# CAPÍTULO VI

# La mecánica clásica

Los ingleses enseñan la mecánica como una ciencia experimental; en el continente siempre se expone más o menos como una ciencia deductiva y a priori. Los ingleses tienen razón, eso sobra decirlo; pero ¿cómo se ha podido persistir en el otro método durante tanto tiempo? ¿Por qué los sabios continentales que han intentado salir de las rutinas de sus predecesores no han solido ser capaces de liberarse por completo?

Por otra parte, si los principios de la mecánica son únicamente de origen experimental, ¿no son por tanto más que aproximados y provisionales? ¿Podría ser que nuevos experimentos nos lleven algún día a modificarlos o incluso a abandonarlos?

Tales son las preguntas que se presentan naturalmente, y la dificultad de solución proviene principalmente del hecho de que los tratados de mecánica no distinguen claramente entre lo que es experimento, lo que es razonamiento matemático, lo que es convención, lo que es hipótesis.

Eso no es todo:

1º No existe el espacio absoluto y solo podemos concebir movimientos relativos; sin embargo, por lo general, los hechos mecánicos se enuncian como si hubiera un espacio absoluto al cual referirlos.

2º No existe el tiempo absoluto; decir que dos duraciones son iguales es una afirmación que en sí misma carece de significado y que solo puede adquirirlo por convención.

3º No solo no tenemos ninguna intuición directa de la igualdad de dos duraciones, sino que ni siquiera tenemos una intuición directa de la simultaneidad de dos acontecimientos que ocurren en lugares distintos: esto lo he explicado en un artículo titulado La mesure du temps.³³

4º Por último, nuestra propia geometría euclidiana no es más que una especie de convención del lenguaje; los hechos mecánicos podrían enunciarse con referencia a un espacio no euclidiano que sería una guía menos conveniente que nuestro espacio ordinario, pero tan legítima como él; el enunciado se volvería así mucho más complicado, pero seguiría siendo posible.

Así, el espacio absoluto, el tiempo absoluto, la geometría misma, no son condiciones que se impongan a la mecánica; todas estas cosas no son más anteriores a la mecánica de lo que la lengua francesa es lógicamente anterior a las verdades que se expresan en francés.

Podríamos intentar enunciar las leyes fundamentales de la mecánica en un lenguaje independiente de todas estas convenciones; tendríamos así sin duda una mejor idea de lo que estas leyes son en sí mismas; esto es lo que el Sr. Andrade ha intentado hacer, al menos en parte, en sus Leçons de mécanique physique.

La enunciación de estas leyes se volvería por supuesto mucho más complicada, porque todas estas convenciones han sido ideadas expresamente para abreviar y simplificar esta enunciación.

Por mi parte, salvo en lo que concierne al espacio absoluto, obviaré todas estas dificultades; no es que deje de apreciarlas, ni mucho menos; pero ya las hemos examinado suficientemente en las dos primeras partes del libro.

Por consiguiente, admitiré, provisionalmente, el tiempo absoluto y la geometría euclidiana.

El principio de inercia.—Un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza solo puede moverse uniformemente en línea recta.

¿Es esta una verdad impuesta a priori a la mente? Si fuera así, ¿cómo habrían dejado de reconocerla los griegos? ¿Cómo pudieron haber creído que el movimiento se detiene cuando cesa la causa que le dio origen? ¿O también que todo cuerpo, si nada lo impide, se moverá en círculo, el más noble de los movimientos?

Si se dice que la velocidad de un cuerpo no puede cambiar si no hay una razón para que cambie, ¿no podría sostenerse con la misma razón que la posición de este cuerpo no puede cambiar, o que la curvatura de su trayectoria no puede cambiar, si ninguna causa externa interviene para modificarlas?

¿Es el principio de inercia, que no es una verdad a priori, por consiguiente, un hecho experimental?

Pero ¿alguna vez se ha experimentado con cuerpos sustraídos de la acción de toda fuerza? y, de ser así, ¿cómo se supo que estos cuerpos no estaban sometidos a ninguna fuerza?

El ejemplo que se cita ordinariamente es el de una bola que rueda durante mucho tiempo sobre una mesa de mármol; pero ¿por qué decimos que no está sometida a ninguna fuerza?

¿Es esto porque está demasiado alejada de todos los demás cuerpos como para experimentar de ellos alguna acción apreciable? Sin embargo, no está más alejada de la tierra que si fuera lanzada libremente al aire; y todo el mundo sabe que en este caso experimentaría la influencia de la gravedad debida a la atracción terrestre.

