LIBRO I LA CIENCIA Y EL CIENTÍFICO

# CAPÍTULO I

# La elección de los hechos

Tolstoi explica en alguna parte por qué «la ciencia por la ciencia misma» es a sus ojos una concepción absurda. No podemos conocer todos los hechos, ya que su número es prácticamente infinito.

Es necesario elegir; entonces podemos dejar que esa elección dependa del puro capricho de nuestra curiosidad; ¿no sería mejor dejarnos guiar por la utilidad, por nuestras necesidades prácticas y sobre todo morales?; ¿no tenemos nada mejor que hacer que contar el número dequitaesponjas en nuestro planeta?

Es evidente que la palabra utilidad no tiene para él el sentido que le dan los hombres de negocios y, tras ellos, la mayoría de nuestros contemporáneos.

Poco le importan las aplicaciones industriales, las maravillas de la electricidad o del automovilismo, que considera más bien como obstáculos para el progreso moral; la utilidad es para él únicamente lo que puede hacer mejor al hombre.

Por mi parte, apenas es necesario decirlo, jamás podría contentarme con ni el uno ni el otro ideal; no quiero ni esa plutocracia ávida y mezquina, ni esa democracia beata y mediocre, ocupada únicamente en poner la otra mejilla, donde habitarían sabios sin curiosidad que, huyendo del exceso, no morirían de enfermedad, pero sin duda morirían de aburrimiento. Pero eso es una cuestión de gusto y no es lo que deseo discutir.

La cuestión, sin embargo, subsiste y debe fijar nuestra atención; si nuestra elección solo puede estar determinada por el capricho o por la utilidad inmediata, no puede haber ciencia por la ciencia misma y, por consiguiente, ninguna ciencia.

Pero ¿es eso verdad? Que hay que hacer una elección es incontestable; cualquiera que sea nuestra actividad, los hechos van más deprisa que nosotros y no podemos alcanzarlos; mientras que el científico descubre un hecho, ocurren millares de millares en un milímetro cúbico de su cuerpo. Querer abarcar la naturaleza en la ciencia sería querer meter el todo en la parte.

Pero los científicos creen que hay una jerarquía de los hechos y que entre ellos puede hacerse una elección juiciosa. Tienen razón, ya que de otro modo no habría ciencia, y sin embargo la ciencia existe.

Basta abrir los ojos para ver que las conquistas de la industria que han enriquecido a tantos hombres prácticos nunca habrían visto la luz si esos hombres prácticos hubiesen existido solos y si no hubiesen estado precedidos por devotos desinteresados que murieron pobres, que nunca pensaron en la utilidad y que, sin embargo, tenían un guía muy distinto al capricho.

Como dice Mach, estos devotos han ahorrado a sus sucesores la molestia de pensar.

Los que hubieran trabajado únicamente con vistas a una aplicación inmediata no habrían dejado nada tras de sí y, ante una necesidad nueva, todo tendría que empezar de nuevo.

Ahora bien, a la mayoría de los hombres no les gusta pensar, y esto es quizá una suerte cuando el的 instinto los guía, pues las más de las veces, cuando persiguen un fin inmediato y siempre idéntico, el instinto los guía mejor de lo que la razón guiaría a una inteligencia pura.

Pero el instinto es rutina, y si el pensamiento no lo fecundara, no progresaría en el hombre más que en la abeja o en la hormiga.

Es necesario, pues, pensar por aquellos a quienes no les gusta pensar y, como son numerosos, es preciso que cada uno de nuestros pensamientos sea tan útil como sea posible, y por eso una ley será tanto más preciosa cuanto más general sea.

Esto nos muestra cómo debemos elegir: los hechos más interesantes son aquellos que pueden servir muchas veces; estos son los hechos que tienen la oportunidad de volver a presentarse. Hemos tenido la fortuna de nacer en un mundo donde los hay.

Supongamos que en vez de 60 elementos químicos hubiera 60 mil millones de ellos, que no estuvieran unos comunes y otros raros, sino que estuvieran uniformemente distribuidos. Entonces, cada vez que cogiéramos un nuevo guijarro habría una gran probabilidad de que estuviera formado por alguna sustancia desconocida; todo lo que supiéramos sobre otros guijarros no serviría de nada para este; ante cada objeto nuevo estaríamos como el recién nacido; como él, solo podríamos obedecer a nuestros caprichos o a nuestras necesidades.

Los biólogos estarían igual de perdidos si solo hubiera individuos y no especies, y si la herencia no hiciera a los hijos semejantes a sus padres.

En un mundo así no habría ciencia; tal vez el pensamiento e incluso la vida serían imposibles, ya que la evolución no podría desarrollar allí los instintos de preservación. Por fortuna no es así; como toda la buena fortuna a la que estamos acostumbrados, esta no se aprecia en su justo valor.

¿Cuáles son entonces los hechos susceptibles de reaparecer? Son, en primer lugar, los hechos simples. Es evidente que en un hecho complejo se hallan unidas por el azar mil circunstancias, y que solo un azar aún mucho menos probable podría volver a reunirlas de nuevo.

Pero ¿existen hechos simples? Y si existen, ¿cómo reconocerlos? ¿Qué garantía hay de que algo que creemos simple no oculte una tremenda complejidad? Todo lo que podemos decir es que debemos preferir los hechos que parecen simples a aquellos en los que nuestro ojo basto discierne elementos disímiles.

Y entonces se da una de estas dos cosas: o bien esta simplicidad es real, o bien los elementos están tan íntimamente mezclados que no se distinguen.

• En el primer caso, existe la probabilidad de que volvamos a encontrar este mismo hecho simple, ya sea en toda su pureza o integrándose como elemento en una multiplicidad compleja.
• En el segundo caso, esta mezcla íntima tiene asimismo más probabilidades de repetirse que un ensamblaje heterogéneo; el azar sabe mezclar, pero no sabe desenredar, y para hacer con múltiples elementos un edificio bien ordenado en el que algo sea distinguible, hay que hacerlo expresamente.

Los hechos que parecen simples, aun cuando no lo sean, serán por tanto más fácilmente revividos por el azar. Esto es lo que justifica el método adoptado instintivamente por el científico, y lo que lo justifica aún mejor, tal vez, es que los hechos de frecuente repetición nos parecen simples, precisamente porque estamos acostumbrados a ellos.

Pero ¿dónde está el hecho simple? Los científicos lo han estado buscando en los dos extremos, en lo infinitamente grande y en lo infinitamente pequeño.

El astrónomo lo ha encontrado porque las distancias de las estrellas son inmensas, tan grandes que cada una de ellas se nos aparece tan solo como un punto, tan grandes que las diferencias cualitativas se borran, y porque un punto es más simple que un cuerpo que tiene forma y cualidades.

El físico, por otra parte, ha buscado el fenómeno elemental seccionando ficticiamente los cuerpos en cubos infinitesimales, porque las condiciones del problema, que experimentan una variación lenta y continua al pasar de un punto a otro del cuerpo, pueden considerarse constantes en el interior de cada uno de estos pequeños cubos.

Del mismo modo en que el biólogo se ha visto instintivamente llevado a considerar la célula más interesante que el animal entero, y el resultado ha demostrado su sabiduría, ya que las células pertenecientes a los organismos más diferentes se parecen más, para quien sabe reconocer sus semejanzas, que estos mismos organismos.

El sociólogo está más desconcertado; los elementos, que para él son hombres, son demasiado desemejantes, demasiado variables, demasiado caprichosos, en una palabra, demasiado complejos; además, la historia nunca vuelve a empezar.

¿Cómo elegir entonces el hecho interesante, que es aquel que vuelve a empezar?

El método es precisamente la elección de los hechos; es necesario, pues, ocuparse primero de crear un método, y se han imaginado muchos, puesto que ninguno se impone, de modo que la sociología es la ciencia que tiene más métodos y menos resultados.

Por tanto, conviene comenzar por los hechos regulares; pero una vez bien establecida la regla, una vez que está fuera de toda duda, los hechos que están en plena conformidad con ella pierden pronto su interés, ya que no nos enseñan nada nuevo.

Es entonces la excepción la que adquiere importancia. Dejamos de buscar semejanzas; nos dedicamos sobre todo a las diferencias, y entre las diferencias se eligen primero las más acentuadas, no solo porque son las más llamativas, sino porque serán las más instructivas.

Un sencillo ejemplo aclarará mi pensamiento:

Supóngase que se desea determinar una curva observando algunos de sus puntos. El práctico que solo se ocupa de la utilidad inmediata observaría únicamente los puntos que pudiera necesitar para algún objeto especial. Estos puntos estarían mal distribuidos en la curva; se amontonarían en ciertas regiones, escasearían en otras, de modo que sería imposible unirlos mediante una línea continua, y no servirían para otras aplicaciones.

El científico procederá de otro modo; como desea estudiar la curva por sí misma, distribuirá regularmente los puntos que ha de observar, y cuando conozca suficientes, los unirá mediante una línea regular y tendrá entonces la curva entera.

Pero, para lograrlo, ¿cómo procede? Si ha determinado un punto extremo de la curva, no se detiene cerca de esta extremidad, sino que va primero al otro extremo; después de los dos extremos, el punto más instructivo será el punto medio, y así sucesivamente.

Por eso, cuando se establece una regla, debemos buscar primero los casos en los que esta regla tiene mayores probabilidades de fracasar. De ahí provienen, entre otras razones, el interés de los hechos astronómicos y el interés del pasado geológico; yendo muy lejos en el espacio o muy lejos en el tiempo, podemos encontrar nuestras reglas habituales totalmente trastornadas, y estos grandes trastocamientos nos ayudan a ver mejor o a comprender mejor los pequeños cambios que pueden ocurrir más cerca de nosotros, en el pequeño rincón del mundo donde estamos llamados a vivir y actuar. Conoceremos mejor este rincón por haber viajado a países distantes que no nos conciernen en absoluto.

Pero a lo que debemos aspirar es menos a la constatación de semejanzas y diferencias que al reconocimiento de parendios ocultos bajo divergencias aparentes.

Las reglas particulares parecen al principio discordantes, pero mirando más de cerca vemos en general que se asemejan; diferentes en cuanto a la materia, se parecen en cuanto a la forma, en cuanto al orden de sus partes.

Cuando las miramos con este sesgo, las veremos agrandarse y tender a abarcarlo todo. Y esto es lo que da valor a ciertos hechos que vienen a completar un conjunto y a mostrar que es la imagen fiel de otros conjuntos conocidos.

No insistiré más, pero estas pocas palabras bastan para mostrar que el científico no elige al azar los hechos que observa.

No cuenta, como dice Tolstói, las vaquitas de San Antonio, porque, por interesantes que sean las vaquitas de San Antonio, su número está sujeto a variaciones caprichosas.

Busca condensar mucha experiencia y mucho pensamiento en un volumen delgado; y por eso un pequeño libro de física contiene tantas experiencias pasadas y mil veces más experiencias posibles cuyo resultado se conoce de antemano.

Pero hasta ahora solo hemos considerado un lado de la cuestión.

El científico no estudia la naturaleza porque sea útil; la estudia porque se deleita en ella, y se deleita en ella porque es bella. Si la naturaleza no fuera bella, no valdría la pena conocerla, y si la naturaleza no valdría la pena conocerla, la vida no valdría la pena ser vivida.

Por supuesto, no hablo aquí de esa belleza que impresiona los sentidos, la belleza de las cualidades y de las apariencias; no es que desdeñe tal belleza, ni mucho menos, pero no tiene nada que ver con la ciencia; me refiero a esa belleza más profunda que proviene del orden armonioso de las partes y que una inteligencia pura puede captar.

Es esta la que da cuerpo, por decirlo así, a las apariencias iridiscentes que halagan nuestros sentidos, y sin este apoyo la belleza de estos sueños fugaces sería solo imperfecta, porque sería vaga y siempre pasajera.

Por el contrario, la belleza intelectual se basta a sí misma, y es por ella, más quizás que por el bien futuro de la humanidad, por lo que el científico se entrega a largas y difíciles labores.

Es, por lo tanto, la búsqueda de esta belleza especial, el sentido de la armonía del cosmos, lo que nos hace elegir los hechos más aptos para contribuir a esta armonía, del mismo modo que el artista elige entre los rasgos de su modelo aquellos que perfeccionan el cuadro y le dan carácter y vida.

Y no debemos temer que esta preposesión instintiva y no confesada aparte al científico de la búsqueda de lo verdadero. ¡Uno puede soñar un mundo armonioso, pero cuán lejos lo dejará atrás el mundo real! Los mayores artistas que han existido, los griegos, hicieron sus cielos; ¡cuán mezquino es este junto a los verdaderos cielos, los nuestros!

Y es porque la sencillez, porque la grandeza, es bella, por lo que buscamos preferentemente los hechos simples, los hechos sublimes, por lo que nos deleitamos ya en seguir el curso majestuoso de los astros, ya en examinar con el microscopio esa prodigiosa pequeñez que es también una grandeza, ya en buscar en el tiempo geológico las huellas de un pasado que atrae porque está lejos.

Vemos también que el anhelo de lo bello nos conduce a la misma elección que el anhelo de lo útil. Y así es como esta economía del pensamiento, esta economía del esfuerzo, que es, según Mach, la tendencia constante de la ciencia, es al mismo tiempo una fuente de belleza y una ventaja práctica.

Los edificios que admiramos son aquellos en los que el arquitecto ha sabido proportionar los medios al fin, en los que las columnas parecen llevar alegremente, sin esfuerzo, el peso que se les confía, como las graciosas cariátides del Erecteión.

¿De dónde viene esta concordancia? ¿Es simplemente que las cosas que nos parecen bellas son aquellas que mejor se adaptan a nuestra inteligencia y que, por consiguiente, son al mismo tiempo el instrumento que esta inteligencia sabe usar mejor?

¿O hay aquí un juego de evolución y selección natural? ¿Han exterminado los pueblos cuyo ideal se conformaba más a su mayor interés a los demás y tomado su lugar? Todos persiguieron sus ideales sin preocuparse por las consecuencias, pero mientras que esta búsqueda condujo a unos a la destrucción, a otros les dio el imperio. Uno se siente tentado a creerlo. Si los griegos triunfaron sobre los bárbaros y si Europa, heredera del pensamiento griego, domina el mundo, es porque los salvajes amaban los colores chillones y los tonos estridentes del tambor que solo ocupaban sus sentidos, mientras que los griegos amaban la belleza intelectual que se esconde bajo la belleza sensorial, y esta belleza intelectual es la que hace que la inteligencia sea segura y fuerte.

