidad de dos puntos, el punto ocupado por A en el instante α y el punto ocupado por B en el instante β, pero solo bajo una condición, a saber, que no me haya movido entre los instantes α y β. Eso no basta para nuestro objeto.

Supongamos, por lo tanto, que me he movido de cualquier manera en el intervalo entre estos dos instantes, ¿cómo sabré si el punto ocupado por A en el instante α es idéntico al punto ocupado por B en el instante β? Supongo que en el instante α, el objeto A estaba en contacto con mi dedo índice y que, del mismo modo, en el instante β, el objeto B toca este dedo índice; pero al mismo tiempo mi sentido muscular me ha dicho que en el intervalo mi cuerpo se ha movido.

He considerado más arriba dos series de sensaciones musculares S y S´, y he dicho que a veces sucede que somos llevados a considerar dos de tales series S y S´ como inversas la una de la otra, porque hemos observado a menudo que cuando estas dos series se suceden nuestras impresiones primitivas quedan restablecidas.

Si entonces mi sentido muscular me dice que me he movido entre los dos instantes α y β, pero de manera que siento sucesivamente las dos series de sensaciones musculares S y S´ que considero inversas, concluiré todavía, exactamente igual que si no me hubiera movido, que los puntos ocupados por A en el instante α y por B en el instante β son idénticos, si compruebo que mi dedo índice toca A en el instante α, y B en el instante β.

Esta solución no es todavía del todo satisfactoria, como se verá.

Veamos, en efecto, cuántas dimensiones nos obligaría a atribuir al espacio. Deseo comparar los dos puntos ocupados por A y B en los instantes α y β, o bien (lo que viene a ser lo mismo, puesto que supongo que mi dedo toca A en el instante α y B en el instante β) deseo comparar los dos puntos ocupados por mi dedo en los dos instantes α y β.

El único medio que utilizo para esta comparación es la serie Σ de sensaciones musculares que han acompañado los movimientos de mi cuerpo entre estos dos instantes.

Las diferentes series Σ imaginables forman evidentemente un continuo físico cuyo número de dimensiones es muy grande. Convengamos, como lo he hecho, en no considerar como distintas las dos series Σ y Σ + S + S´, cuando S y S´ son inversas la una de la otra en el sentido dado más arriba a esta palabra; a pesar de este convenio, el conjunto de series Σ distintas formará todavía un continuo físico y el número de dimensiones será menor, pero aún muy grande.

A cada una de estas series Σ corresponde un punto del espacio; a dos series Σ y Σ´ corresponden así dos puntos M y M´. Los medios de que nos hemos servido hasta ahora nos permiten reconocer que M y M´ no son distintos en dos casos: (1) si Σ es idéntica a Σ´; (2) si Σ´ = Σ + S + S´, siendo S y S´ inversas la una de la otra. Si en todos los demás casos debiéramos considerar M y M´ como distintos, la variedad de puntos tendría tantas dimensiones como el agregado de series distintas Σ, es decir, mucho más de tres.

Para aquellos que ya conocen la geometría, la siguiente explicación será fácilmente comprensible. Entre las series imaginables de sensaciones musculares, hay aquellas que corresponden a series de movimientos en los que el dedo no se mueve. Digo que, si no se consideran como distintas las series Σ y Σ + σ, en donde la serie σ corresponde a movimientos en los que el dedo no se mueve, el agregado de series constituirá un continuo de tres dimensiones, pero que si se consideran como distintas dos series Σ y Σ´ a menos que Σ´ = Σ + S + S´, siendo S y S´ inversas, el agregado de series constituirá un continuo de más de tres dimensiones.

En efecto, sea en el espacio una superficie A, sobre esta superficie una línea B, sobre esta línea un punto M.

Sea C₀ el agregado de todas las series Σ.

Sea C₁ el agregado de todas las series Σ tales que al final de los movimientos correspondientes el dedo se encuentra sobre la superficie A, y C₂ o C₃ el agregado de las series Σ tales que al final el dedo se encuentra sobre B, o en M.