Los profesores de mecánica suelen pasar rápidamente por el ejemplo de la bola; pero añaden que el principio de inercia se verifica indirectamente por sus consecuencias. Se explican mal; evidentemente quieren decir que es posible verificar diversas consecuencias de un principio más general, del cual el de la inercia no es sino un caso particular.

Propondré para este principio general el siguiente enunciado:

La aceleración de un cuerpo depende únicamente de la posición de este cuerpo y de los cuerpos vecinos y de sus velocidades.

Los matemáticos dirían que los movimientos de todas las moléculas materiales del universo dependen de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Para dejar en claro que se trata verdaderamente de la generalización natural de la ley de inercia, les ruego que me permitan un poco de ficción.

La ley de inercia, como he dicho más arriba, no nos es impuesta a priori; otras leyes serían perfectamente compatibles con el principio de razón suficiente. Si un cuerpo no se ve sometido a ninguna fuerza, en lugar de suponer que su velocidad no cambia, se podría suponer que es su posición o bien su aceleración la que no cambia.

Pues bien, imagínese por un instante que una de estas dos leyes hipotéticas es una ley de la naturaleza y reemplaza nuestra ley de inercia. ¿Cuál sería su generalización natural? Un momento de reflexión nos lo mostrará.

En el primer caso, debemos suponer que la velocidad de un cuerpo depende únicamente de su posición y de la de los cuerpos vecinos; en el segundo caso, que el cambio de aceleración de un cuerpo depende únicamente de la posición de este cuerpo y de los cuerpos vecinos, de sus velocidades y de sus aceleraciones.

O, para hablar el lenguaje de las matemáticas, las ecuaciones diferenciales del movimiento serian de primer orden en el primer caso, y de tercer orden en el segundo caso.

Modifiquemos ligeramente nuestra ficción. Supongamos un mundo análogo a nuestro sistema solar, pero donde, por un extraño azar, las órbitas de todos los planetas carecen de excentricidad y de inclinación.

Supongamos además que las masas de estos planetas son demasiado pequeñas para que sus perturbaciones mutuas sean sensibles. Los astrónomos que habitasen en uno de estos planetas no podrían dejar de concluir que la órbita de un astro solo puede ser circular y paralela a un determinado plano; la posición de un astro en un instante dado bastaría entonces para determinar su velocidad y toda su trayectoria. La ley de inercia que adoptarían sería la primera de las dos leyes hipotéticas que he mencionado.

Imagina ahora que este sistema es atravesado algún día con gran velocidad por un cuerpo de vasta masa, proveniente de constelaciones lejanas.

Todas las órbitas se verían profundamente perturbadas. Aun así, nuestros astrónomos no se asombrarían demasiado; adivinarían muy bien que esta nueva estrella era la única culpable de todo el desbarajuste.

«Pero —dirían—, cuando se haya marchado, el orden se restablecerá por sí mismo; sin duda las distancias de los planetas al sol no volverán a ser las que eran antes del cataclismo, mas, cuando la estrella perturbadora se haya ido, las órbitas volverán a ser circulares».

Solo cuando el cuerpo perturbador hubiera desaparecido y cuando, sin embargo, las órbitas, en lugar de volverse a hacer circulares, se volvieran elípticas, estos astrónomos cobrarían consciencia de su error y de la necesidad de rehacer toda su mecánica.

Me he detenido un tanto en estas hipótesis porque me parece que solo se puede comprender claramente lo que es realmente nuestra ley general de inercia si se la contrasta con una hipótesis contraria.

Bien, ahora bien, ¿ha sido verificada esta ley generalizada de inercia por la experiencia, o puede serlo? Cuando Newton escribió los Principia, consideraba esta verdad como adquirida y demostrada experimentalmente.

Así era a sus ojos, no solo a través del antropomorfismo del que hablaremos más adelante, sino por medio de la obra de Galileo. Así era incluso a partir de las propias leyes de Kepler; de acuerdo con estas leyes, en efecto, la trayectoria de un planeta está completamente determinada por su posición inicial y su velocidad inicial; esto es justamente lo que nuestra ley generalizada de inercia exige.