Sin duda, semejante triunfo horrorizaría a Tolstói, y no le gustaría reconocer que puede ser verdaderamente útil. Pero esta búsqueda desinteresada de lo verdadero por su propia belleza es también sensata y capaz de hacer mejor al hombre.

Bien sé que hay errores, que el pensador no siempre extrae de ello la serenidad que debería hallar, y aun que hay científicos de mal carácter.

¿Debemos, por lo tanto, abandonar la ciencia y estudiar únicamente la moral? ¡Cómo! ¿Pensáis que los moralistas mismos son irreproachables cuando descienden de su pedestal?

# CAPÍTULO II

# El futuro de las matemáticas

Para prever el futuro de las matemáticas, el verdadero método es estudiar su historia y su estado actual.

¿No es esto para nosotros los matemáticos, en cierto modo, un procedimiento profesional?

Estamos acostumbrados a extrapolar, lo cual es un medio para deducir el futuro a partir del pasado y del presente, y como sabemos bien en qué consiste esto, no corremos el riesgo de engañarnos sobre el alcance de los resultados que nos ofrece.

Hasta ahora hemos tenido profetas de la desgracia. Repiten alegremente que todos los problemas susceptibles de solución ya han sido resueltos y que no queda más que espigar.

Por suerte, el caso del pasado nos tranquiliza. A menudo se creía que todos los problemas estaban resueltos o que al menos se había hecho un inventario de todos los que admitían solución. Y entonces el sentido de la palabra solución se amplió, los problemas insolubles se convirtieron en los más interesantes de todos, y otros imprevistos hicieron su aparición.

Para los griegos, una buena solución era aquella que empleaba únicamente regla y compás; luego pasó a ser la obtenida mediante la extracción de raíces, después la que utilizaba solo funciones algebraicas o logarítmicas. Los pesimistas se han visto así siempre desbordados, siempre obligados a retroceder, de modo que en la actualidad creo que ya no quedan.

Mi intención, por lo tanto, no es combatirlas, ya que están muertas; bien sabemos que las matemáticas continuarán desarrollándose, pero la pregunta es ¿cómo, en qué dirección?

Ustedes responderán, «en todas las direcciones», y eso es parcialmente cierto; pero si fuera totalmente cierto, sería un tanto aterrorizante. Nuestras riquezas pronto se volverían agobiantes y su acumulación produciría una mezcla tan impenetrable como lo era la verdad desconocida para los ignorantes.

El historiador, el físico incluso, debe hacer una elección entre los hechos; la cabeza del científico, que no es sino un rincón del universo, jamás podría contener el universo entero; de modo que, entre los innumerables hechos que la naturaleza ofrece, unos serán soslayados, otros retenidos.

Así también, a fortiori, en matemáticas; tampoco el geómetra puede retener firmemente en tropel todos los hechos que se le presentan; tanto más cuanto que es él mismo, casi diría su capricho, quien crea estos hechos. Construye una combinación enteramente nueva uniendo sus elementos; la naturaleza, por lo general, no se la da hecha.

Sin duda, a veces sucede que el matemático emprende un problema para satisfacer una necesidad de la física; que el físico o el ingeniero le piden calcular un número para una aplicación determinada.

¿Habrá que decir que los geómetras debemos limitarnos a aguardar órdenes y, en lugar de cultivar nuestra ciencia para nuestro propio deleite, procurar únicamente acomodarnos a los deseos de nuestros benefactores?

Si la matemática no tuviera otro objeto que el de ayudar a quienes estudian la naturaleza, sería de estos de quienes tendríamos que aguardar órdenes. ¿Es legítima esta forma de verlo? Ciertamente no; si no hubiésemos cultivado las ciencias exactas por sí mismas, no habríamos creado la matemática como instrumento, y el día en que llegara la llamada del físico nos habríamos hallado desamparados.

Tampoco esperan los físicos a estudiar un fenómeno hasta que alguna necesidad urgente de la vida material lo haya convertido en una necesidad para ellos; y tienen razón. Si los científicos del siglo XVIII hubiesen descuidado la electricidad por considerarla a sus ojos solo una curiosidad sin interés práctico, no habríamos tenido en el siglo XX ni telegrafía, ni electroquímica, ni electrotecnia.

Los físicos, obligados a elegir, no se guían, por tanto, en su elección únicamente por la utilidad. ¿Cómo eligen entonces entre los hechos de la naturaleza? Lo hemos explicado en el capítulo precedente: los hechos que les interesan son aquellos capaces de conducir al descubrimiento de una ley, y así son análogos a muchos otros hechos que no nos parecen aislados, sino estrechamente agrupados con otros.

El hecho aislado atrae todas las miradas, las del profano tanto como las del científico. Pero lo que el auténtico físico es el único en saber ver es el vínculo que une a muchos hechos cuya analogía es profunda pero oculta.

La historia de la manzana de Newton probablemente no sea cierta, pero es simbólica; hablemos de ella entonces como si lo fuera. Pues bien, debemos creer que antes de Newton bastantes hombres habían visto caer manzanas; ni uno solo supo deducir nada de ello. Los hechos serían estériles de no haber mentes capaces de elegir entre ellos, de discernir aquellos detrás de los cuales se oculta algo, y de reconocer lo que se está ocultando, mentes que bajo el hecho bruto perciben el alma del hecho.

Hallamos exactamente lo mismo en las matemáticas. De los variados elementos de que disponemos podemos obtener millones de combinaciones diferentes; pero una de estas combinaciones, en tanto que se halla aislada, carece absolutamente de valor.

A menudo nos hemos tomado grandes molestias para construirla, mas no sirve para ningún propósito, si acaso no es para proporcionar una tarea en la enseñanza secundaria. Muy otra cosa sucederá cuando esta combinación halle lugar en una clase de combinaciones análogas y hayamos advertido esta analogía.

Ya no nos hallamos en presencia de un hecho, sino de una ley. Y en ese día el verdadero descubridor no será el obrero que haya construido pacientemente algunas de estas combinaciones; será aquel que saque a la luz su parentesco. El primero no habrá visto más que el hecho bruto, solo el segundo habrá percibido el alma del hecho.

A menudo para fijar este parentesco le basta con acuñar una palabra nueva, y esta palabra es creadora. La historia de la ciencia nos proporciona una multitud de ejemplos familiares para todos.

El célebre filósofo vienés Mach ha dicho que el papel de la ciencia es producir economía de pensamiento, así como las máquinas producen economía de esfuerzo. Y eso es muy cierto.

El salvaje cuenta con los dedos o amontonando guijarros. Al enseñar a los niños la tabla de multiplicar les ahorramos más tarde innumerables montones de guijarros. Alguien ya ha descubierto, con guijarros o de otro modo, que 6 por 7 es 42 y ha tenido la idea de anotar el resultado, y así no necesitamos volver a hacerlo.

No perdió su tiempo ni siquiera si calculaba por placer: su operación le llevó solo dos minutos; les habría tomado a todos dos mil millones si mil millones de hombres hubieran tenido que repetirla después de él.

La importancia de un hecho se mide entonces por su rendimiento, es decir, por la cantidad de pensamiento que nos permite ahorrar.

En la física, los hechos de gran rendimiento son aquellos que entran a formar parte de una ley muy general, ya que a partir de ella permiten prever un gran número de otros, y exactamente lo mismo ocurre en las matemáticas.

Supongamos que he emprendido un cálculo complicado y he llegado laboriosamente a un resultado: no me compensará el esfuerzo si con ello no me he vuelto capaz de prever los resultados de otros cálculos análogos y de guiarlos con una certeza que evite las tanteos a los que uno debe resignarse en un primer intento.

Por otra parte, no habré perdido el tiempo si estos mismos tanteos han terminado por revelarme la profunda analogía del problema recién tratado con una clase mucho más amplia de otros problemas; si me han mostrado a la vez las semejanzas y diferencias de estos, si en una palabra me han hecho percibir la posibilidad de una generalización.

Entonces no es un nuevo resultado lo que he ganado, es un nuevo poder.

El ejemplo sencillo que viene primero a la mente es el de una fórmula algebraica que nos da la solución de un tipo de problemas numéricos cuando finalmente reemplazamos las letras por números. Gracias a ella, un solo cálculo algebraico nos ahorra la molestia de recomenzar sin cesar nuevos cálculos numéricos. Pero este es solo un ejemplo burdo; todos sabemos que hay analogías inexpresables por una fórmula y tanto más preciosas.

Un resultado nuevo tiene valor, si es que lo tiene, cuando al unificar elementos desde antiguo conocidos pero hasta entonces separados y extraños los unos a los otros, introduce de repente orden donde Aparentemente reinaba el desorden.

Nos permite entonces ver de un solo vistazo cada uno de estos elementos y su lugar en el conjunto. Este nuevo hecho no es meramente precioso por sí mismo, sino que él solo da valor a todos los viejos hechos que combina.

Nuestra mente es débil como lo son los sentidos; se perdería en la complejidad del mundo si esta complejidad no fuera armoniosa; como un miope, solo vería los detalles y se vería obligada a olvidar cada uno de estos detalles antes de examinar el siguiente, ya que sería incapaz de abarcarlos todos.

Los únicos hechos dignos de nuestra atención son aquellos que introducen orden en esta complejidad y hacen así que sea accesible.

Los matemáticos conceden gran importancia a la elegancia de sus métodos y de sus resultados. Esto no es puro diletantismo.

¿Qué es en realidad lo que nos da la sensación de elegancia en una solución, en una demostración?

Es la armonía de las diversas partes, su simetría, su feliz equilibrio; en una palabra, es todo lo que introduce orden, todo lo que da unidad, lo que nos permite ver con claridad y comprender de un solo vistazo tanto el conjunto como los detalles.

Pero esto es precisamente lo que produce grandes resultados; de hecho, cuanto más claramente y de un solo golpe de vista vemos este agregado, mejor percibimos sus analogías con otros objetos vecinos y, por consiguiente, más posibilidades tenemos de adivinar las posibles generalizaciones.

La elegancia puede producir el sentimiento de lo imprevisto mediante el encuentro inesperado de objetos que no estamos acostumbrados a reunir; también ahí es fecunda, puesto que nos revela así parentescos antes desconocidos.

Es fecundo aun cuando resulta únicamente del contraste entre la simplicidad de los medios y la complejidad del problema planteado; nos hace pensar entonces en la razón de este contraste y muy a menudo nos hace ver que el azar no es la razón; que hay que buscarla en alguna ley imprevista.

En una palabra, el sentimiento de la elegancia matemática no es sino la satisfacción debida a cualquier adaptación de la solución a las necesidades de nuestra mente, y es a causa de esta misma adaptación por lo que dicha solución puede ser para nosotros un instrumento.

En consecuencia, esta satisfacción estética está ligada a la economía del pensamiento.

De nuevo me viene a la mente la comparación del Erecteión, pero no debo usarla con demasiada frecuencia.

Es por la misma razón por la cual, cuando un cálculo bastante largo ha conducido a algún resultado simple y sorprendente, no nos sentimos satisfechos hasta haber demostrado que habríamos sido capaces de prever, si no este resultado entero, al menos sus rasgos más característicos.

¿Por qué? ¿Qué nos impide conformarnos con un cálculo que nos ha dicho, al parecer, todo lo que deseábamos saber?

Es porque, en casos análogos, el cálculo largo podría no servir de nuevo, y esto no sucede con el razonamiento a menudo medio intuitivo que nos habría permitido prever. Siendo corto este razonamiento, vemos de un solo vistazo todas sus partes, de modo que percibimos inmediatamente lo que hay que cambiar para adaptarlo a todos los problemas de la misma naturaleza que puedan presentarse.

Y luego, nos permite prever si la solución de estos problemas será simple; nos muestra, al menos, si el cálculo vale la pena de ser emprendido.

Lo que acabamos de decir basta para mostrar cuán vano sería pretender reemplazar por cualquier procedimiento mecánico la libre iniciativa del matemático.

Para obtener un resultado de verdadero valor, no basta con triturar cálculos, ni con tener una máquina para poner las cosas en orden; no es el orden solo, es el orden inesperado lo que vale la pena.

La máquina podrá roer el hecho bruto, pero el alma del hecho siempre se le escapará.

Desde mediados del siglo pasado, los matemáticos desean cada vez más alcanzar el rigor absoluto; tienen razón, y esta tendencia se acentuará cada vez más. En matemáticas el rigor no lo es todo, pero sin él no hay nada.

Una demostración que no es rigurosa es la nada. Pienso que nadie contestará esta verdad. Pero si se tomara demasiado al pie de la letra, se nos llevaría a concluir que antes de 1820, por ejemplo, no había matemáticas; esto sería manifiestamente excesivo; los geómetras de ese tiempo comprendían voluntariamente lo que nosotros explicamos mediante un discurso prolijo. Esto no significa que no lo vieran en absoluto; sino que pasaban por alto con demasiada rapidez, y para verlo bien hubiera sido necesario tomarse la molestia de decirlo.

¿Pero es siempre necesario decirlo tantas veces? Aquellos que fueron los primeros en anteponer el rigor por encima de todo nos han legado argumentos que podemos intentar imitar; pero si las demostraciones del futuro han de construirse sobre este modelo, los tratados matemáticos serán muy largos; y si temo tales prolongaciones, no es únicamente porque desapruebe la saturación de las bibliotecas, sino porque temo que, al alargarse, nuestras demostraciones pierdan esa apariencia de armonía cuya utilidad acabo de explicar.

A la economía del pensamiento es a lo que debemos aspirar, por lo que no basta con proporcionar modelos para la imitación. Es necesario que quienes vengan después de nosotros puedan prescindir de estos modelos y, en lugar de repetir un argumento ya hecho, resumirlo en pocas palabras. Y esto ya se ha conseguido en ocasiones. Por ejemplo, había un tipo de razonamiento que se encontraba por doquier, y siempre igual. Eran perfectamente exactos pero largos. De repente se dio con la frase «uniformidad de convergencia» y esta frase hizo innecesarios aquellos argumentos; ya no se nos pedía que los repitiéramos, puesto que podían entenderse.