Es evidente, en primer lugar, que C₁ constituirá un corte que dividirá a C₀, que C₂ será un corte que dividirá a C₁, y C₃ un corte que dividirá a C₂.

De ello resulta, de acuerdo con nuestras definiciones, que si C₃ es un continuo de n dimensiones, C₀ será un continuo físico de n + 3 dimensiones.

Por tanto, sean Σ y Σ´ = Σ + σ dos series que forman parte de C₃; para ambas, al final de los movimientos, el dedo se encuentra en M; de ahí resulta que al principio y al final de la serie σ el dedo está en el mismo punto M. Esta serie σ es, por tanto, una de aquellas que corresponden a movimientos en los que el dedo no se mueve.

Si Σ y Σ + σ no se consideran distintas, todas las series de C₃ se funden en una; por tanto, C₃ tendrá dimensión 0, y C₀ tendrá 3, como quería demostrar.

Si, por el contrario, no considero que Σ y Σ + σ se funden (a menos que σ = S + S´, siendo S y S´ inversas), es evidente que C₃ contendrá un gran número de series de sensaciones distintas; porque, sin que el dedo se mueva, el cuerpo puede adoptar una multitud de actitudes diferentes. Entonces C₃ formará un continuo y C₀ tendrá más de tres dimensiones, y esto también quería demostrarlo.

Nosotros, que aún no conocemos la geometría, no podemos razonar de este modo; solo podemos verificar. Pero entonces surge una pregunta: ¿cómo, antes de conocer la geometría, hemos sido conducidos a distinguir de las otras estas series σ donde el dedo no se mueve? Es, de hecho, solo después de haber hecho esta distinción que hemos podido ser conducidos a considerar a Σ y Σ + σ como idénticos, y es en esta condición sola, como acabamos de ver, que podemos llegar al espacio de tres dimensiones.

Se nos lleva a distinguir la serie σ, porque a menudo sucede que cuando hemos ejecutado los movimientos que corresponden a estas series σ de sensaciones musculares, las sensaciones táctiles que nos son transmitidas por el nervio del dedo que hemos llamado el primer dedo, persisten y no son alteradas por estos movimientos.

La experiencia sola nos dice eso y ella sola podría decírnoslo.

Si hemos distinguido la serie de sensaciones musculares S + S´ formada por la unión de dos series inversas, es porque conservan la totalidad de nuestras impresiones; si ahora distinguimos la serie σ, es porque conservan ciertas de nuestras impresiones.

(Cuando digo que una serie de sensaciones musculares S «conserva» una de nuestras impresiones A, quiero decir que comprobamos que si sentimos la impresión A, luego las sensaciones musculares S, todavía sentimos la impresión A después de estas sensaciones S.)

He dicho más arriba que a menudo ocurre que las series $\sigma$ no alteran las impresiones táctiles experimentadas por nuestro primer dedo; he dicho a menudo, no he dicho siempre. Esto es lo que expresamos en nuestro lenguaje ordinario al decir que las impresiones táctiles no se alterarían si el dedo no se hubiera movido, con la condición de que tampoco se haya movido el objeto A, que estaba en contacto con este dedo.

Antes de conocer la geometría, no podíamos dar esta explicación; todo lo que podíamos hacer era constatar que la impresión a menudo persiste, pero no siempre.

Pero que la impresión a menudo continúe es suficiente para hacer que la serie $\sigma$ nos parezca notable, para llevarnos a poner en la misma clase las series $\Sigma$ y $\Sigma +\sigma$, y por consiguiente a no considerarlas distintas.

Bajo estas condiciones hemos visto que engendrarán un continuo físico de tres dimensiones.

He aquí, pues, un espacio de tres dimensiones engendrado por mi primer dedo. Cada uno de mis dedos creará uno semejante. Resta considerar cómo somos conducidos a considerarlos idénticos al espacio visual, idénticos al espacio geométrico.