Para que este principio fuese solo en apariencia verdadero, para que uno tuviera motivos para temer tener que reemplazarlo algún día por uno de los principios análogos que acabo de contrastar con él, sería necesario que hubiéramos sido engañados por un azar asombroso, semejante al que, en la ficción desarrollada más arriba, condujo al error a nuestros astrónomos imaginarios.

Semejante hipótesis es demasiado improbable como para detenerse en ella. Nadie creerá que tales coincidencias puedan ocurrir; sin duda, la probabilidad de que dos excentricidades sean ambas precisamente nulas, dentro de los errores de observación, no es menor que la probabilidad de que una sea precisamente igual a 0.1, por ejemplo, y la otra a 0.2, dentro de los errores de observación.

La probabilidad de un suceso simple no es menor que la de un suceso complicado; y sin embargo, si el primero ocurre, no consentiremos en atribuirlo al azar; no creeríamos que la naturaleza ha actuado expresamente para engañarnos.

Descartada la hipótesis de un error de este género, puede admitirse, por tanto, que en lo que concierne a la astronomía, nuestra ley ha sido verificada por la experiencia.

Pero la astronomía no es la totalidad de la física.

¿No debemos temer que algún día un nuevo experimento venga a falsear la ley en algún dominio de la física?

Una ley experimental está siempre sujeta a revisión; siempre debe esperarse verla reemplazada por una ley más precisa.

Sin embargo, nadie piensa seriamente que la ley de la que hablamos vaya a ser abandonada o enmendada jamás. ¿Por qué? Precisamente porque nunca podrá ser sometida a una prueba decisiva.

En primer lugar, para que este ensayo fuera completo, sería necesario que después de cierto tiempo todos los cuerpos del universo volvieran a sus posiciones iniciales con sus velocidades iniciales. Podría verse entonces si, a partir de este momento, retomarían sus trayectorias originales.

Pero esta prueba es imposible, solo puede aplicarse parcialmente y, por muy bien que se haga, siempre habrá algunos cuerpos que no volverán a sus posiciones iniciales; por lo que cualquier derogación de la ley encontrará fácilmente su explicación.

Esto no es todo; en astronomía vemos los cuerpos cuyos movimientos estudiamos y por lo general suponemos que no están sujetos a la acción de otros cuerpos invisibles. Bajo estas condiciones, nuestra ley debe en verdad verificarse o no verificarse.

Pero en física no ocurre lo mismo; si los fenómenos físicos se deben a movimientos, se deben a los movimientos de moléculas que no vemos.

Si entonces la aceleración de uno de los cuerpos que vemos nos parece depender de otra cosa además de las posiciones o velocidades de otros cuerpos visibles o de moléculas invisibles cuya existencia nos ha llevado previamente a admitir, nada nos impide suponer que esta otra cosa es la posición o la velocidad de otras moléculas cuya presencia no habíamos sospechado antes. La ley se encontrará así salvaguardada.

Permíteme emplear un momento el lenguaje matemático para expresar el mismo pensamiento bajo otra forma. Supongamos que observamos n moléculas y constatamos que sus 3n coordenadas satisfacen un sistema de 3n ecuaciones diferenciales de cuarto orden (y no de segundo orden como requeriría la ley de inercia). Sabemos que introduciendo 3n variables auxiliares, un sistema de 3n ecuaciones de cuarto orden puede reducirse a un sistema de 6n ecuaciones de segundo orden. Si entonces suponemos que estas 3n variables auxiliares representan las coordenadas de n moléculas invisibles, el resultado está de nuevo en conformidad con la ley de inercia.

En resumen, esta ley, verificada experimentalmente en algunos casos particulares, puede extenderse sin vacilación a los casos más generales, puesto que sabemos que en estos casos generales el experimento ya no es capaz ni de confirmarla ni de contradecirla.

La Ley de la Aceleración.—La aceleración de un cuerpo es igual a la fuerza que actúa sobre él dividida por su masa. ¿Puede verificarse esta ley mediante la experiencia? Para ello sería necesario medir las tres magnitudes que figuran en el enunciado: aceleración, fuerza y masa.

Supongo que la aceleración se puede medir, pues paso por alto la dificultad que surge de la medición del tiempo. ¿Pero cómo medir la fuerza, o la masa? Ni siquiera sabemos qué son.

¿Qué es la masa? Según Newton, es el producto del volumen por la densidad. Según Thomson y Tait, sería mejor decir que la densidad es el cociente de la masa por el volumen.

¿Qué es la fuerza?