Quienes vencen las dificultades nos prestan, pues, un doble servicio: primero, nos enseñan a hacer como ellos en caso necesario, pero sobre todo nos permiten, tan a menudo como sea posible, evitar hacer como ellos, aunque sin sacrificar la exactitud.

Acabamos de ver con un solo ejemplo la importancia de las palabras en las matemáticas, pero se podrían citar muchos otros. Cuesta creer cuánto puede economizar el pensamiento una palabra bien elegida, como dice Mach. Quizá ya haya dicho en alguna parte que las matemáticas son el arte de dar el mismo nombre a cosas diferentes. Conviene que estas cosas, que difieren en la materia, sean semejantes en la forma para que puedan, por decirlo así, correr en el mismo molde.

Cuando el lenguaje ha sido bien elegido, nos sorprende ver que todas las demostraciones hechas para un determinado objeto se aplican inmediatamente a muchos objetos nuevos; no hay nada que cambiar, ni siquiera las palabras, puesto que los nombres se han vuelto los mismos.

Una palabra bien elegida suele bastar para suprimir las excepciones que sufren las reglas formuladas a la antigua usanza; por eso hemos creado las cantidades negativas, los imaginarios, los puntos en el infinito y qué sé yo cuántas cosas más.

Y las excepciones, no debemos olvidarlo, son perniciosas porque ocultan las leyes.

Pues bien, esta es una de las características por las cuales reconocemos los hechos que producen grandes resultados. Son aquellos que permiten estas felices innovaciones del lenguaje. El hecho bruto, por tanto, suele carecer de gran interés; podemos señalarlo muchas veces sin haber prestado un gran servicio a la ciencia. Adquiere valor únicamente cuando un pensador más prudente percibe la relación que representa y la simboliza mediante una palabra.

Además, los físicos hacen exactamente lo mismo. Han inventado la palabra «energía», y esta palabra ha sido prodigiosamente fecunda, porque también hizo la ley al eliminar las excepciones, ya que dio el mismo nombre a cosas que difieren en la materia y son semejantes en la forma.

Entre las palabras que han ejercido la influencia más afortunada, elegiría «grupo» e «invariante». Nos han hecho ver la esencia de muchos razonamientos matemáticos; nos han mostrado en cuántos casos los antiguos matemáticos consideraron grupos sin saberlo, y cómo, creyéndose muy alejados los unos de los otros, se encontraron de repente cerca sin saber por qué.

Hoy diríamos que se habían ocupado de grupos isomorfos. Sabemos hoy que en un grupo el asunto tiene poco interés, la forma sola cuenta, y que cuando conocemos un grupo conocemos así todos los grupos isomorfos; y gracias a estas palabras «grupo» e «isomorfismo», que condensan en pocas sílabas esta regla sutil y la hacen rápidamente familiar a todos los espíritus, la transición es inmediata y puede efectuarse con toda economía de esfuerzo mental.

La idea de grupo, además, se une a la de transformación. ¿Por qué concedemos tanto valor a la invención de una nueva transformación? Porque a partir de un solo teorema nos permite obtener diez o veinte; tiene el mismo valor que un cero añadido a la derecha de un número entero.

Esto pues es lo que hasta ahora ha determinado la dirección del avance matemático, y con la misma certeza la determinará en el futuro. Pero a este fin contribuye igualmente la naturaleza de los problemas que van surgiendo. No podemos olvidar cuál debe ser nuestro propósito. En mi opinión, este propósito es doble. Nuestra ciencia limita tanto con la filosofía como con la física, y trabajamos para nuestros dos vecinos; por lo que siempre hemos visto y seguiremos viendo a los matemáticos avanzar en dos direcciones opuestas.

Por un lado, la ciencia matemática debe reflexionar sobre sí misma, y esto es útil, ya que reflexionar sobre sí misma es reflexionar sobre la mente humana que la ha creado, tanto más cuanto que es aquella de sus creaciones para la que menos ha tomado prestado del exterior.

Por esto ciertas especulaciones matemáticas son útiles, como aquellas dedicadas al estudio de los postulados, de las geometrías insólitas, de las funciones peculiares.

Cuanto más se alejan estas especulaciones de las concepciones ordinarias, y por consiguiente de la naturaleza y de las aplicaciones, mejor nos muestran lo que la mente humana puede crear cuando se libera cada vez más de la tiranía del mundo exterior, y por tanto mejor nos la dan a conocer en sí misma.

Pero es hacia el otro lado, hacia el de la naturaleza, donde debemos dirigir el grueso de nuestro ejército. Allí nos encontramos con el físico o el ingeniero, que nos dice: «Por favor, intégrame esta ecuación diferencial; podría necesitarla en una semana con vistas a una construcción que debería estar terminada para entonces».

«Esta ecuación —respondemos— no corresponde a ninguno de los tipos integrables; ya sabes que no son muchos».

«Sí, lo sé; pero entonces, ¿para qué servís?».

Por lo general, basta con entendernos; el ingeniero en realidad no necesita la integral en términos finitos; necesita conocer el aspecto general de la función integral, o simplemente quiere un número determinado que pueda deducirse fácilmente de dicha integral si se conociera. Por lo general no se conoce, pero el número puede calcularse sin ella si sabemos exactamente qué número necesita el ingeniero y con qué aproximación.

Antiguamente se consideraba que una ecuación solo estaba resuelta cuando su solución se había expresado mediante un número finito de funciones conocidas; pero eso apenas es posible una vez de cada cien.

Lo que siempre podemos hacer, o más bien lo que siempre debemos buscar hacer, es resolver el problema, por decirlo así, cualitativamente; es decir, tratar de conocer la forma general de la curva que representa la función desconocida.

Queda por hallar la solución cuantitativa del problema; pero si la incógnita no puede determinarse mediante un cálculo finito, siempre puede representarse por una serie infinita convergente que nos permite calcularla.

¿Puede considerarse eso como una verdadera solución?

Se nos dice que Newton envió a Leibniz un anagrama casi como este: aaaaabbbeeeeij, etc. Leibniz, naturalmente, no entendió absolutamente nada de él; pero nosotros, que tenemos la clave, sabemos que este anagrama significaba, traducido a términos modernos: «Puedo integrar todas las ecuaciones diferenciales»; y estamos tentados de decir que Newton tuvo o una gran suerte o extrañas ilusiones. Tan solo deseaba decir que podía formar (por el método de los coeficientes indeterminados) una serie de potencias que satisficiera formalmente la ecuación propuesta.

Semejante solución no nos satisfaría hoy en día, y por dos razones: porque la convergencia es demasiado lenta y porque los términos se suceden sin obedecer a ninguna ley. Por el contrario, la serie $\Theta$ nos parece que no deja nada que desear, primero porque converge muy rápidamente (esto es para el hombre práctico que desea obtener un número lo más rápidamente posible) y luego porque vemos de un vistazo la ley de los términos (esto para satisfacer la necesidad estética del teórico).

Pero entonces ya no hay problemas resueltos y otros que no lo están; solo hay problemas más o menos resueltos, según se resuelvan mediante una serie que converge más o menos rápidamente, o que esté regida por una ley más o menos armoniosa.

A menudo ocurre, sin embargo, que una solución imperfecta nos guía hacia una mejor. A veces la serie converge tan lentamente que el cálculo es impracticable y solo hemos logrado demostrar la posibilidad del problema.

Y entonces el ingeniero considera esto una burla, y con razón, puesto que no le ayudará a terminar su construcción en la fecha fijada. Poco le importa saber si beneficiará a los ingenieros del siglo veintidós. Pero en cuanto a nosotros, pensamos de otro modo y a veces somos más felices por haberle ahorrado a nuestros nietos un día de trabajo que por haberle ahorrado a nuestros contemporáneos una hora.

A veces, tanteando, empíricamente, por decirlo así, llegamos a una fórmula suficientemente convergente.

«¿Qué más quieres?», dice el ingeniero.

Y sin embargo, a pesar de todo, no estamos satisfechos; nos habría gustado prever esa convergencia. ¿Por qué? Porque si hubiéramos sabido preverla una vez, sabríamos preverla otra vez. Hemos tenido éxito; eso es poca cosa a nuestros ojos si no podemos esperar fundadamente volver a hacerlo.

A medida que la ciencia se desarrolla, su comprensión total se vuelve más difícil; entonces buscamos cortarla en pedazos y conformarnos con uno de esos pedazos: en una palabra, especializarnos.

Si continuáramos de esta manera, sería un obstáculo grave para el progreso de la ciencia. Como hemos dicho, es mediante la unión inesperada entre sus diversas partes como esta progresa. Especializarse demasiado equivaldría a prohibir estos acercamientos.

Es de esperar que congresos como los de Heidelberg y Roma, al ponernos en contacto unos con otros, nos abran perspectivas sobre dominios vecinos y nos obliguen a compararlos con los nuestros, a aventurarnos un poco más allá de nuestra propia aldea; así, serán el mejor remedio para el peligro que acabamos de mencionar.

Pero me he detenido demasiado en generalidades; es hora de entrar en detalles.

Pasemos revista a las diversas ciencias especiales que, combinadas, forman las matemáticas; veamos qué ha logrado cada una, hacia dónde tiende y qué podemos esperar de ella.

Si las opiniones precedentes son correctas, deberíamos ver que los mayores avances en el pasado han ocurrido cuando dos de estas ciencias se han unido, cuando hemos tomado conciencia de la similitud de su forma, a pesar de la diferencia de su materia, cuando se han modelado de tal modo la una sobre la otra que cada una ha podido aprovechar las conquistas de la otra.

Debemos al mismo tiempo prever en combinaciones del mismo género el progreso del futuro.

Aritmética

El progreso en la aritmética ha sido mucho más lento que en el álgebra y en el análisis, y es fácil ver por qué. El sentimiento de continuidad es una guía preciosa de la que carece el aritmético; cada número entero está separado de los demás —tiene, por decirlo así, su propia individualidad—. Cada uno de ellos es una especie de excepción y por esto los teoremas generales son más raros en la teoría de números; por esto también aquellos que existen están más ocultos y eluden por más tiempo a los buscadores.

Si la aritmética está detrás de la álgebra y el análisis, lo mejor que puede hacer es tratar de modelarse a sí misma según estas ciencias para beneficiarse de su avance. El aritmético debe, por tanto, tomar como guía las analogías con el álgebra.

Estas analogías son numerosas y si, en muchos casos, aún no se han estudiado con la suficiente atención como para volverse utilizables, al menos se han previsto desde hace mucho tiempo, e incluso el lenguaje de ambas ciencias muestra que han sido reconocidas.

Así hablamos de números trascendentes y así explicamos que la futura clasificación de estos números ya tenga como modelo la clasificación de las funciones trascendentes, y sin embargo todavía no vemos muy bien cómo pasar de una clasificación a la otra; pero si ya se hubiera visto, esto ya se habría realizado y dejaría de ser la obra del futuro.

El primer ejemplo que se me viene a la mente es la teoría de las congruencias, en la que se halla un paralelismo perfecto con la teoría de las ecuaciones algebraicas. Seguramente lograremos completar este paralelismo, que debe mantenerse, por ejemplo, entre la teoría de las curvas algebraicas y la de las congruencias con dos variables.

Y cuando los problemas relativos a las congruencias con varias variables sean resueltos, esto será un primer paso hacia la solución de muchas cuestiones de análisis indeterminado.

# Álgebra

La teoría de las ecuaciones algebraicas aún retendrá por mucho tiempo la atención de los geómetras; numerosos y muy diversos son los flancos desde los cuales puede ser atacada.

No hemos de pensar que el álgebra ha terminado porque nos dé reglas para formar todas las combinaciones posibles; falta por hallar las combinaciones interesantes, aquellas que satisfacen tal o cual condición.

Así se formará una suerte de análisis indeterminado donde las incógnitas ya no serán números enteros, sino polinomios.

Esta vez será el álgebra la que se modelará sobre la aritmética, siguiendo la analogía del número entero con el polinomio entero de coeficientes cualesquiera o con el polinomio entero de coeficientes enteros.

# Geometría

Parece como si la geometría no pudiera contener nada que no esté ya incluido en el álgebra o el análisis; que los hechos geométricos no son más que hechos algebraicos o analíticos expresados en otro idioma.

Podría pensarse entonces que, tras nuestro repaso, no nos quedaría nada más que decir en relación específicamente con la geometría. Esto equivaldría a no reconocer la importancia de un lenguaje bien construido, a no comprender lo que se añade a las cosas mismas mediante el método de expresar dichas cosas y, en consecuencia, de agruparlas.

Primero, las consideraciones geométricas nos llevan a plantearnos nuevos problemas; estos pueden ser, si se quiere, problemas analíticos, pero de un tipo que jamás nos habríamos planteado en relación con el análisis. El análisis se beneficia de ellos, sin embargo, como se beneficia de aquellos que tiene que resolver para satisfacer las necesidades de la física.

Una gran ventaja de la geometría radica en el hecho de que en ella los sentidos pueden acudir en auxilio del pensamiento y ayudar a encontrar el camino a seguir, y muchas mentes prefieren poner los problemas del análisis en forma geométrica.

Desgraciadamente, nuestros sentidos no pueden llevarnos muy lejos, y nos abandonan cuando deseamos elevarnos más allá de las tres dimensiones clásicas.

¿Significa esto que, más allá del dominio restringido en el que parecen querer aprisionarnos, debemos confiar únicamente en el análisis puro y que toda geometría de más de tres dimensiones es vana y carente de objeto?

Los más grandes maestros de una generación anterior habrían respondido «sí»; hoy estamos tan familiarizados con esta noción que podemos hablar de ella, incluso en un curso universitario, sin despertar demasiado asombro.

¿Pero de qué sirve? Eso es fácil de ver:

• Primero, nos proporciona una terminología muy conveniente, que expresa de forma concisa lo que el lenguaje analítico ordinario diría en frases prolíficas.
• Además, este lenguaje hace que llamemos por el mismo nombre a las cosas semejantes y acentuemos analogías que nunca más nos dejará olvidar.