Pero una reflexión antes de avanzar más; según lo precedente, conocemos los puntos del espacio, o más generalmente la situación final de nuestro cuerpo, solo por la serie de sensaciones musculares que nos revelan los movimientos que nos han transportado desde cierta situación inicial hasta esta situación final.

Pero es evidente que esta situación final dependerá, por una parte, de estos movimientos y, por otra parte, de la situación inicial de la que hemos partido.

Ahora bien, estos movimientos nos son revelados por nuestras sensaciones musculares; pero nada nos indica la situación inicial; nada puede distinguirla para nosotros de todas las demás situaciones posibles.

Esto pone bien en evidencia la relatividad esencial del espacio.

4. Identidad de los Espacios Diferentes

Nos vemos por tanto conducidos a comparar los dos continuos C y C´ engendrados, por ejemplo, uno por mi primer dedo D, el otro por mi segundo dedo D´. Estos dos continuos físicos tienen ambos tres dimensiones.

A cada elemento del continuo C, o, si se prefiere, a cada punto del primer espacio táctil, corresponde una serie de sensaciones musculares Σ, que me transportan de una cierta situación inicial a una cierta situación final.⁸⁸

Además, al mismo punto de este primer espacio corresponderá Σ y Σ + σ, si σ es una serie de la cual sabemos que no hace mover el dedo D.

De manera similar a como a cada elemento del continuo C´, o a cada punto del segundo espacio táctil, le corresponde una serie de sensaciones Σ´, al mismo punto le corresponderán Σ´ y Σ´ + σ´, si σ´ es una serie que no hace mover el dedo D´.

Lo que nos hace distinguir las diversas series designadas con $\sigma$ de aquellas llamadas ${\sigma }^{\prime }$ es que las primeras no alteran las impresiones táctiles experimentadas por el dedo D y las segundas preservan las que siente el dedo D'.

Ahora veamos lo que constatamos: al principio mi dedo D´ siente una sensación A´; hago movimientos que producen sensaciones musculares S; mi dedo D siente la impresión A; hago movimientos que producen una serie de sensaciones σ; mi dedo D sigue sintiendo la impresión A, puesto que esta es la propiedad característica de la serie σ; hago entonces movimientos que producen la serie S´ de sensaciones musculares, inversa a S en el sentido dado más arriba a esta palabra. Constato entonces que mi dedo D´ vuelve a sentir la impresión A´. (Se entiende, por supuesto, que S ha sido elegido convenientemente).

Esto significa que la serie S + σ + S´, conservando las impresiones táctiles del dedo D´, es una de las series que he llamado σ´.

Inversamente, si se toma una serie cualquiera σ´, S´ + σ´ + S será una de las series que llamamos σ´.

Por tanto, si S se elige de manera adecuada, S + σ + S´ será una serie σ´, y haciendo que σ varíe de todas las maneras posibles, obtendremos todas las series posibles σ´.

Aún sin conocer la geometría, nos limitamos a verificar todo eso, pero he aquí cómo explicarían el hecho quienes la conocen.

Al principio mi dedo D´ está en el punto M, en contacto con el objeto a, lo que le hace sentir la impresión A´.

Realizo los movimientos correspondientes a la serie S; he dicho que esta serie debe ser convenientemente elegida, debo hacer esta elección de tal modo que estos movimientos lleven el dedo D al punto ocupado originalmente por el dedo D´, es decir, al punto M; este dedo D estará así en contacto con el objeto a, lo que le hará sentir la impresión A.

Ejecuto a continuación los movimientos correspondientes a la serie σ; en estos movimientos, por hipótesis, la posición del dedo D no cambia, este dedo permanece por tanto en contacto con el objeto a y continúa sintiendo la impresión A.

Finalmente, ejecuto los movimientos correspondientes a la serie S´. Como S´ es inversa a S, estos movimientos llevan el dedo D´ al punto ocupado previamente por el dedo D, es decir, al punto M.

Si, como es de suponer, el objeto a no se ha movido, este dedo D´ estará en contacto con dicho objeto y sentirá de nuevo la impresión A´.... Q.E.D.