Es, responde Lagrange, aquello que mueve o tiende a mover un cuerpo.
Es, dirá Kirchhoff, el producto de la masa por la aceleración.

Pero entonces, ¿por qué no decir que la masa es el cociente de la fuerza por la aceleración?

Estas dificultades son inextricables.

Cuando decimos que la fuerza es la causa del movimiento, hablamos de metafísica, y esta definición, si uno se contentara con ella, sería absolutamente estéril. Para que una definición sea de alguna utilidad, debe enseñarnos a medir la fuerza; además, eso basta; no es en absoluto necesario que nos enseñe qué es la fuerza en sí misma, ni si es la causa o el efecto del movimiento.

Por consiguiente, debemos definir primero la igualdad de dos fuerzas.

¿Cuándo diremos que dos fuerzas son iguales? Se nos dice que cuando, aplicadas a la misma masa, le imprimen la misma aceleración, o cuando, opuestas directamente la una a la otra, producen el equilibrio.

Esta definición no es más que una farsa. Una fuerza aplicada a un cuerpo no se puede desenganchar para engancharla a otro cuerpo, como se desengancha una locomotora para acoplarla a otro tren. Por lo tanto, es imposible saber qué aceleración imprimiría tal fuerza, aplicada a tal cuerpo, a tal otro cuerpo, si se le aplicase. Es imposible saber cómo actuarían dos fuerzas que no están directamente opuestas, si estuvieran directamente opuestas.

Es esta definición la que tratamos de materializar, por decirlo así, cuando medimos una fuerza con un dinamómetro, o al equilibrarla con un peso.

Dos fuerzas F y F´, que por simplicidad supondré verticales y dirigidas hacia arriba, se aplican respectivamente a dos cuerpos C y C´; suspendo el mismo cuerpo pesado P primero del cuerpo C, y después del cuerpo C´; si se produce el equilibrio en ambos casos, concluiré que las dos fuerzas F y F´ son iguales entre sí, puesto que cada una de ellas es igual al peso del cuerpo P.

¿Pero estoy seguro de que el cuerpo P ha conservado el mismo peso cuando lo he transportado del primer cuerpo al segundo? Ni mucho menos; estoy seguro de lo contrario; sé que la intensidad de la gravedad varía de un punto a otro, y que es mayor, por ejemplo, en el polo que en el ecuador.

Sin duda, la diferencia es muy pequeña y, en la práctica, no la tendré en cuenta; pero una definición propiamente construida debería tener rigor matemático; falta este rigor.

Lo que digo del peso se aplicaría evidentemente a la fuerza de elasticidad de un dinamómetro, que la temperatura y una multitud de circunstancias pueden hacer variar.

Esto no es todo; no podemos decir que el peso del cuerpo P pueda aplicarse al cuerpo C y equilibrar directamente la fuerza F.

Lo que se aplica al cuerpo C es la acción A del cuerpo P sobre el cuerpo C; el cuerpo P está sometido por su parte, por un lado, a su peso; por otro lado, a la reacción R del cuerpo C sobre P.

Finalmente, la fuerza F es igual a la fuerza A, puesto que la equilibra; la fuerza A es igual a R, en virtud del principio de la igualdad de acción y reacción; por último, la fuerza R es igual al peso de P, puesto que lo equilibra. Es de estas tres igualdades que deducimos como consecuencia la igualdad de F y el peso de P.

Por consiguiente, nos vemos obligados en la definición de la igualdad de las dos fuerzas a introducir el principio de la igualdad de acción y reacción; por esta razón, este principio ya no debe considerarse como una ley experimental, sino como una definición.

Para reconocer la igualdad de dos fuerzas aquí, estamos entonces en posesión de dos reglas:

igualdad de dos fuerzas que se equilibran;
igualdad de acción y reacción.

Pero, como hemos visto más arriba, estas dos reglas son insuficientes; estamos obligados a recurrir a una tercera regla y a suponer que ciertas fuerzas, como, por ejemplo, el peso de un cuerpo, son constantes en magnitud y dirección. Pero esta tercera regla, como he dicho, es una ley experimental; solo es aproximadamente verdadera; es una mala definición.

Nos vemos por tanto reducidos a la definición de Kirchhoff; la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración. Esta «ley de Newton» a su vez deja de ser considerada como una ley experimental, ahora es solo una definición. Pero esta definición sigue siendo insuficiente, pues no sabemos qué es la masa. Nos permite sin duda calcular la relación de dos fuerzas aplicadas al mismo cuerpo en instantes diferentes; no nos enseña nada sobre la relación de dos fuerzas aplicadas a dos cuerpos diferentes.