Nos permite, por tanto, seguir orientándonos en este espacio que es demasiado grande para nosotros y que no podemos ver, recordando siempre el espacio visible, que sin duda es solo una imagen imperfecta de él, pero que no deja de ser una imagen.

Aquí de nuevo, como en todos los ejemplos precedentes, es la analogía con lo simple lo que nos permite comprender lo complejo.

Esta geometría de más de tres dimensiones no es una geometría analítica simple; no es puramente cuantitativa, sino también cualitativa, y es en este aspecto sobre todo en el que se vuelve interesante.

Hay una ciencia llamada analysis situs que tiene por objeto el estudio de las relaciones de posición de los diferentes elementos de una figura, al margen de sus tamaños. Esta geometría es puramente cualitativa; sus teoremas seguirían siendo ciertos si las figuras, en vez de ser exactas, fueran toscamente imitadas por un niño.

También podemos hacer un analysis situs de más de tres dimensiones. La importancia del analysis situs es enorme y no puede recalcarse demasiado; la ventaja obtenida de él por Riemann, uno de sus principales creadores, bastaría para probarlo. Debemos lograr su construcción completa en los espacios superiores; entonces tendremos un instrumento que nos permitirá ver realmente en el hiperespacio y suplir a nuestros sentidos.

Los problemas del analysis situs tal vez no se habrían planteado si se hubiera hablado exclusivamente el lenguaje analítico; o más bien, me equivoqué, habrían surgido sin duda, ya que su solución es esencial para una multitud de cuestiones de análisis, pero habrían venido aislados, uno tras otro, y sin que pudiéramos percibir su vínculo común.

# Cantorismo

He hablado más arriba de nuestra necesidad de volver continuamente a los primeros principios de nuestra ciencia, y de la ventaja de esto para el estudio de la mente humana. Esta necesidad ha inspirado dos tentativas que han ocupado un lugar muy destacado en los anales más recientes de las matemáticas.

• La primera es el cantorismo, que ha prestado a nuestra ciencia tan señalados servicios. Cantor introdujo en la ciencia una nueva forma de considerar el infinito matemático.

Uno de los rasgos característicos del cantorismo es que, en lugar de ascender a lo general mediante la construcción de estructuras cada vez más complicadas y definiendo por construcción, parte del genus supremum y define únicamente, como habrían dicho los escolásticos, per genus proximum et differentiam specificam.

De ahí proviene el horror que a veces ha inspirado en ciertas mentes, por ejemplo en Hermite, cuya idea favorita era comparar las ciencias matemáticas con las naturales. Con la mayoría de nosotros estos prejuicios se han disipado, pero ha sucedido que nos hemos topado con ciertas paradojas, ciertas contradicciones aparentes que habrían deleitado a Zenón de Elea y a la escuela de Mégara.

Y entonces cada cual debe buscar el remedio. Por mi parte, pienso, y no soy el único, que lo importante es no introducir jamás entidades que no sean completamente definibles en un número finito de palabras. Cualquiera que sea la cura adoptada, podemos prometernos la alegría del médico llamado a seguir un hermoso caso patológico.

# La investigación de los postulados

Por otra parte, se han hecho esfuerzos por enumerar los axiomas y postulados, más o menos ocultos, que sirven de fundamento a las diferentes teorías de las matemáticas. El profesor Hilbert ha obtenido los resultados más brillantes.

Al principio parece que este dominio sería muy restringido y que no habría nada más que hacer una vez terminado el inventario, lo cual no podría llevar mucho tiempo. Pero cuando lo hayamos enumerado todo, habrá muchas maneras de clasificarlo todo; un buen bibliotecario siempre encuentra algo que hacer, y cada nueva clasificación será instructiva para el filósofo.

Aquí termino esta recensión que ni en sueños habría podido hacer completa. Pienso que estos ejemplos bastarán para mostrar mediante qué mecanismo las ciencias matemáticas han hecho su progreso en el pasado y en qué dirección deben avanzar en el futuro.

CAPÍTULO III

# Creación matemática

La génesis de la creación matemática es un problema que debería interesar intensamente al psicólogo. Es la actividad en la que la mente humana parece tomar menos del mundo exterior, en la que actúa o parece actuar solo por sí misma y sobre sí misma, de modo que al estudiar el procedimiento del pensamiento geométrico podemos esperar alcanzar lo que hay de más esencial en la mente del hombre.

Esto se conoce desde hace mucho tiempo, y hace algún tiempo la revista llamada L'enseignement mathématique, editada por Laisant y Fehr, emprendió una investigación sobre los hábitos mentales y los métodos de trabajo de diferentes matemáticos.

Yo había terminado las líneas principales de este artículo cuando se publicaron los resultados de dicha encuesta, por lo que apenas he podido utilizarlos y me limitaré a decir que la mayoría de los testigos confirman mis conclusiones; no digo todos, pues cuando se apela al sufragio universal no cabe esperar la unanimidad.

Un primer hecho debería sorprendernos, o más bien nos sorprendería si no estuviéramos tan acostumbrados a él.

¿Cómo es posible que haya personas que no entienden las matemáticas? Si las matemáticas apelan únicamente a las reglas de la lógica, tales como las aceptan todas las mentes normales; si su evidencia se basa en principios comunes a todos los hombres, y que nadie podría negar sin estar loco, ¿cómo se explica que tantas personas se muestren refractarias a ella?

Que no todo el mundo pueda inventar no tiene nada de misterioso. Que no todo el mundo pueda retener una demostración una vez aprendida también puede pasar. Pero que no todo el mundo pueda comprender el razonamiento matemático cuando se le explica resulta muy sorprendente si lo pensamos. Y, sin embargo, quienes solo pueden seguir este razonamiento con dificultad constituyen la mayoría: eso es innegable y seguro que no será rebatido por la experiencia de los profesores de secundaria.

Y aún más: ¿cómo es posible el error en las matemáticas? Una mente cuerda no debería ser culpable de una falacia lógica, y sin embargo hay mentes muy finas que no tropiezan en los razonamientos breves como los que ocurren en los quehaceres ordinarios de la vida, y que son incapaces de seguir o repetir sin error las demostraciones matemáticas que son más largas, pero que después de todo no son sino una acumulación de razonamientos breves totalmente análogos a los que realizan con tanta facilidad.

¿Hace falta añadir que los propios matemáticos no son infalibles?

La respuesta me parece evidente. Imagina una larga serie de silogismos, y que las conclusiones de los primeros sirven de premisas para los siguientes: podremos atrapar cada uno de estos silogismos, y no es al pasar de las premisas a la conclusión donde corremos el peligro de engañarnos.

Pero entre el momento en que encontramos por primera vez una proposición como conclusión de un silogismo, y aquel en que la reencontramos como premisa de otro silogismo, transcurrirá ocasionalmente algún tiempo, varios eslabones de la cadena se habrán desenrollado; así puede suceder que la hayamos olvidado, o peor aún, que hayamos olvidado su significado.

De modo que puede suceder que la reemplacemos por una proposición ligeramente diferente, o que, conservando el mismo enunciado, le atribuyamos un significado ligeramente diferente, y es así como nos exponemos al error.

A menudo el matemático emplea una regla. Naturalmente, empieza por demostrar dicha regla; y en el momento en que esta demostración está fresca en su memoria, comprende perfectamente su significado y su alcance, y no corre ningún peligro de alterarla.

Pero más adelante fía en su memoria y con posterioridad se limita a aplicarla de manera mecánica; y entonces, si su memoria le falla, puede aplicarla de forma totalmente errónea.

Así es como, por tomar un ejemplo sencillo, a veces cometemos errores de cálculo por haber olvidado nuestra tabla de multiplicar.

Según esto, la aptitud especial para las matemáticas se deberia únicamente a una memoria muy segura o a una fuerza de atención prodigiosa. Sería un poder como el del jugador de whist que recuerda las cartas jugadas; o, para subir un peldaño, como el del ajedrecista que puede visualizar un gran número de combinaciones y retenerlas en la memoria.

Todo buen matemático debería ser un buen ajedrecista, e inversamente; asimismo debería ser un buen calculador. Por supuesto que eso a veces sucede; así, Gauss fue al mismo tiempo un geómetra de genio y un calculador muy precoz y exacto.

Pero hay excepciones; o más bien me equivoqué; no puedo llamarlas excepciones sin que las excepciones sean más que la regla.

Es Gauss, por el contrario, quien fue una excepción. En cuanto a mí, debo confesar que soy absolutamente incapaz incluso de sumar sin cometer errores. Del mismo modo, no sería más que un mal jugador de ajedrez; percibiría que con cierta jugada me expondría a un peligro determinado; pasaría revista a varias otras jugadas, rechazándolas por otros motivos, y al final haría el movimiento examinado en primer lugar, habiendo olvidado entretanto el peligro que había previsto.

En una palabra, mi memoria no es mala, pero sería insuficiente para hacerme un buen jugador de ajedrez. ¿Por qué entonces no me falla en un razonamiento matemático difícil donde la mayoría de los ajedrecistas se perderían?

Evidentemente porque está guiada por la marcha general del razonamiento. Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos, son silogismos colocados en un cierto orden, y el orden en el que se colocan estos elementos es mucho más importante que los elementos mismos.

Si tengo el sentimiento, la intuición, por así decirlo, de este orden, como para percibir de un solo vistazo el razonamiento en su conjunto, ya no necesito temer el olvido de uno de los elementos, pues cada uno de ellos ocupará el lugar que le corresponde en la formación, y ello sin ningún esfuerzo de memoria por mi parte.

Me parece entonces, al repetir un razonamiento aprendido, que podría haberlo inventado. A menudo esto no es más que una ilusión; pero aun así, incluso si no estoy tan dotado como para crearlo por mí mismo, yo mismo lo re-invento en la medida en que lo repito.

Sabemos que este sentimiento, esta intuición del orden matemático, que nos hace adivinar armonías y relaciones ocultas, no puede ser poseído por todo el mundo.

• Unos no tendrán ni este delicado sentimiento tan difícil de definir, ni una fuerza de memoria y atención superior a la ordinaria, y entonces serán absolutamente incapaces de comprender las matemáticas superiores. Tal es la mayoría.
• Otros tendrán este sentimiento solo en un grado ligero, pero estarán dotados de una memoria poco común y de un gran poder de atención. Aprenderán de memoria los detalles unos tras otro; podrán comprender las matemáticas y a veces hacer aplicaciones, pero no podrán crear.
• Otros, por último, poseerán en mayor o menor grado la intuición especial a la que se ha hecho referencia, y entonces no solo podrán comprender las matemáticas, incluso aunque su memoria no tenga nada de extraordinario, sino que podrán convertirse en creadores y tratar de inventar con más o menos éxito según esta intuición esté más o menos desarrollada en ellos.

En realidad, ¿qué es la creación matemática? No consiste en hacer nuevas combinaciones con entidades matemáticas ya conocidas.

Cualquiera podría hacer eso, pero las combinaciones así hechas serían infinitas en número y la mayor parte de ellas absolutamente sin interés.

Crear consiste precisamente en no hacer combinaciones inútiles y en hacer aquellas que son útiles y que solo son una pequeña minoría.

La invención es discernimiento, elección.

Cómo hacer esta elección ya lo he explicado; los hechos matemáticos dignos de ser estudiados son aquellos que, por su analogía con otros hechos, son capaces de conducirnos al conocimiento de una ley matemática del mismo modo que los hechos experimentales nos conducen al conocimiento de una ley física. Son aquellos que nos revelan un parentesco insospechado entre otros hechos, conocidos desde hace tiempo, pero creídos erróneamente ajenos los unos a los otros.

Entre las combinaciones elegidas, las más fecundas serán a menudo las formadas por elementos extraídos de dominios muy alejados entre sí.

No es que quiera decir que para la invención sea suficiente con juntar objetos tan dispares como sea posible; la mayoría de las combinaciones así formadas resultarían totalmente estériles. Pero ciertas entre ellas, muy raras, son las más fructíferas de todas.

Inventar, he dicho, es elegir; pero la palabra tal vez no sea del todo exacta. Hace pensar en un comprador ante quien se despliega un gran número de muestras, y que las examina, una tras otra, para hacer su elección.

Aquí las muestras serían tan numerosas que una vida entera no bastaría para examinarlas. Este no es el estado real de las cosas.

Las combinaciones estériles ni siquiera se presentan a la mente del inventor. Jamás aparecen en el campo de su conciencia combinaciones que no sean verdaderamente útiles, salvo algunas que rechaza pero que poseen en cierto grado las características de las combinaciones útiles.

Todo transcurre como si el inventor fuera un examinador de segundo grado que solo tuviera que interrogar a los candidatos que hubieran superado un examen previo.

Pero lo que hasta ahora he dicho es lo que puede observarse o inferirse al leer los escritos de los geómetras, leyendo con reflexión.

Es tiempo de penetrar más hondo y de ver lo que pasa en el alma misma del matemático. Para esto, creo que puedo hacerlo mejor rememorando recuerdos propios. Pero me limitaré a contar cómo escribí mi primera memoria sobre las funciones fuchsianas. Le ruego al lector que me disculpe; estoy a punto de usar algunas expresiones técnicas, pero no deben asustarle, pues no está obligado a comprenderlas. Diré, por ejemplo, que he hallado la demostración de tal teorema bajo tales circunstancias. Este teorema tendrá un nombre bárbaro, desconocido para muchos, pero eso no tiene importancia; lo que le interesa al psicólogo no es el teorema, sino las circunstancias.

Durante quince días me esforcé en demostrar que no podía haber funciones como las que desde entonces he llamado funciones fucsianas. Yo era entonces muy ignorante; todos los días me sentaba a mi mesa de trabajo, permanecía una hora o dos, probaba un gran número de combinaciones y no llegaba a ningún resultado.

Una tarde, contra mi costumbre, tomé café negro y no pude conciliar el sueño. Las ideas se agolpaban en muchedumbre; sentía que chocaban entre sí hasta que los pares se enlazaban, por decirlo así, haciendo una combinación estable. A la mañana siguiente ya había establecido la existencia de una clase de funciones fucsianas, aquellas que provienen de la serie hipergeométrica; solo tuve que redactar los resultados, lo que me llevó apenas unas pocas horas.