Veamos las consecuencias. Considero una serie de sensaciones musculares Σ. A esta serie le corresponderá un punto M del primer espacio táctil. Tomemos ahora de nuevo las dos series S y S´, inversas la una de la otra, de las que acabamos de hablar. A la serie S + Σ + S´ le corresponderá un punto N del segundo espacio táctil, puesto que a cualquier serie de sensaciones musculares le corresponde, como hemos dicho, un punto, ya sea en el primer espacio o en el segundo.

Voy a considerar los dos puntos N y M, así definidos, como correspondientes. ¿Qué me autoriza a hacerlo así? Para que esta correspondencia sea admisible, es necesario que si dos puntos M y M´, correspondientes en el primer espacio a dos series Σ y Σ´, son idénticos, también lo sean los dos puntos correspondientes del segundo espacio N y N´, es decir, los dos puntos que corresponden a las dos series S + Σ + S´ y S + Σ´ + S´. Ahora vamos a ver que esta condición se cumple.

Primero una observación. Como S y S´ son inversas la una de la otra, tendremos S + S´ = 0, y por consiguiente S + S´ + Σ = Σ + S + S´ = Σ, o también Σ + S + S´ + Σ´ = Σ + Σ´; pero de ello no se sigue que tengamos S + Σ + S´ = Σ; porque, aunque hemos usado el signo de la suma para representar la sucesión de nuestras sensaciones, es evidente que el orden de esta sucesión no es indiferente: no podemos, por tanto, como en la suma ordinaria, invertir el orden de los términos; para usar un lenguaje abreviado, nuestras operaciones son asociativas, pero no conmutativas.

Esto fijado, para que Σ y Σ´ correspondan al mismo punto M = M´ del primer espacio, es necesario y suficiente que tengamos Σ´ = Σ + σ. Tendremos entonces:

S + Σ´ + S´ = S + Σ + σ + S´ = S + Σ + S´ + S + σ + S´.

Pero acabamos de comprobar que S + σ + S´ era una de las series σ´. Tendremos por lo tanto:

S + Σ´ + S´ = S + Σ + S´ + σ´,

lo que significa que las series S + Σ´ + S´ y S + Σ + S´ corresponden al mismo punto N = N´ del segundo espacio. Q.E.D.

Nuestros dos espacios corresponden, por tanto, punto por punto; pueden «transformarse» el uno en el otro; son isomórficos. ¿Cómo somos conducidos a concluir de ahí que son idénticos?

Consideremos las dos series σ y S + σ + S´ = σ´. He dicho que a menudo, aunque no siempre, la serie σ preserva la impresión táctil A sentida por el dedo D; y de manera similar ocurre a menudo, aunque no siempre, que la serie σ´ preserva la impresión táctil A´ sentida por el dedo D´.

Ahora constato que ocurre muy a menudo (es decir, mucho más a menudo de lo que acabo de llamar «a menudo») que cuando la serie σ ha preservado la impresión A del dedo D, la serie σ´ preserva al mismo tiempo la impresión A´ del dedo D´; y, recíprocamente, que si la primera impresión se altera, la segunda lo hace asimismo. Eso ocurre muy a menudo, pero no siempre.

Interpretamos este hecho experimental diciendo que el objeto desconocido a, que produce la impresión A en el dedo D, es idéntico al objeto desconocido a´, que produce la impresión A´ en el dedo D´. Y, de hecho, cuando el primer objeto se mueve —lo cual nos indica la desaparición de la impresión A—, el segundo se mueve asimismo, ya que la impresión A´ desaparece de igual modo.

Cuando el primer objeto permanece inmóvil, el segundo permanece inmóvil. Si estos dos objetos son idénticos, como el primero está en el punto M del primer espacio y el segundo en el punto N del segundo espacio, estos dos puntos son idénticos. Así es como nos vemos conducidos a considerar estos dos espacios como idénticos; o mejor, esto es lo que queremos decir cuando afirmamos que son idénticos.