Para completarlo, es necesario volver de nuevo a la tercera ley de Newton (igualdad de la acción y la reacción), considerada otra vez, no como una ley experimental, sino como una definición.

Dos cuerpos A y B actúan el uno sobre el otro; la aceleración de A multiplicada por la masa de A es igual a la acción de B sobre A; del mismo modo, el producto de la aceleración de B por su masa es igual a la reacción de A sobre B.

Como, por definición, la acción es igual a la reacción, las masas de A y B están en razón inversa de sus aceleraciones. He aquí la razón de estas dos masas definida, y corresponde al experimento verificar que esta razón es constante.

Eso estaría muy bien si los dos cuerpos A y B estuviesen solos y sustraídos de la acción del resto del mundo. Este no es en absoluto el caso; la aceleración de A no se debe meramente a la acción de B, sino a la de una multitud de otros cuerpos C, D,... Para aplicar la regla precedente, es por tanto necesario separar la aceleración de A en muchas componentes, y discernir cuál de estas componentes se debe a la acción de B.

Esta separación todavía sería posible, si tuviéramos que suponer que la acción de C sobre A simplemente se añade a la de B sobre A, sin que la presencia del cuerpo C modifique la acción de B sobre A; o que la presencia de B modifique la acción de C sobre A; si tuviéramos que suponer, en consecuencia, que dos cuerpos cualesquiera se atreven mutuamente, que su acción mutua se ejerce a lo largo de su línea de unión y depende únicamente de su distancia recíproca; si, en una palabra, suponemos la hipótesis de las fuerzas centrales.

Sabes que para determinar las masas de los cuerpos celestes empleamos un principio totalmente diferente.

La ley de la gravitación nos enseña que la atracción de dos cuerpos es proporcional a sus masas; si r es la distancia que los separa, m y m´ sus masas, y k una constante, su atracción será kmm´/r².

Lo que estamos midiendo entonces no es la masa, la relación entre fuerza y aceleración, sino la masa atractiva; no es la inercia del cuerpo, sino su fuerza de atracción.

Este es un procedimiento indirecto, cuyo empleo no es teóricamente indispensable. Muy bien podría haber ocurrido que la atracción fuera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia sin ser proporcional al producto de las masas, que fuera igual a f/r², pero sin que tuviéramos f = kmm´.

Si así fuera, podríamos no obstante, mediante la observación de los movimientos relativos de los cuerpos celestes, medir las masas de estos cuerpos.

¿Pero tenemos derecho a admitir la hipótesis de las fuerzas centrales? ¿Es esta hipótesis rigurosamente exacta? ¿Es seguro que la experiencia jamás la contradiría? ¿Quién se atrevería a afirmar tal cosa? Y si debemos abandonar esta hipótesis, todo el edificio tan laboriosamente erigido se vendrá abajo.

Ya no tenemos derecho a hablar de la componente de la aceleración de A debida a la acción de B. No tenemos medios para distinguirla de la debida a la acción de C o de otro cuerpo. La regla para la medida de las masas se vuelve inaplicable.

¿Qué queda entonces del principio de la igualdad de la acción y la reacción? Si se rechaza la hipótesis de las fuerzas centrales, este principio debe enunciarse evidentemente así: la resultante geométrica de todas las fuerzas aplicadas a los diversos cuerpos de un sistema aislado de toda acción externa será nula. O, en otras palabras, el movimiento del centro de gravedad de este sistema será rectilíneo y uniforme.

Ahí parece que tenemos un medio para definir la masa; la posición del centro de gravedad depende evidentemente de los valores atribuidos a las masas; será necesario disponer estos valores de tal modo que el movimiento del centro de gravedad sea rectilíneo y uniforme; esto siempre será posible si la tercera ley de Newton es verdadera, y posible en general de una sola manera.

Pero no existe ningún sistema aislado de toda acción externa; todas las partes del universo están sujetas, en mayor o menor medida, a la acción de todas las demás partes.

La ley del movimiento del centro de gravedad es rigurosamente verdadera únicamente si se aplica a la totalidad del universo.