Luego quise representar estas funciones mediante el cociente de dos series; esta idea era perfectamente consciente y deliberada, la analogía con las funciones elípticas me guio. Me pregunté qué propiedades debían tener estas series de existir, y logré formar sin dificultad las series que he llamado theta-fucsianas.

Justo en este momento salí de Caen, donde vivía entonces, para realizar una excursión geológica bajo los auspicios de la escuela de minas.

Los cambios del viaje me hicieron olvidar mi trabajo matemático.

Habiendo llegado a Coutances, subimos a un ómnibus para ir a no sé qué lugar. En el momento en que puse el pie en el estribo, me vino la idea —sin que nada en mis pensamientos anteriores pareciere haberla preparado— de que las transformaciones que había usado para definir las funciones fuchsianas eran idénticas a las de la geometría no euclidiana. No vérifiqué la idea; no habría tenido tiempo, ya que, al tomar asiento en el ómnibus, continué una conversación ya iniciada, pero sentí una certeza absoluta. A mi regreso a Caen, por tranquilidad de conciencia, verifiqué el resultado a mi ritmo.

Luego dirigí mi atención al estudio de algunas cuestiones aritméticas, aparentemente sin mucho éxito y sin sospechar de conexión alguna con mis investigaciones precedentes.

Disgustado por mi fracaso, fui a pasar unos días a la orilla del mar y pensé en otra cosa. Una mañana, mientras paseaba por el acantilado, se me vino la idea, con exactamente las mismas características de brevedad, repentinidad y certeza inmediata, de que las transformaciones aritméticas de las formas cuadráticas ternarias indefinidas eran idénticas a las de la geometría no euclidiana.

De vuelta en Caen, medité sobre este resultado y deduje las consecuencias.

El ejemplo de las formas cuadráticas me mostró que había grupos fuchsianos distintos de los correspondientes a la serie hipergeométrica; vi que podía aplicarles la teoría de las series theta-fuchsianas y que, en consecuencia, existían funciones fuchsianas distintas de las de la serie hipergeométrica, las únicas que entonces conocía.

Naturalmente, me propuse formar todas estas funciones. Las abordé de manera sistemática y tomé todas las fortificaciones exteriores, una tras otra. Sin embargo, quedaba una que seguía resistiendo, cuya caída implicaría la de toda la plaza. Pero todos mis esfuerzos no sirvieron al principio más que para mostrarme mejor la dificultad, lo cual ya era algo.

Todo este trabajo fue perfectamente consciente.

Me marché entonces al Mont-Valérien, donde iba a cumplir con mi servicio militar; así que estuve ocupado de muy distinta manera. Un día, mientras iba por la calle, se me apareció de repente la solución a la dificultad que me había detenido. No intenté profundizar en ella de inmediato, y solo después de mi servicio volví a retomar la cuestión. Tenía todos los elementos y solo tenía que ordenarlos y reunirlos. Así pues, redacté mi memoria definitiva de un solo tirón y sin dificultad.

Me limitaré a este único ejemplo; es inútil multiplicarlos. Respecto a mis otras investigaciones tendría que decir cosas análogas, y las observaciones de otros matemáticos dadas en L'enseignement mathématique no harían más que confirmarlas.

Lo que más sorprende al principio es esta aparición de iluminación repentina, signo manifiesto de un largo trabajo previo e inconsciente.

El papel de este trabajo inconsciente en la invención matemática me parece incontestable, y se encontrarían rastros de él en otros casos donde es menos evidente.

A menudo, cuando uno trabaja en una cuestión difícil, no se logra nada bueno en el primer intento. Luego uno toma un descanso, más o menos largo, y se sienta de nuevo a la obra. Durante la media hora inicial, como antes, no se encuentra nada, y de repente la idea decisiva se presenta a la mente.

Podría decirse que el trabajo consciente ha sido más fructífero porque ha sido interrumpido y el descanso ha devuelto a la mente su fuerza y frescura. Pero es más probable que este descanso se haya llenado de trabajo inconsciente y que el resultado de este labor se haya revelado después al geómetra exactamente igual que en los casos que he citado; solo que la revelación, en vez de producirse durante un paseo o un viaje, ha ocurrido durante un periodo de trabajo consciente, pero con independencia de este trabajo que desempeña a lo sumo un papel de excitante, como si fuera la picana que estimula a los resultados ya alcanzados durante el descanso, pero que permanecían inconscientes, a adoptar la forma consciente.

Hay otra observación que hacer sobre las condiciones de este trabajo inconsciente: es posible, y ciertamente solo es fecundo, si está, por una parte, precedido y, por otra, seguido por un periodo de trabajo consciente.

Estas inspiraciones repentinas (y los ejemplos ya citados lo prueban suficientemente) nunca ocurren sino después de algunos días de esfuerzo voluntario que ha parecido absolutamente infructuoso y de donde nada bueno parece haber salido, en los que el camino tomado parece totalmente extraviado.

Estos esfuerzos entonces no han sido tan estériles como se piensa; han puesto en marcha la máquina inconsciente y sin ellos no se habría movido y no habría producido nada.

La necesidad del segundo periodo de trabajo consciente, posterior a la inspiración, es aún más fácil de comprender. Es necesario dar forma a los resultados de esta inspiración, deducir de ellos las consecuencias inmediatas, ordenarlos, redactar las demostraciones, pero sobre todo la verificación es necesaria.

He hablado del sentimiento de absoluta certidumbre que acompaña a la inspiración; en los casos citados este sentimiento no engaña, ni suele hacerlo por lo general. Pero no creáis que esto es una regla sin excepción; a menudo este sentimiento nos engaña sin ser por ello menos vívido, y solo lo descubrimos cuando tratamos de poner en marcha la demostración.

He notado especialmente este hecho con respecto a las ideas que me acuden por la mañana o por la noche en la cama, en un estado semihipnagógico.

Tales son las realidades; pasemos ahora a los pensamientos que nos imponen.

El inconsciente, o, como decimos, el yo subliminal, desempeña un papel importante en la creación matemática; esto se desprende de lo que hemos dicho. Pero por lo general se considera que el yo subliminal es puramente automático.

Ahora bien, hemos visto que el trabajo matemático no es meramente mecánico, que no podría ser realizado por una máquina, por muy perfecta que fuera. No se trata simplemente de aplicar reglas, de hacer el mayor número posible de combinaciones según ciertas leyes fijas. Las combinaciones así obtenidas serían sumamente numerosas, inútiles y engorrosas.

El verdadero trabajo del inventor consiste en elegir entre estas combinaciones para eliminar las inútiles o, más bien, para evitar la molestia de hacerlas, y las reglas que deben guiar esta elección son sumamente finas y delicadas. Es casi imposible enunciarlas con precisión; se sienten más que se formularizan. En estas condiciones, ¿cómo imaginar un colador capaz de aplicarlas mecánicamente?

Se presenta ahora una primera hipótesis: el «yo» subliminal no es en modo alguno inferior al «yo» consciente; no es puramente automático; es capaz de discernimiento; tiene tacto, delicadeza; sabe elegir, adivinar. ¿Qué digo? Sabe adivinar mejor que el «yo» consciente, puesto que tiene éxito allí donde este ha fracasado. En una palabra, ¿no es el «yo» subliminal superior al «yo» consciente? Comprenden toda la importancia de esta cuestión.

Boutroux, en una conferencia reciente, ha mostrado cómo esta cuestión surgió en una ocasión muy diferente, y qué consecuencias se seguirían de una respuesta afirmativa. (Véase también, del mismo autor, Science et Religion, págs. 313 y sigs.)

¿Nos impone los hechos que acabo de exponer esta respuesta afirmativa?

Confieso que, por mi parte, me repugnaría aceptarla. Examinad de nuevo los hechos, pues, y ved si no son compatibles con otra explicación.

Es cierto que las combinaciones que se presentan al espíritu en una especie de iluminación repentina, tras un trabajo inconsciente algo prolongado, son generalmente combinaciones útiles y fecundas, que parecen el resultado de una primera impresión.

¿Se sigue de ello que el yo subliminal, habiendo adivinado por una delicada intuición que estas combinaciones serían útiles, solo ha formado estas, o más bien ha formado muchas otras carentes de interés que han permanecido inconscientes?

En esta segunda forma de verlo, todas las combinaciones se formarían como consecuencia del automatismo del yo subliminal, pero solo las interesantes irrumpirían en el dominio de la conciencia. Y esto sigue siendo muy misterioso.

¿Cuál es la causa de que, entre los mil productos de nuestra actividad inconsciente, algunos estén llamados a cruzar el umbral, mientras que otros permanecen abajo?

¿Es un simple azar el que confiere este privilegio? Evidentemente no; entre todos los estímulos de nuestros sentidos, por ejemplo, solo los más intensos fijan nuestra atención, a menos que esta haya sido atraída hacia ellos por otras causas. Más generalmente, los fenómenos inconscientes privilegiados, aquellos susceptibles de volverse conscientes, son los que, directa o indirectamente, afectan de manera más profunda nuestra sensibilidad emocional.

Puede resultar sorprendente ver la sensibilidad emocional invocada à propos de demostraciones matemáticas que, al parecer, solo pueden interesar al intelecto.

Esto equivaldría a olvidar el sentimiento de la belleza matemática, de la armonía de los números y las formas, de la elegancia geométrica. Este es un verdadero sentimiento estético que todos los verdaderos matemáticos conocen, y ciertamente pertenece a la sensibilidad emocional.

Ahora bien, ¿cuáles son las entidades matemáticas a las que atribuimos este carácter de belleza y elegancia, y que son capaces de desarrollar en nosotros una especie de emoción estética? Son aquellas cuyos elementos están armoniosamente dispuestos de modo que la mente, sin esfuerzo, pueda abarcar su totalidad al tiempo que percibe los detalles.

Esta armonía es a la vez una satisfacción de nuestras necesidades estéticas y una ayuda para la mente, a la que sostiene y guía; y al mismo tiempo, al poner ante nuestros ojos un conjunto bien ordenado, nos hace prever una ley matemática. Ahora bien, como hemos dicho más arriba, los únicos hechos matemáticos dignos de fijar nuestra atención y capaces de ser útiles son aquellos que pueden enseñarnos una ley matemática.

De modo que llegamos a la siguiente conclusión: las combinaciones útiles son precisamente las más bellas, quiero decir, aquellas capaces de encantar esa sensibilidad especial que todos los matemáticos conocen, pero de la que los profanos son tan ignorantes que a menudo se sienten tentados a sonreír ante ella.

¿Qué ocurre entonces? Entre el gran número de combinaciones formadas a ciegas por el yo subliminal, casi todas carecen de interés y de utilidad; pero precisamente por esa razón tampoco tienen efecto alguno sobre la sensibilidad estética.

La conciencia nunca llegará a conocerlas; solo algunas resultan armoniosas y, por consiguiente, a la vez útiles y bellas. Serán capaces de conmover esa sensibilidad especial del geómetra de la que acabo de hablar, la cual, una vez despertada, atraerá nuestra atención hacia ellas y les dará así la oportunidad de volverse conscientes.

Esto no es más que una hipótesis, y sin embargo he aquí una observación que puede confirmarla: cuando una súbita iluminación se apodera de la mente del matemático, por lo general ocurre que esta no lo engaña, pero también sucede a veces, como he dicho, que no resiste la prueba de la verificación; pues bien, casi siempre observamos que esta idea falsa, de haber sido verdadera, habría satisfecho nuestro sentimiento natural por la elegancia matemática.

Así es esta sensibilidad estética especial la que desempeña el papel del colirio delicado de que hablé, y eso explica suficientemente por qué quien carezca de ella nunca será un verdadero creador.

Sin embargo, todas las dificultades no han desaparecido. El yo consciente está estrechamente limitado, y en cuanto al yo subliminal no conocemos sus limitaciones, y por esta razón no somos muy reacios a suponer que ha sido capaz, en poco tiempo, de hacer más combinaciones diferentes de las que la vida entera de un ser consciente podría abarcar.

Sin embargo, estas limitaciones existen. ¿Es probable que sea capaz de formar todas las combinaciones posibles, cuyo número asustaría a la imaginación? Sin embargo, eso parecería necesario, porque si solo produce una pequeña parte de estas combinaciones, y si las hace al azar, habría pocas probabilidades de que la buena, la que deberíamos elegir, se encontrara entre ellas.

Quizá debamos buscar la explicación en ese período preliminar de trabajo consciente que siempre precede a toda labor inconsciente fructífera. Permítaseme una comparación burda.

Imagínense los elementos futuros de nuestras combinaciones como algo parecido a los átomos enganchados de Epicuro. Durante el reposo completo de la mente, estos átomos están inmóviles, están, por decirlo así, enganchados a la pared; de modo que este reposo completo puede prolongarse indefinidamente sin que los átomos se encuentren y, en consecuencia, sin que se produzca ninguna combinación entre ellos.

Por otra parte, durante un periodo de reposo aparente y de trabajo inconsciente, algunos de ellos se desprenden de la pared y se ponen en movimiento. Destellan en todas direcciones a través del espacio (estaba a punto de decir la habitación) donde están encerrados, como lo haría, por ejemplo, un enjambre de jejenes o, si prefieres una comparación más erudita, como las moléculas de gas en la teoría cinética de los gases. Entonces, sus choques mutuos pueden producir nuevas combinaciones.

¿Cuál es el papel del trabajo consciente preliminar? Es evidentemente movilizar ciertos de estos átomos, desengancharlos de la pared y ponerlos en oscilación. Creemos que no hemos hecho ningún bien, porque hemos movido estos elementos de mil maneras diferentes al buscar ensamblarlos, y no hemos encontrado ningún agregado satisfactorio. Pero, tras esta agitación impuesta sobre ellos por nuestra voluntad, estos átomos no vuelven a su reposo primitivo. Continúan libremente su danza.

Ahora bien, nuestra voluntad no los eligió al azar; persiguió un fin perfectamente determinado. Los átomos movilizados no son, por tanto, unos átomos cualesquiera; son aquellos de los que razonablemente podemos esperar la solución deseada.

Luego, los átomos movilizados experimentan choques que los hacen entrar en combinaciones entre sí o con otros átomos en reposo con los que tropezaron en su curso.

Nuevamente pido perdón, mi comparación es muy burda, pero apenas sé de qué otro modo hacer comprender mi pensamiento.