Lo que acabamos de decir sobre la identidad de los dos espacios táctiles hace innecesario que discutamos la cuestión de la identidad del espacio táctil y el espacio visual, que podría tratarse de la misma manera.

5. Space and Empiricism

Parece que estoy a punto de ser conducido a conclusiones conformes con las ideas empiristas. He procurado, en efecto, poner en evidencia el papel de la experiencia y analizar los hechos experimentales que intervienen en la génesis del espacio de tres dimensiones.

Pero cualquiera que sea la importancia de estos hechos, hay una cosa que no debemos olvidar y a la que, por otra parte, he llamado más de una vez la atención. Estos hechos experimentales se verifican a menudo, pero no siempre. Eso evidentemente no quiere decir que el espacio tenga a menudo tres dimensiones, pero no siempre.

Sé bien que es fácil salvarse y que, si los hechos no se verifican, se explicará fácilmente diciendo que los objetos exteriores se han movido. Si la experiencia tiene éxito, decimos que nos enseña sobre el espacio; si no tiene éxito, recurrimos a los objetos exteriores a los que acusamos de haberse movido; en otras palabras, si no tiene éxito, se le da un empujoncito.

Estas pequeñas sacudidas son legítimas; no me niego a admitirlas; pero bastan para decirnos que las propiedades del espacio no son verdades experimentales, propiamente dichas. Si hubiésemos querido verificar otras leyes, también lo habríamos conseguido, dando otras sacudidas análogas. ¿No habríamos podido siempre justificar estas sacudidas por las mismas razones? A lo sumo se nos habría podido decir:

«Tus sacudidas son sin duda legítimas, pero abusas de ellas; ¿por qué mover los objetos exteriores tan a menudo?»

En resumen, la experiencia no nos prueba que el espacio tiene tres dimensiones; solo nos prueba que es conveniente atribuírsele tres, porque así el número de contratiempos se reduce al mínimo.

A ello añadiré que la experiencia nos pone en contacto únicamente con el espacio representativo, que es un continuo físico, jamás con el espacio geométrico, que es un continuo matemático. A lo sumo, parecería indicarnos que es conveniente atribuir al espacio geométrico tres dimensiones, para que pueda tener tantas como el espacio representativo.

La cuestión empírica puede formularse de otro modo. ¿Es imposible concebir los fenómenos físicos, los fenómenos mecánicos, por ejemplo, de otro modo que en el espacio de tres dimensiones?

Tendríamos así una prueba experimental objetiva, por decirlo así, independiente de nuestra fisiología, de nuestros modos de representación.

Pero no es así; no discutiré aquí la cuestión por completo, me limitaré a recordar el llamativo ejemplo que nos ofrece la mecánica de Hertz. Sabéis que el gran físico no creía en la existencia de fuerzas, propiamente dichas; suponía que los puntos materiales visibles están sometidos a ciertos vínculos invisibles que los unen a otros puntos invisibles y que es el efecto de estos vínculos invisibles lo que atribuimos a las fuerzas.

Pero eso no es sino una parte de sus ideas. Supongamos un sistema formado por n puntos materiales, visibles o no; eso dará en total 3n coordenadas; considerémoslas como las coordenadas de un único punto en un espacio de 3n dimensiones. Este único punto estaría obligado a permanecer sobre una superficie (de cualquier número de dimensiones < 3n) en virtud de los vínculos de los que acabamos de hablar; para ir sobre esta superficie de un punto a otro, tomaría siempre el camino más corto; este sería el único principio que resumiría toda la mecánica.

Cualquiera que sea el juicio que nos merezca esta hipótesis, ya nos atraiga su simplicidad o nos repela su carácter artificial, el simple hecho de que Hertz haya sido capaz de concebirla, y de considerarla más conveniente que nuestras hipótesis habituales, basta para demostrar que nuestras ideas ordinarias, y, en particular, las tres dimensiones del espacio, no se imponen en modo alguno a la mecánica con una fuerza invencible.