Pero entonces, para obtener de ella los valores de las masas, sería necesario observar el movimiento del centro de gravedad del universo. Lo absurdo de esta consecuencia es manifiesto; solo conocemos movimientos relativos; el movimiento del centro de gravedad del universo permanecerá para nosotros eternamente desconocido.

Por tanto, nada queda y nuestros esfuerzos han sido infructuosos; nos vemos empujados a la siguiente definición, que no es más que una confesión de impotencia: las masas son coeficientes que conviene introducir en los cálculos.

Podríamos reconstruir toda la mecánica atribuyendo diferentes valores a todas las masas. Esta nueva mecánica no estaría en contradicción ni con la experiencia ni con los principios generales de la dinámica (principio de inercia, proporcionalidad de las fuerzas a las masas y a las aceleraciones, igualdad de acción y reacción, movimiento rectilíneo y uniforme del centro de gravedad, principio de las áreas).

Sólo las ecuaciones de esta nueva mecánica serían menos simples.

Comprendámonos bien: sólo serían menos simples los primeros términos, es decir, aquellos con los que la experiencia ya nos ha familiarizado; quizá se podrían alterar las masas en pequeñas cantidades sin que las ecuaciones completas ganasen o perdiesen en simplicidad.

Hertz ha planteado la cuestión de si los principios de la mecánica son rigurosamente verdaderos.

«En opinión de muchos físicos», dice, «es inconcebible que la experiencia más remota llegue a cambiar algo en los inamovibles principios de la mecánica; y, sin embargo, lo que proviene de la experiencia puede siempre ser rectificado por la experiencia».

Después de lo que acabamos de decir, estos temores parecerán infundados.

Los principios de la dinámica nos parecieron en un principio verdades experimentales; pero nos hemos visto obligados a utilizarlos como definiciones.

Es por definición como la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración; tenemos aquí, pues, un principio que en adelante está fuera del alcance de cualquier experimento ulterior. Es del mismo modo por definición como la acción es igual a la reacción.

Pero entonces, se dirá, estos principios unverificables carecen absolutamente de toda significación; la experiencia no puede contradecirlos; pero tampoco pueden enseñarnos nada útil; entonces, ¿para qué sirve estudiar la dinámica?

Esta condena precipitada sería injusta. No existe en la naturaleza ningún sistema perfectamente aislado, perfectamente sustraído a toda acción externa; pero hay sistemas casi aislados.

Si un tal sistema es observado, se puede estudiar no solo el movimiento relativo de sus diversas partes una en referencia a otra, sino también el movimiento de su centro de gravedad en referencia a las otras partes del universo. Constatamos entonces que el movimiento de este centro de gravedad es casi rectilíneo y uniforme, de conformidad con la tercera ley de Newton.

Esa es una verdad experimental, pero no puede ser invalidada por la experiencia; de hecho, ¿qué nos enseñaría un experimento más preciso? Nos enseñaría que la ley era solo casi verdadera; pero eso ya lo sabíamos.

Ahora podemos comprender cómo la experiencia ha podido servir de base para los principios de la mecánica y, sin embargo, nunca podrá entrar en contradicción con ellos.

Mecánica antropomórfica.—«Kirchhoff», se diría, «tan solo ha actuado en obediencia a la tendencia general de los matemáticos hacia el nominalismo; de esto su habilidad como físico no lo ha salvado. Quería una definición de fuerza, y tomó para ello la primera proposición que se le presentó; pero nosotros no necesitamos ninguna definición de fuerza: la idea de fuerza es primitiva, irreducible, indefinible; todos sabemos lo que es, tenemos una intuición directa de ella. Esta intuición directa proviene de la noción de esfuerzo, que nos es familiar desde la infancia».

Pero primero, aunque esta intuición directa nos dio a conocer la verdadera naturaleza de la fuerza en sí misma, sería insuficiente como fundamento para la mecánica; además, sería totalmente inútil.

Lo que importa no es saber qué es la fuerza, sino saber cómo medirla.

Todo lo que no nos enseña a medirlo es tan inútil para la mecánica como lo es, por ejemplo, la noción subjetiva de calor y frío para el físico que estudia el calor.

Esta noción subjetiva no puede traducirse a números; por lo tanto, no sirve de nada; un científico cuya piel fuera un conductor del calor absolutamente malo y que, en consecuencia, nunca hubiera sentido sensaciones de frío ni sensaciones de calor, podría leer un termómetro tan bien como cualquier otra persona, y eso le bastaría para construir toda la teoría del calor.