Sea como fuere, las únicas combinaciones que tienen la posibilidad de formarse son aquellas en las que al menos uno de los elementos es uno de esos átomos libremente elegidos por nuestra voluntad. Ahora bien, es evidentemente entre estas donde se encuentra lo que llamé la buena combinación.

Quizá esta sea una manera de atenuar lo paradójico de la hipótesis inicial.

Otra observación. Nunca sucede que el trabajo inconsciente nos dé el resultado de un cálculo algo largo ya hecho, en el que solo tengamos que aplicar reglas fijas. Podríamos pensar que el yo subliminal, totalmente automático, es particularmente apto para este tipo de trabajo, que es en cierto modo exclusivamente mecánico. Parece que pensando por la tarde en los factores de una multiplicación podríamos esperar encontrar el producto ya hecho al despertar, o bien que un cálculo algebraico, por ejemplo una comprobación, se realizaría inconscientemente.

Nada de eso, como lo demuestra la observación. Todo lo que cabe esperar de estas inspiraciones, frutos del trabajo inconsciente, es un punto de partida para tales cálculos.

En cuanto a los cálculos mismos, deben realizarse en el segundo periodo de trabajo consciente, aquel que sigue a la inspiración, en el cual se verifican los resultados de dicha inspiración y se deducen sus consecuencias. Las reglas de estos cálculos son estrictas y complicadas. Exigen disciplina, atención, voluntad y, por lo tanto, consciencia.

En el yo subliminal, por el contrario, reina lo que yo llamaría libertad, si pudiéramos dar este nombre a la simple ausencia de disciplina y al desorden nacido del azar. Únicamente este desorden permite combinaciones inesperadas.

Haré una última observación: cuando más arriba hice ciertas observaciones personales, hablé de una noche de excitación en la que trabajé a pesar de mí mismo. Tales casos son frecuentes, y no es necesario que la actividad cerebral anormal sea causada por un excitante físico como en el que mencioné. Parece, en tales casos, que uno está presente en su propio trabajo inconsciente, hecho parcialmente perceptible a la conciencia hiperexcitada, pero sin haber cambiado su naturaleza.

Entonces comprendemos vagamente qué distingue los dos mecanismos o, si se quiere, los métodos de trabajo de los dos egos. Y las observaciones psicológicas que así he podido hacer me parecen confirmar en sus grandes líneas las opiniones que he expuesto.

Ciertamente lo necesitan, pues son y siguen siendo, a pesar de todo, muy hipotéticos: el interés de las preguntas es tan grande que no me arrepentiría de habérselas sometido al lector.

# CAPÍTULO IV

Azar

I

"¿Cómo osamos hablar de las leyes del azar? ¿No es acaso el azar la antítesis de toda ley?" Así habla Bertrand al principio de su Calcul des probabiltités.

La probabilidad se opone a la certidumbre; por lo tanto, es lo que no conocemos y, en consecuencia, parece lo que no podríamos calcular. He aquí, al menos en apariencia, una contradicción sobre la cual ya se ha escrito mucho.

Y en primer lugar, ¿qué es el azar? Los antiguos distinguían entre los fenómenos que parecían obedecer a leyes armónicas, establecidas de una vez para siempre, y aquellos que atribuían al azar; estos últimos eran los impredecibles por rebeldes a toda ley.

En cada dominio, las leyes precisas no lo decidían todo, tan solo trazaban límites entre los cuales el azar podía actuar. En esta concepción, la palabra azar tenía un significado preciso y objetivo; lo que era azar para uno, lo era también para otro e incluso para los dioses.

Pero esta concepción no es la nuestra hoy en día. Nos hemos vuelto deterministas absolutos, e incluso aquellos que quieren reservar los derechos del libre albedrío humano dejan que el determinismo reine de forma indiscutible al menos en el mundo inorgánico.

Todo fenómeno, por minúsculo que sea, tiene una causa; y una mente infinitamente poderosa, infinitamente bien informada sobre las leyes de la naturaleza, podría haberlo previsto desde el principio de los siglos.

Si tal mente existiera, no podríamos jugar con ella a ningún juego de azar; siempre perderíamos.

De hecho, para ello la palabra azar no tendría ningún sentido, o más bien no habría azar. Es debido a nuestra debilidad y a nuestra ignorancia que la palabra tiene un sentido para nosotros. Y, aun sin ir más allá de nuestra débil humanidad, lo que es el azar para el ignorante no lo es para el científico. El azar es solo la medida de nuestra ignorancia. Los fenómenos fortuitos son, por definición, aquellos cuyas leyes desconocemos.

¿Pero es esta definición del todo satisfactoria? Cuando los primeros pastores caldeos siguieron con sus ojos los movimientos de las estrellas, aún no conocían las leyes de la astronomía; ¿habrían soñado con decir que las estrellas se mueven al azar? Si un físico moderno estudia un nuevo fenómeno y descubre su ley el martes, ¿habría dicho el lunes que este fenómeno era fortuito?

Además, ¿no invocamos a menudo lo que Bertrand llama las leyes del azar para predecir un fenómeno? Por ejemplo, en la teoría cinética de los gases obtenemos las conocidas leyes de Mariotte y de Gay-Lussac mediante la hipótesis de que las velocidades de las moléculas de gas varían irregularmente, es decir, al azar.

Todos los físicos estarán de acuerdo en que las leyes observables serían mucho menos simples si las velocidades estuvieran regidas por cualquier ley elemental simple que fuera, si las moléculas estuvieran, como solemos decir, organizadas, si estuvieran sujetas a alguna disciplina. Es debido al azar, es decir, a nuestra ignorancia, que podemos extraer nuestras conclusiones; y entonces, si la palabra azar es simplemente sinónimo de ignorancia, ¿qué significa eso? ¿Debemos, por tanto, traducir de la siguiente manera?

Me pedís que os prediga los fenómenos que están a punto de suceder. Si, por desgracia, conociera las leyes de estos fenómenos solo podría hacer la predicción mediante cálculos inextricables y tendría que renunciar a intentar responderos; pero como tengo la buena suerte de no conocerlas, os responderé de inmediato. Y lo que es más sorprendente, mi respuesta será correcta.

Así pues, bien puede ser que el azar sea algo distinto del nombre que damos a nuestra ignorancia, que entre los fenómenos cuyas causas nos son desconocidas debamos distinguir los fenómenos fortuitos sobre los cuales el cálculo de probabilidades nos dará provisionalmente información, de aquellos que no son fortuitos y de los cuales nada podemos decir en tanto no hayamos determinado las leyes que los rigen.

Para los fenómenos fortuitos mismos, es evidente que la información que nos brinda el cálculo de probabilidades no dejará de ser verdadera el día en que estos fenómenos sean mejor conocidos.

El director de una compañía de seguros de vida no sabe cuándo morirá cada uno de los asegurados, pero confía en el cálculo de probabilidades y en la ley de los grandes números, y no se engaña, ya que reparte dividendos entre sus accionistas.

Estos dividendos no desaparecerían si un médico muy perspicaz e indiscreto revelara al director, después de firmadas las pólizas, las probabilidades de vida de los asegurados. Este médico disiparía la ignorancia del director, pero no tendría ninguna influencia sobre los dividendos, que evidentemente no son el resultado de esa ignorancia.

II

Para hallar una mejor definición del azar debemos examinar algunos de los hechos que convenimos en considerar fortuitos, y a los cuales parece aplicarse el cálculo de probabilidades; investigaremos a continuación cuáles son sus características comunes.

El primer ejemplo que elegimos es el de equilibrio inestable; si un cono descansa sobre su ápice, sabemos bien que caerá, pero no sabemos hacia qué lado; nos parece que el azar por sí solo decidirá.

Si el cono fuera perfectamente simétrico, si su eje fuera perfectamente vertical, si ninguna otra fuerza que la gravedad actuara sobre él, no caería en absoluto. Pero el más mínimo defecto en la simetría hará que se incline ligeramente hacia un lado u otro, y si se inclina, por poco que sea, caerá por completo hacia ese lado.

Aun si la simetría fuera perfecta, un temblor muy leve, un soplo de aire podría inclinarlo unos cuantos segundos de arco; esto bastará para determinar su caída y aun el sentido de su caída, que será el de la inclinación inicial.

Una causa muy leve, que se nos escapa, determina un efecto considerable que no podemos dejar de ver, y entonces decimos que este efecto se debe al azar.

Si pudiéramos conocer exactamente las leyes de la naturaleza y la situación del universo en el instante inicial, seríamos capaces de predecir exactamente la situación de este mismo universo en un instante posterior.

Pero incluso cuando las leyes naturales no tuviesen ya ningún secreto para nosotros, solo podríamos conocer la situación inicial aproximadamente. Si eso nos permite prever la situación posterior con el mismo grado de aproximación, esto es todo lo que requerimos; decimos entonces que el fenómeno ha sido predicho, que está regido por leyes.

Pero este no es siempre el caso; puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan diferencias muy grandes en los fenómenos finales; un ligero error en las primeras provocaría un error enorme en los segundos. La predicción se vuelve entonces imposible y nos encontramos ante el fenómeno fortuito.

Nuestro segundo ejemplo será muy análogo al primero y lo tomaremos de la meteorología.

¿Por qué tienen los meteorólogos tanta dificultad para predecir el tiempo con alguna certeza? ¿Por qué las lluvias y las propias tempestades nos parecen venir por azar, de modo que a muchas personas les resulta del todo natural rezar para que llueva o haga buen tiempo, cuando considerarían ridículo rezar para que se produzca un eclipse?

Vemos que las grandes perturbaciones ocurren generalmente en regiones donde la atmósfera está en equilibrio inestable. Los meteorólogos son conscientes de que este equilibrio es inestable, de que un ciclón se está gestando en alguna parte; pero dónde, no pueden decirlo; una décima de grado más o menos en cualquier punto, y el ciclón estalla aquí y no allá, y extiende sus estragos por países que habría respetado.

Esto habríamos podido preverlo si hubiéramos conocido esa décima de grado, pero las observaciones no fueron ni suficientemente minuciosas ni suficientemente precisas, y por esta razón todo parece debido a la acción del azar. Aquí encontramos de nuevo el mismo contraste entre una causa muy leve, imperceptible para el observador, y efectos importantes, que a veces son desastres formidables.

Pasemos a otro ejemplo, la distribución de los pequeños planetas en el zodíaco. Sus longitudes iniciales podían ser cualesquiera; pero sus movimientos medios eran diferentes y han girado durante tanto tiempo que podemos decir que ahora están distribuidos al azar a lo largo del zodíaco.

Muy ligeras diferencias iniciales entre sus distancias al Sol, o, lo que viene a ser lo mismo, entre sus movimientos medios, han acabado por dar enormes diferencias entre sus longitudes actuales.

Un exceso de una milésima de segundo en el movimiento medio diario dará, de hecho, un segundo en tres años, un grado en diez mil años, una circunferencia entera en tres o cuatro millones de años, ¿y qué es eso en comparación con el tiempo transcurrido desde que los pequeños planetas se separaron de la nebulosa de Laplace?

Una vez más vemos, por tanto, una causa ligera y un efecto grande; o mejor dicho, ligeras diferencias en la causa y grandes diferencias en el efecto.

El juego de la ruleta no nos aleja tanto como pudiera parecer del ejemplo anterior. Supongamos una aguja que gira sobre un pivote en una esfera dividida en cien sectores alternativamente rojos y negros. Si se detiene en un sector rojo, gano; si no, pierdo. Evidentemente, todo depende del impulso inicial que le dé a la aguja.

La aguja dará, supongamos, diez o veinte vueltas, pero se detendrá antes o después según la haya empujado con mayor o menor fuerza. Basta con que el impulso varíe solo en una milésima o una dosmilésima para hacer que la aguja se detenga sobre un sector negro o sobre el rojo siguiente. Estas son diferencias que el sentido muscular no puede distinguir y que escapan incluso a los instrumentos más delicados. Así que me es imposible prever qué hará la aguja que he puesto en marcha, y por eso mi corazón late y lo espero todo del azar. La diferencia en la causa es imperceptible, y la diferencia en el efecto es para mí de la mayor importancia, ya que en juego va toda mi apuesta.

III

Permítame, a este respecto, una reflexión algo ajena a mi tema.

Hace algunos años, un filósofo dijo que el futuro está determinado por el pasado, pero no el pasado por el futuro; o, en otras palabras, a partir del conocimiento del presente podríamos deducir el futuro, pero no el pasado; porque, según decía, una causa solo puede tener un efecto, mientras que un mismo efecto podría ser producido por varias causas diferentes.

Es evidente que ningún científico puede suscribir esta conclusión. Las leyes de la naturaleza ligan el antecedente al consecuente de tal manera que el antecedente queda tan bien determinado por el consecuente como el consecuente por el antecedente.

Pero ¿de dónde provino el error de este filósofo? Sabemos que, en virtud del principio de Carnot, los fenómenos físicos son irreversibles y el mundo tiende hacia la uniformidad.

Cuando dos cuerpos de diferente temperatura entran en contacto, el más cálido cede calor al más frío; así pues, podemos prever que la temperatura se igualará. Pero una vez igualada, si se nos pregunta por el estado anterior, ¿qué podemos responder? Podríamos decir que uno era cálido y el otro frío, pero no seríamos capaces de adivinar cuál era anteriormente el más cálido.

Y sin embargo, en realidad las temperaturas nunca alcanzarán la perfecta igualdad. La diferencia de temperaturas solo tiende asintóticamente hacia cero. Llega un momento en que nuestros termómetros son incapaces de advertirla. Pero si tuviéramos termómetros mil veces, cien mil veces más sensibles, reconoceríamos que todavía queda una ligera diferencia, y que uno de los cuerpos sigue estando un poco más caliente que el otro, y así podríamos decir cuál es el que antes estaba mucho más caliente.

Así pues, al contrario de lo que hallamos en los ejemplos anteriores, hay grandes diferencias en la causa y ligeras diferencias en el efecto.

Flammarion imaginó una vez a un observador que se alejara de la tierra con una velocidad mayor que la de la luz; para él, el tiempo habría cambiado de signo. La historia se invertiría, y Waterloo precedería a Austerlitz.