# 6. Mente y espacio

La experiencia, por lo tanto, ha desempeñado un solo papel; ha servido de ocasión. Pero este papel no ha dejado de ser muy importante, y he creído necesario ponerlo de relieve.

Este papel habría sido inútil si existiera una forma a priori que se impusiera a nuestra sensibilidad y que fuese el espacio de tres dimensiones.

¿Existe esta forma, o bien, si así lo preferimos, podemos representarnos un espacio de más de tres dimensiones? Y en primer lugar, ¿qué significa esta pregunta? En el verdadero sentido de la palabra, es evidente que no podemos representarnos a nosotros mismos un espacio de cuatro dimensiones, ni tampoco de tres; no podemos en primer lugar representárnoslos vacíos, y mucho menos podemos representarnos un objeto ya sea en un espacio de cuatro o de tres dimensiones: (1) Porque ambos espacios son infinitos y no podemos representarnos una figura en el espacio, es decir, la parte en el todo, sin representar el todo, y esto es imposible por ser infinito; (2) porque ambos espacios son continuos matemáticos, y solo podemos representarnos el continuo físico; (3) porque ambos espacios son homogéneos, y los marcos en los que encerramos nuestras sensaciones, al ser limitados, no pueden ser homogéneos.

Por consiguiente, la cuestión planteada solo puede entenderse de un modo: ¿es posible imaginar que, habiendo sido diferentes los resultados de las experiencias relatadas más arriba, hubiéramos podido ser conducidos a atribuir al espacio más de tres dimensiones?; imaginar, por ejemplo, que la sensación de acomodación pudiera no estar constantemente de acuerdo con la sensación de convergencia de los ojos; o incluso que las experiencias de las cuales hemos hablado en el § 2, y cuyo resultado expresamos diciendo «que el tacto no obra a distancia», nos hubieran conducido a una conclusión inversa.

Y desde luego eso es evidentemente posible; desde el momento en que uno imagina una experiencia, se imagina precisamente con ello los dos resultados contrarios que esta puede arrojar. Eso es posible, pero es difícil, porque debemos superar una multitud de asociaciones de ideas, que son el fruto de una larga experiencia personal y de la experiencia aún más larga de la raza.

¿Son estas asociaciones (o al menos aquellas de ellas que hemos heredado de nuestros antepasados) las que constituyen esta forma a priori de la cual se dice que tenemos intuición pura? Entonces no veo por qué habría que declararla refractaria al análisis y negarme el derecho de investigar su origen.

Cuando se dice que nuestras sensaciones son «extensas», solo se puede querer decir una cosa, a saber, que siempre están asociadas con la idea de ciertas sensaciones musculares, correspondientes a los movimientos que nos permiten alcanzar el objeto que las provoca, que nos permiten, en otras palabras, defendernos contra él.

Y es precisamente porque esta asociación es útil para la defensa del organismo por lo que es tan antigua en la historia de la especie y por lo que nos parece indestructible. Sin embargo, no deja de ser una asociación y podemos concebir que llegue a romperse; de modo que no podemos decir que la sensación no pueda entrar en la conciencia sin entrar en el espacio, sino que, de hecho, no entra en la conciencia sin entrar en el espacio, lo que significa, sin estar enmarañada en esta asociación.

Menos aún puedo comprender que se diga que la idea de tiempo es lógicamente posterior a la del espacio, puesto que solo podemos representárnosla bajo la forma de una línea recta; tanto valdría decir que el tiempo es lógicamente posterior al cultivo de las praderas, puesto que suele representárselo armado con una guadaña.

Que no se puedan representar simultáneamente las distintas partes del tiempo, se cae de su órbita, puesto que el carácter esencial de estas partes es precisamente no ser simultáneas.

Eso no significa que no tengamos la intuición del tiempo. En ese sentido, tampoco tendríamos la del espacio, pues tampoco podemos representárnoslo, en el sentido propio de la palabra, por las razones que he mencionado.

Lo que nos representamos bajo el nombre de recta es una imagen burda que se parece tan mal a la recta geométrica como al propio tiempo.

¿Por qué se ha dicho que todo intento de dar una cuarta dimensión al espacio devuelve siempre esta última a una de las otras tres?

Es fácil de comprender. Consideremos nuestras sensaciones musculares y la «serie» que pueden formar. Como consecuencia de numerosas experiencias, las ideas de estas series se asocian entre sí en una trama muy compleja, nuestras series son clasificadas.

Permítanme, por comodidad del lenguaje, expresar mi pensamiento de una manera totalmente burda e incluso inexacta diciendo que nuestras series de sensaciones musculares se clasifican en tres clases correspondientes a las tres dimensiones del espacio. Por supuesto, esta clasificación es mucho más complicada que eso, pero bastará para hacer comprender mi razonamiento.

Si deseo imaginar una cuarta dimensión, supondré otra serie de sensaciones musculares, que forma parte de una cuarta clase. Pero como todas mis sensaciones musculares ya han sido clasificadas en una de las tres clases preexistentes, solo puedo representarme una serie perteneciente a una de estas tres clases, de modo que mi cuarta dimensión queda devuelta a una de las otras tres.

¿Qué demuestra eso? Esto: que habría sido necesario primero destruir la antigua clasificación y reemplazarla por una nueva en la cual la serie de sensaciones musculares hubiera debido distribuirse en cuatro clases. La dificultad habría desaparecido.

Se presenta a veces bajo una forma más llamativa.

Supongamos que estoy encerrado en una estancia entre los seis límites infranqueables formados por las cuatro paredes, el suelo y el techo; me será imposible salir e imaginar mi salida.

Perdone, ¿no puede imaginar que la puerta se abre, o que dos de estas paredes se separan?

Pero por supuesto, responde usted, hay que suponer que estas paredes permanecen inmóviles. Sí, pero es evidente que tengo derecho a moverme; y entonces las paredes que suponemos absolutamente en reposo estarán en movimiento con respecto a mí.

Sí, pero tal movimiento relativo no puede ser arbitrario; cuando los objetos están en reposo, su movimiento relativo con respecto a cualquier eje es el de un sólido rígido; ahora bien, los movimientos aparentes que usted imagina no están de acuerdo con las leyes del movimiento de un sólido rígido.

Sí, pero es la experiencia la que nos ha enseñado las leyes del movimiento de un sólido rígido; nada nos impediría imaginarlas diferentes.

En resumen, para imaginar que salgo de mi prisión, solo tengo que imaginar que las paredes parecen abrirse cuando yo me muevo.

Creo, por consiguiente, que si por espacio se entiende un continuo matemático de tres dimensiones, aun cuando por lo demás sea amorfo, es la mente la que lo construye, pero no lo construye a partir de la nada; necesita materiales y modelos. Estos materiales, al igual que estos modelos, preexisten en su interior. Pero no hay un solo modelo que se le imponga; tiene elección; puede elegir, por ejemplo, entre el espacio de cuatro y el espacio de tres dimensiones.

¿Cuál es entonces el papel de la experiencia? Da las indicaciones a partir de las cuales se hace la elección.

Otra cosa: ¿de dónde obtiene el espacio su carácter cuantitativo?

Proviene del papel que la serie de sensaciones musculares desempeña en su génesis. Estas son series que pueden repetirse, y de su repetición surge el número; es porque pueden repetirse indefinidamente que el espacio es infinito. Y finalmente hemos visto, al final de la sección 3, que también es debido a esto que el espacio es relativo. Así pues, es la repetición la que ha conferido al espacio sus características esenciales; ahora bien, la repetición supone el tiempo; esto basta para indicar que el tiempo es lógicamente anterior al espacio.

7. Rôle of the Semicircular Canals

No he hablado hasta ahora del papel de ciertos órganos a los que los fisiólogos atribuyen con razón una importancia capital, me refiero a los canales semicirculares. Numerosos experimentos han demostrado suficientemente que estos canales son necesarios para nuestro sentido de la orientación; pero los fisiólogos no están completamente de acuerdo; se han propuesto dos teorías opuestas, la de Mach-Delage y la de M. de Cyon.