Pues bien, para este observador, los efectos y las causas estarían invertidos; el equilibrio inestable dejaría de ser la excepción. Debido a la irreversibilidad universal, todo le parecería surgir de una especie de caos en equilibrio inestable. Toda la naturaleza se le antojaría entregada al azar.

IV

Pasemos ahora a otros ejemplos donde veremos características algo diferentes.

Tomemos primero la teoría cinética de los gases. ¿Cómo debemos imaginarnos un recipiente lleno de gas?

Innumerables moléculas, que se mueven a gran velocidad, atraviesan este recipiente en todas direcciones. A cada instante chocan contra sus paredes o entre sí, y estas colisiones ocurren bajo las condiciones más diversas.

Lo que ante todo nos impresiona aquí no es la pequeñez de las causas, sino su complejidad, y sin embargo el primer elemento todavía se encuentra aquí y desempeña un papel importante.

Si una molécula se desviara a derecha o izquierda de su trayectoria, en una cantidad muy pequeña, comparable al radio de acción de las moléculas gaseosas, evitaría una colisión o la soportaría bajo condiciones diferentes, y eso variaría la dirección de su velocidad tras el impacto, tal vez en noventa grados o en ciento ochenta grados.

Y esto no es todo; acabamos de ver que es necesario desviar la molécula antes del choque tan solo una cantidad infinitesimal para producir su desviación después de la colisión en una cantidad finita.

Si entonces la molécula experimenta dos choques sucesivos, bastará con desviarla antes del primero en un infinitesimal de segundo orden, para que se desvíe después del primer encuentro en un infinitesimal de primer orden, y después del segundo golpe, en una cantidad finita.

Y la molécula no experimentará meramente dos choques; experimentará un número muy grande por segundo. De modo que si el primer choque ha multiplicado la desviación por un número muy grande A, después de n choques será multiplicada por Aⁿ. Llegará a ser, por tanto, muy grande no meramente porque A sea grande, es decir, porque las pequeñas causas producen grandes efectos, sino porque el exponente n es grande, es decir, porque los choques son muy numerosos y las causas muy complejas.

Tomemos un segundo ejemplo. ¿Por qué las gotas de lluvia en un chubasco parecen estar distribuidas al azar? Esto se debe de nuevo a la complejidad de las causas que determinan su formación.

Los íones están distribuidos en la atmósfera. Durante mucho tiempo han estado sometidos a corrientes de aire en constante cambio, han sido atrapados en remolinos muy pequeños, de modo que su distribución final ya no guarda relación alguna con su distribución inicial.

De repente, la temperatura baja, el vapor se condensa y cada uno de estos íones se convierte en el centro de una gota de lluvia. Para saber cuál será la distribución de estas gotas y cuántas caerán sobre cada losa, no bastaría con conocer la situación inicial de los íones, sería necesario calcular el efecto de mil pequeñas corrientes de aire caprichosas.

Y de nuevo ocurre lo mismo si ponemos granos de polvo en suspensión en el agua. El jarrón es surcado por corrientes cuya ley no conocemos, solo sabemos que es muy complicada. Al cabo de un cierto tiempo, los granos se distribuirán al azar, es decir, de manera uniforme, en el jarrón; y esto se debe precisamente a la complejidad de estas corrientes. Si obedecieran alguna ley simple, si por ejemplo el jarrón girara y las corrientes circundaran el eje del jarrón, describiendo círculos, ya no sería lo mismo, puesto que cada grano conservaría su altitud inicial y su distancia inicial respecto al eje.

Debemos llegar al mismo resultado al considerar la mezcla de dos líquidos o de dos polvos de grano fino. Y, para tomar un ejemplo más basto, esto es también lo que ocurre cuando barajamos cartas.

En cada golpe las cartas sufren una permutación (análoga a la estudiada en la teoría de las sustituciones). ¿Qué sucederá? La probabilidad de una permutación particular (por ejemplo, la que lleva al lugar $n$-ésimo la carta que antes de la permutación ocupaba el lugar $\varphi (n)$-ésimo) depende de los hábitos del jugador.

Pero si este jugador baraja las cartas el tiempo suficiente, habrá un gran número de sucesivas permutaciones, y el orden final resultante dejará de estar regido por otra cosa que no sea el azar; quiero decir que todos los órdenes posibles serán igualmente probables.

A este gran número de sucesivas permutaciones, es decir, a la complejidad del fenómeno, se debe este resultado.

Una última palabra sobre la teoría de los errores. Helo aquí: las causas son complejas y múltiples. ¡A cuántas trampas no está expuesto el observador, aun con el mejor instrumento!

Debe aplicarse a descubrir las mayores y a evitarlas. Estas son las que engendran los errores sistemáticos.

Pero cuando los ha eliminado, admitiendo que lo logre, quedan muchos pequeños que, acumulándose sus efectos, pueden volverse peligrosos. De ahí provienen los errores accidentales; y los atribuimos al azar porque sus causas son demasiado complicadas y demasiado numerosas.

Aquí también tenemos solo pequeñas causas, pero cada una de ellas no produciría más que un efecto ligero; es por su unión y su número que sus efectos se vuelven formidables.

V

Podemos adoptar todavía un tercer punto de vista, menos importante que los dos primeros y sobre el cual insistiré menos. Cuando tratamos de prever un acontecimiento y examinamos sus antecedentes, nos esforzamos en investigar la situación anterior.

Esto no podría hacerse para todas las partes del universo y nos conformamos con saber lo que pasa en la vecindad del punto donde el acontecimiento debe producirse, o lo que parecería tener alguna relación con él. Un examen no puede ser completo y debemos saber elegir.

Pero puede ocurrir que hayamos pasado por alto circunstancias que a primera vista parecían completamente extrañas al suceso previsto, a las que jamás se habría soñado con atribuirles influencia alguna y que, sin embargo, contra toda previsión, llegan a desempeñar un papel importante.

Un hombre pasa por la calle camino de sus asuntos; alguien que conociera sus asuntos podría haber dicho por qué salió a tal hora y fue por tal calle. En el tejado trabaja un tejador.

El contratista que lo emplea podría prever en cierta medida lo que hará. Pero el transeúnte apenas piensa en el tejador, ni el tejador en él; parecen pertenecer a dos mundos completamente ajenos el uno al otro.

Y, sin embargo, el tejador deja caer una teja que mata al hombre, y no dudamos en decir que esto es obra del azar.

Nuestra debilidad nos prohíbe considerar el universo entero y nos obliga a cortarlo en rodajas. Intentamos hacerlo lo menos artificialmente posible. Y, sin embargo, sucede de vez en cuando que dos de estas rodajas reaccionan la una sobre la otra. Los efectos de esta acción mutua nos parecen entonces debidos al azar.

¿Es esta una tercera manera de concebir el azar? No siempre; de hecho, la mayoría de las veces somos remitidos a la primera o a la segunda.

Siempre que dos mundos habitualmente ajenos el uno al otro llegan así a reaccionar el uno sobre el otro, las leyes de esta reacción deben de ser muy complejas. Por otra parte, un cambio muy leve en las condiciones iniciales de estos dos mundos habría bastado para que la reacción no se hubiera producido.

Qué poco faltaba para que el hombre pasara un segundo más tarde o el tejero dejara caer su teja un segundo antes.

VI

Todo lo que hemos dicho aún no explica por qué el azar obedece a leyes.

¿Basta el hecho de que las causas sean leves o complejas para que podamos prever, si no sus efectos en cada caso, al menos cuáles serán sus efectos en promedio? Para responder a esta pregunta, haríamos bien en retomar algunos de los ejemplos ya citados.

Comenzaré por el de la ruleta. He dicho que el punto en el que se detendrá la aguja depende del impulso inicial que se le dé. ¿Cuál es la probabilidad de que este impulso tenga uno u otro valor? No sé nada al respecto, pero me es difícil no suponer que esta probabilidad está representada por una función analítica continua.

La probabilidad de que el impulso esté comprendido entre $\alpha$ y $\alpha +\epsilon$ será entonces sensiblemente igual a la probabilidad de que esté comprendido entre $\alpha +\epsilon$ y $\alpha +2\epsilon$, siempre que $\epsilon$ sea muy pequeño. Esta es una propiedad común a todas las funciones analíticas. Las variaciones diminutas de la función son proporcionales a las variaciones diminutas de la variable.

Pero hemos supuesto que una variación sumamente pequeña del empuje basta para cambiar el color del sector sobre el que la aguja se detiene finalmente. De α a α + ε es rojo, de α + ε a α + 2ε es negro; la probabilidad de cada sector rojo es por lo tanto la misma que la del negro siguiente, y consecuentemente la probabilidad total de rojo es igual a la probabilidad total de negro.

El dato de la cuestión es la función analítica que representa la probabilidad de un empuje inicial particular. Pero el teorema sigue siendo verdadero cualquiera que sea este dato, ya que depende de una propiedad común a todas las funciones analíticas. De esto se sigue finalmente que ya no necesitamos el dato.

Lo que acabamos de decir para el caso de la ruleta se aplica también al ejemplo de los planetas menores. El zodíaco puede considerarse como una inmensa ruleta sobre la cual se han lanzado muchas pequeñas bolas con diferentes impulsos iniciales que varían según alguna ley.

Su distribución actual es uniforme e independiente de esta ley, por la misma razón que en el caso precedente.

Vemos así por qué los fenómenos obedecen a las leyes del azar cuando pequeñas diferencias en las causas bastan para provocar grandes diferencias en los efectos. Las probabilidades de estas pequeñas diferencias pueden considerarse entonces como proporcionales a estas mismas diferencias, precisamente porque estas diferencias son minúsculas, y los incrementos infinitesimales de una función continua son proporcionales a los de la variable.

Tomemos un ejemplo totalmente distinto, en el que interviene especialmente la complejidad de las causas. Supongamos que un jugador baraja un paquete de cartas. En cada mezcla cambia el orden de las cartas, y puede cambiarlas de muchas maneras.

Para simplificar la exposición, consideremos solo tres cartas. Las cartas que antes de barajar ocupaban respectivamente los lugares 123, pueden ocupar después de barajar los lugares

123, 231, 312, 321, 132, 213.

Cada una de estas seis hipótesis es posible y tienen respectivamente por probabilidades:

p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆.

La suma de estos seis números es igual a 1; pero esto es todo lo que sabemos de ellos; estas seis probabilidades dependen naturalmente de los hábitos del jugador, los cuales no conocemos.

En la segunda mezcla y en la siguiente, esto recomenzará, y bajo las mismas condiciones; quiero decir que p₄, por ejemplo, representa siempre la probabilidad de que las tres cartas que ocupaban, después de la n-ésima mezcla y antes de la (n + 1)-ésima, los lugares 123, ocupen los lugares 321 después de la (n + 1)-ésima mezcla. Y esto sigue siendo verdad cualquiera que sea el número n, puesto que los hábitos del jugador y su manera de mezclar siguen siendo los mismos.

Pero si el número de barajados es muy grande, las cartas que antes del primer barajado ocupaban los lugares 123 pueden, después del último barajado, ocupar los lugares

123, 231, 312, 321, 132, 213 y la probabilidad de estas seis hipótesis será sensiblemente la misma e igual a 1/6; y esto será cierto sean cuales fueren los números p₁ ... p₆ que no conocemos. El gran número de mezclas, es decir, la complejidad de las causas, ha producido la uniformidad.

Esto se aplicaría sin cambios si hubiera más de tres cartas, pero incluso con tres cartas la demostración sería complicada; que baste con darla para solo dos cartas. Entonces tenemos solo dos posibilidades 12, 21 con las probabilidades p₁ y p₂ = 1 − p₁.

Supongamos n mezclas y supongamos que gano un franco si las cartas terminan en el orden inicial y pierdo uno si finalmente están invertidas. Entonces, mi esperanza matemática será (p₁ − p₂)ⁿ.

La diferencia p₁ − p₂ es ciertamente menor que 1; de modo que si n es muy grande, mi esperanza matemática será cero; no necesitamos conocer p₁ y p₂ para saber que el juego es equitativo.

Siempre habría una excepción si uno de los números p₁ y p₂ fuera igual a 1 y el otro cero.

Entonces no se aplicaría porque nuestras hipótesis iniciales serían demasiado simples.

Lo que acabamos de ver no solo se aplica a la mezcla de cartas, sino a todas las mezclas, a la de polvos y líquidos; e incluso a la de las moléculas de los gases en la teoría cinética de los gases.

Para volver a esta teoría, supongamos por un momento un gas cuyas moléculas no pueden chocar mutuamente, pero pueden ser desviadas al chocar contra el interior del vaso que contiene el gas.

Si la forma del vaso es suficientemente compleja, la distribución de las moléculas y la de las velocidades no tardarán en volverse uniformes.

Pero esto no será así si el vaso es esférico o si tiene la forma de un cuboide. ¿Por qué? Porque en el primer caso la distancia desde el centro a cualquier trayectoria permanecerá constante; en el segundo caso este será el valor absoluto del ángulo de cada trayectoria con las caras del cuboide.

Así pues, vemos lo que debe entenderse por condiciones demasiado simples; son aquellas que conservan algo, que dejan un invariante remanente.

¿Son las ecuaciones diferenciales del problema demasiado simples para que podamos aplicar las leyes del azar? Esta pregunta parecería a primera vista carecer de un significado preciso; ahora sabemos lo que significa.

Son demasiado simples si conservan algo, si admiten una integral uniforme.

Si algo en las condiciones iniciales permanece inalterado, es evidente que la situación final ya no puede ser independiente de la situación inicial.

Llegamos por fin a la teoría de los errores. No sabemos a qué se deben los errores accidentales, y precisamente porque no lo sabemos, somos conscientes de que obedecen a la ley de Gauss. Tal es la paradoja.

La explicación es casi la misma que en los casos precedentes. Solo necesitamos saber una cosa: que los errores son muy numerosos, que son muy leves, que cada uno puede ser tanto negativo como positivo.

¿Cuál es la curva de probabilidad de cada uno de ellos? No lo sabemos; solo suponemos que es simétrica. Demostramos entonces que el error resultante seguirá la ley de Gauss, y esta ley resultante es independiente de las leyes particulares que no conocemos.

Aquí también la simplicidad del resultado nace de la complejidad misma de los datos.