M. de Cyon es un fisiólogo que ha hecho su nombre ilustre con importantes descubrimientos sobre la inervación del corazón; no puedo, sin embargo, estar de acuerdo con sus ideas sobre la cuestión que tenemos entre manos. No siendo fisiólogo, dudo en criticar los experimentos que ha dirigido contra la teoría contraria de Mach-Delage; me parece, sin embargo, que no son convincentes, porque en muchos de ellos se hizo variar la presión total en uno de los canales, mientras que, fisiológicamente, lo que varía es la diferencia entre las presiones en los dos extremos del canal; en otros, los órganos fueron sometidos a lesiones profundas, las cuales deben alterar sus funciones.

Además, esto no es importante; los experimentos, de ser irreprochables, podrían resultar convincentes en contra de la vieja teoría. No resultarían convincentes a favor de la nueva teoría. De hecho, si he entendido bien la teoría, con que yo la explique bastará para comprender que es imposible concebir un experimento que la confirme.

Los tres pares de canales tendrían como única función decirnos que el espacio tiene tres dimensiones. Los ratones japoneses solo tienen dos pares de canales; creen, al parecer, que el espacio tiene solo dos dimensiones, y manifiestan esta opinión de la manera más extraña: se ponen en círculo y, así ordenados, giran rápidamente sobre sí mismos. Las lampreas, al tener un solo par de canales, creen que el espacio tiene una sola dimensión, pero sus manifestaciones son menos turbulentas.

Es evidente que semejante teoría es inadmisible. Los órganos de los sentidos están diseñados para informarnos de los cambios que ocurren en el mundo exterior. No podríamos comprender por qué el Creador habría de habernos dado órganos destinados a gritar sin cesar: Recordad que el espacio tiene tres dimensiones, ya que el número de estas tres dimensiones no está sujeto a cambio.

Debemos, por lo tanto, volver a la teoría de Mach-Delage. Lo que los nervios de los canales pueden decirnos es la diferencia de presión en las dos extremidades de un mismo canal y, por ende: (1) la dirección de la vertical con respecto a tres ejes rígidamente unidos a la cabeza; (2) las tres componentes de la aceleración de traslación del centro de gravedad de la cabeza; (3) las fuerzas centrífugas desarrolladas por la rotación de la cabeza; (4) la aceleración del movimiento de rotación de la cabeza.

Se deduce de los experimentos del Sr. Delage que esta última indicación es con mucho la más importante; sin duda porque los nervios son menos sensibles a la diferencia de presión en sí misma que a las variaciones bruscas de dicha diferencia. Las primeras tres indicaciones pueden, por tanto, ser ignoradas.

Conociendo la aceleración del movimiento de rotación de la cabeza en cada instante, deducimos de ella, por una integración inconsciente, la orientación final de la cabeza, referida a una cierta orientación inicial tomada como origen. Los canales semicirculares contribuyen, por tanto, a informarnos de los movimientos que hemos ejecutado, y ello al mismo título que las sensaciones musculares.

Cuando, por tanto, más arriba hablamos de la serie S o de la serie Σ, deberíamos decir, no que estas eran series de sensaciones musculares únicamente, sino que eran series al mismo tiempo de sensaciones musculares y de sensaciones debidas a los canales semicirculares.

Aparte de esta adición, no tendríamos nada que cambiar en lo que precede.

En las series S y Σ, estas sensaciones de los canales semicirculares ocupan evidentemente un lugar muy importante. Sin embargo, por sí solas no bastarían, porque solo pueden hablarnos de los movimientos de la cabeza; no nos dicen nada de los movimientos relativos del cuerpo o de los miembros con respecto a la cabeza. Y aún más, parece que solo nos hablan de las rotaciones de la cabeza y no de las traslaciones que esta pueda experimentar.