VII

Pero no hemos acabado con las paradojas. Acabo de recordar la fantasía de Flammarion, la del hombre que va más rápido que la luz, para quien el tiempo cambia de signo. Dije que para él todos los fenómenos parecerían debidos al azar. Eso es verdad desde cierto punto de vista, y, sin embargo, todos estos fenómenos en un momento dado no estarían distribuidos de conformidad con las leyes del azar, ya que la distribución sería la misma que para nosotros, quienes, al verlos desarrollarse armoniosamente y sin salir de un caos primordial, no los consideramos gobernados por el azar.

¿Qué significa eso? Para Lumen, el hombre de Flammarion, causas leves parecen producir grandes efectos; ¿por qué las cosas no ocurren como para nosotros cuando creemos ver grandes efectos debidos a causas insignificantes?

¿No sería aplicable el mismo razonamiento en su caso?

Volvamos al argumento. Cuando pequeñas diferencias en las causas producen vastas diferencias en los efectos, ¿por qué estos efectos se distribuyen según las leyes del azar?

Supongamos que una diferencia de un milímetro en la causa produce una diferencia de un kilómetro en el efecto. Si gano en caso de que el efecto corresponda a un kilómetro que lleve un número par, mi probabilidad de ganar será de 1/2. ¿Por qué? Porque para que eso ocurra, la causa debe corresponder a un milímetro con un número par.

Ahora bien, según toda apariencia, la probabilidad de que la causa varíe entre ciertos límites será proporcional a la distancia entre esos límites, siempre que esta distancia sea muy pequeña. Si no se admitiera esta hipótesis, ya no habría forma de representar la probabilidad mediante una función continua.

¿Qué ocurrirá ahora cuando las grandes causas produzcan pequeños efectos? Este es el caso en el que no debemos atribuir el fenómeno al azar y en el que, por el contrario, Lumen lo atribuiría al azar. A una diferencia de un kilómetro en la causa correspondería una diferencia de un milímetro en el efecto.

¿Sería la probabilidad de que la causa esté comprendida entre dos límites separados por n kilómetros todavía proporcional a n? No tenemos razón alguna para suponerlo, ya que esta distancia, n kilómetros, es grande. Pero la probabilidad de que el efecto se encuentre entre dos límites separados por n milímetros será precisamente la misma, por lo que no será proporcional a n, aun cuando esta distancia, n milímetros, sea pequeña.

No hay manera, por tanto, de representar la ley de probabilidad de los efectos mediante una curva continua. Esta curva, entiéndase bien, puede seguir siendo continua en el sentido analítico de la palabra; a variaciones infinitesimales de la abscisa corresponderán variaciones infinitesimales de la ordenada. Pero en la práctica no será continua, puesto que variaciones muy pequeñas de la ordenada no corresponderían a variaciones muy pequeñas de la abscisa. Sería imposible trazar la curva con un lápiz ordinario; eso es lo que quiero decir.

¿Qué debemos concluir, por tanto? Lumen no tiene derecho a afirmar que la probabilidad de la causa (su causa, nuestro efecto) deba representarse necesariamente mediante una función continua. Pero entonces, ¿por qué tenemos nosotros este derecho?

Es porque este estado de equilibrio inestable que hemos estado llamando inicial es en sí mismo solo el resultado final de una larga historia previa. En el curso de esta historia, causas complejas han actuado durante mucho tiempo: han contribuido a producir la mezcla de elementos y han tendido a hacer que todo sea uniforme, al menos dentro de una pequeña región; han redondeado las esquinas, suavizado las colinas y rellenado los valles.

Por caprichosa e irregular que haya podido ser la curva primitiva que se les entregó, han trabajado tanto para hacerla regular que finalmente nos entregan una curva continua. Y esta es la razón por la cual podemos suponer con toda confianza su continuidad.

Lumen no tendría las mismas razones para llegar a tal conclusión.

Para él, las causas complejas no parecerían agentes de nivelación y regularidad, sino que, por el contrario, crearían únicamente desigualdad y diferenciación. Vería surgir un mundo cada vez más variado a partir de una especie de caos primitivo. Los cambios que pudiera observar serían para él imprevistos e imposibles de prever. Le parecerían debidos a caprichos de uno u otro tipo; pero este capricho sería muy diferente de nuestro azar, ya que se opondría a toda ley, mientras que nuestro azar aún tiene sus leyes.

Todos estos puntos exigen largas explicaciones, que tal vez ayudarían a comprender mejor la irreversibilidad del universo.

VIII

Hemos procurado definir el azar, y ahora conviene plantear una pregunta. ¿Tiene el azar así definido, en la medida en que esto es posible, objetividad?

Podrá cuestionarse. He hablado de causas muy leves o muy complejas. Pero lo que es muy pequeño para uno puede ser muy grande para otro, y lo que a uno le parece muy complejo puede parecerle simple a otro.

En parte ya he respondido diciendo con precisión en qué casos las ecuaciones diferenciales se vuelven demasiado simples para que las leyes del azar sigan siendo aplicables. Pero conviene examinar la cuestión un poco más de cerca, pues podemos adoptar todavía otros puntos de vista.

¿Qué significa la frase «muy pequeña»? Para comprenderla, no tenemos más que remitirnos a lo que ya se ha dicho.

Una diferencia es muy pequeña, un intervalo es muy diminuto, cuando dentro de los límites de este intervalo la probabilidad permanece sensiblemente constante.

¿Y por qué puede considerarse esta probabilidad como constante dentro de un pequeño intervalo? Es porque suponemos que la ley de probabilidad está representada por una curva continua, continua no solo en el sentido analítico, sino prácticamente continua, tal como ya se ha explicado.

Esto significa que no solo no presenta ningún hiato absoluto, sino que no tiene ni salientes ni entrantes demasiado agudos o demasiado pronunciados.

¿Y qué nos da derecho a hacer esta hipótesis? Ya lo hemos dicho: es porque, desde el principio de los tiempos, siempre ha habido causas complejas que han actuado sin cesar de la misma manera y han hecho que el mundo tienda hacia la uniformidad sin poder jamás dar marcha atrás.

Estas son las causas que poco a poco han aplanado los salientes y colmado los entrantes, y por esto nuestras curvas de probabilidad muestran ahora solo suaves ondulaciones.

En miles de millones de miles de millones de edades se habrá dado otro paso hacia la uniformidad, y estas ondulaciones serán diez veces más suaves; el radio de curvatura medio de nuestra curva se habrá vuelto diez veces mayor. Y entonces una longitud que hoy nos parece no muy pequeña, ya que en nuestra curva un arco de esta longitud no puede considerarse rectilíneo, debería llamarse por el contrario en esa época muy pequeña, puesto que la curvatura se habrá vuelto diez veces menor y un arco de esta longitud podrá identificarse sensiblemente con un segmento.

Así, la frase «muy leve» sigue siendo relativa; pero no es relativa a este o aquel hombre, es relativa al estado actual del mundo. Cambiará de significado cuando el mundo se haya vuelto más uniforme, cuando todas las cosas se hayan fundido aún más. Pero entonces, sin duda, los hombres ya no podrán vivir y tendrán que dejar paso a otros seres—¿debería decir mucho más pequeños o mucho más grandes?

De modo que nuestro criterio, al seguir siendo verdadero para todos los hombres, conserva un sentido objetivo.

Y por otra parte, ¿qué significa la frase «muy complejo»?

Ya he dado una solución, pero hay otras. Las causas complejas, hemos dicho, producen una mezcla cada vez más íntima, pero ¿al cabo de cuánto tiempo nos satisfará esta mezcla? ¿Cuándo habrá acumulado suficiente complejidad? ¿Cuándo habremos barajado suficientemente las cartas?

Si mezclamos dos polvos, uno azul y otro blanco, llega un momento en que el tinte de la mezcla nos parece uniforme debido a la debilidad de nuestros sentidos; será uniforme para el presbíeta, obligado a mirar desde lejos, antes de serlo para el miope. Y cuando se haya vuelto uniforme para todos los ojos, aún podríamos retrasar el límite mediante el uso de instrumentos.

No hay posibilidad de que ningún hombre llegue a discernir la variedad infinita que, si la teoría cinética es verdadera, se oculta bajo la apariencia uniforme de un gas. Y, sin embargo, si aceptamos las ideas de Gouy sobre el movimiento browniano, ¿no parece el microscopio estar a punto de mostrarnos algo análogo?

Este nuevo criterio es por tanto relativo como el primero; y si conserva un carácter objetivo, se debe a que todos los hombres tienen aproximadamente los mismos sentidos, el poder de sus instrumentos es limitado y, además, los utilizan solo excepcionalmente.

IX

Lo mismo ocurre en las ciencias morales y particularmente en la historia. El historiador se ve obligado a hacer una elección entre los acontecimientos de la época que estudia; relata únicamente aquellos que le parecen más importantes.

Se contenta, por tanto, con narrar los acontecimientos más trascendentales del siglo XVI, por ejemplo, así como los hechos más notables del siglo XVII.

Si los primeros bastan para explicar los segundos, decimos que estos se ajustan a las leyes de la historia. Pero si un gran acontecimiento del siglo XVII tuviera por causa un pequeño hecho del siglo XVI que ninguna historia registra, que todo el mundo ha descuidado, entonces decimos que este acontecimiento se debe al azar.

Esta palabra tiene, por tanto, el mismo sentido que en las ciencias físicas; significa que pequeñas causas han producido grandes efectos.

El mayor golpe de azar es el nacimiento de un gran hombre. Es solo por casualidad que se produce el encuentro de dos células germinales, de diferente sexo, que contienen precisamente, cada una por su lado, los elementos misteriosos cuya reacción mutua debe producir el genio.

Se convendrá en que estos elementos deben ser raros y que su encuentro lo es todavía más. Qué poca cosa habría hecho falta para desviar de su ruta al espermatozoide portador. Habría bastado con desviarlo una décima de milímetro para que Napoleón no hubiera nacido y los destinos de un continente hubieran cambiado.

Ningún ejemplo puede hacernos comprender mejor los verdaderos caracteres del azar.

Una palabra más sobre las paradojas que suscita la aplicación del cálculo de probabilidades a las ciencias morales.

Se ha demostrado que ninguna Cámara de Diputados dejará jamás de incluir a un miembro de la oposición, o al menos que un acontecimiento semejante sería tan improbable que podríamos sin temor apostar lo contrario, y jugarnos un millón contra un sou.

Condorcet se ha esforzado por calcular cuántos jurados se requerirían para que un error judicial fuera prácticamente imposible. Si hubiéramos utilizado los resultados de este cálculo, sin duda nos habríamos visto expuestos a las mismas desilusiones que al apostar, confiando en el cálculo, a que la oposición jamás se quedaría sin un representante.

Las leyes del azar no se aplican a estas cuestiones. Si la justicia no siempre se administra conforme a las mejores razones, emplea menos de lo que pensamos el método de Bridoye. Esto es quizás de lamentar, pues entonces el sistema de Condorcet nos pondría a salvo de los errores judiciales.

¿Cuál es el significado de esto? Nos sentimos tentados a atribuir hechos de esta naturaleza al azar porque sus causas son oscuras; pero esto no es el verdadero azar. Las causas nos son desconocidas, es verdad, e incluso son complejas; pero no lo son suficientemente, puesto que conservan algo.

Hemos visto que esto es lo que distingue a las causas «demasiado simples».

Cuando los hombres se reúnen ya no deciden al azar e independientemente unos de otros; se influencian mutuamente. Causas múltiples entran en acción. Acosan a los hombres, arrastrándolos a derecha e izquierda, pero hay una cosa que no pueden destruir, y son sus hábitos de rebaño de carneros de Panurgo. Y esto es un invariante.

X

Dificultades indudables son las que entraña la aplicación del cálculo de probabilidades a las ciencias exactas.

¿Por qué los decimales de una tabla de logaritmos, por qué los del número $\pi$ se hallan distribuidos de conformidad con las leyes del azar?

En otra parte ya he estudiado la cuestión en lo que concierne a los logaritmos, y ahí resulta fácil. Es evidente que una ligera diferencia en el argumento dará una ligera diferencia en el logaritmo, pero una gran diferencia en el sexto decimal del logaritmo.

Siempre volvemos a encontrar el mismo criterio.

Pero en cuanto al número $\pi$, este presenta más dificultades, y por el momento no tengo nada que decir que valga la pena.

Habría muchas otras cuestiones que resolver, si hubiese querido abordarlas antes de resolver aquella que me propuse más especialmente.

Cuando llegamos a un resultado simple, cuando encontramos, por ejemplo, un número redondo, decimos que tal resultado no puede deberse al azar, y buscamos, para explicarlo, una causa no fortuitas.

Y, de hecho, hay una probabilidad muy pequeña de que entre 10 000 números el azar dé un número redondo; por ejemplo, el número 10 000. Este solo tiene una probabilidad entre 10 000.

Pero solo hay una probabilidad entre 10 000 de que ocurra cualquier otro número, y, sin embargo, este resultado no nos asombrará, ni nos será difícil atribuirlo al azar; y ello simplemente porque será menos llamativo.

¿Es esto una simple ilusión nuestra, o hay casos en que este modo de pensar es legítimo? Debemos esperarlo, pues de otro modo toda ciencia sería imposible.

Cuando deseamos comprobar una hipótesis, ¿qué hacemos? No podemos verificar todas sus consecuencias, ya que serían infinitas en número; nos contentamos con verificar ciertas de ellas y, si lo logramos, declaramos la hipótesis confirmada, porque tanto éxito no podría deberse al azar.

Y este es siempre, en el fondo, el mismo razonamiento.

No puedo justificarlo aquí por completo, ya que llevaría demasiado tiempo; pero al menos puedo decir que nos encontramos ante dos hipótesis: o bien una causa simple o bien ese agregado de causas complejas que llamamos azar.

Nos parece natural suponer que la primera debe producir un resultado simple, y entonces, si encontramos ese resultado simple —el número redondo, por ejemplo—, nos parece más probable que sea atribuible a la causa simple que debe darlo con casi total certeza, antes que al azar, que solo podría darlo una vez cada 10.000 veces.

No ocurrirá lo mismo si hallamos un resultado que no es simple; el azar, es verdad, no lo producirá más que una vez cada 10.000 veces; pero tampoco la causa tiene mayor probabilidad de producirlo.