Ahora bien, esta noción inmediata de esfuerzo no nos sirve para medir la fuerza; es evidente, por ejemplo, que yo sentiría más fatiga al levantar un peso de cincuenta kilos que un hombre acostumbrado a cargar pesos.

Pero más que eso: esta noción de esfuerzo no nos enseña la verdadera naturaleza de la fuerza; se reduce finalmente a un recuerdo de sensaciones musculares, y difícilmente se sostendrá que el sol siente una sensación muscular cuando atrae a la tierra.

Todo lo que allí puede buscarse es un símbolo, menos preciso y menos conveniente que las flechas de los geómetras, pero igualmente distante de la realidad.

El antropomorfismo ha desempeñado un papel histórico considerable en la génesis de la mecánica; tal vez todavía proporcione a veces un símbolo que a algunas mentes les parezca conveniente; pero no puede servir como fundamento para nada de carácter verdaderamente científico o filosófico.

«La escuela del hilo».—M. Andrade, en sus Leçons de mécanique physique, ha rejuvenecido la mecánica antropomórfica.

A la escuela de mecánica a la que pertenece Kirchhoff, opone la que extrañamente llama la escuela del hilo.

Esta escuela intenta reducirlo todo a «la consideración de ciertos sistemas materiales de masa despreciable, concebidos en estado de tensión y capaces de transmitir esfuerzos considerables a cuerpos distantes, sistemas cuyo tipo ideal es el hilo».

Un hilo que transmite cualquier fuerza se alarga ligeramente bajo la acción de dicha fuerza; la dirección del hilo nos indica la dirección de la fuerza, cuya magnitud se mide mediante el alargamiento del hilo.

Podemos concebir entonces un experimento como este. Un cuerpo A está unido a un hilo; en el otro extremo del hilo actúa una fuerza cualquiera que varía hasta que el hilo adquiere un alargamiento α; se observa la aceleración del cuerpo A; se desata A y se une el cuerpo B al mismo hilo; la misma fuerza u otra fuerza actúa de nuevo, y se hace variar hasta que el hilo adquiere de nuevo el alargamiento α; se observa la aceleración del cuerpo B.

El experimento se renueva luego con ambos A y B, pero de tal manera que el hilo adquiera el alargamiento ßβ. Las cuatro aceleraciones observadas deberían ser proporcionales. Tenemos así una verificación experimental de la ley de aceleración arriba enunciada.

O aún mejor, se somete un cuerpo a la acción simultánea de varios hilos idénticos en igual tensión, y se busca mediante la experimentación cuáles deben ser las orientaciones de todos estos hilos para que el cuerpo permanezca en equilibrio. Tenemos entonces una verificación experimental de la ley de la composición de fuerzas.

Pero, al fin y al cabo, ¿qué hemos hecho? Hemos definido la fuerza a la que está somometido el hilo mediante la deformación experimentada por este hilo, lo cual es bastante razonable; además, hemos supuesto que si un cuerpo está unido a este hilo, el esfuerzo que le transmite el hilo es igual a la acción que este cuerpo ejerce sobre dicho hilo; al fin y al cabo, hemos utilizado, por tanto, el principio de la igualdad de la acción y la reacción, considerándolo, no como una verdad experimental, sino como la definición misma de fuerza.

Esta definición es tan convencional como la de Kirchhoff, pero mucho menos general.

No todas las fuerzas se transmiten mediante hilos (además, para poder compararlas, todas tendrían que transmitirse mediante hilos idénticos). Aun cuando se concediera que la tierra está unida al sol por algún hilo invisible, al menos se admitiría que no tenemos medios para medir su elongación.

Nueve veces de cada diez, en consecuencia, nuestra definición sería defectuosa; no se le podría atribuir ningún tipo de sentido, y sería necesario recurrir a la de Kirchhoff.

¿Por qué tomar entonces este rodeo? Usted admite una cierta definición de fuerza que tiene significado solo en ciertos casos particulares. En estos casos verifica por experimento que conduce a la ley de la aceleración. Sobre la fuerza de este experimento, toma entonces la ley de la aceleración como definición de la fuerza en todos los demás casos.

¿No sería más sencillo considerar la ley de la aceleración como una definición en todos los casos, y ver los experimentos en cuestión, no como verificaciones de esta ley, sino como verificaciones del principio de reacción, o como una demostración de que las deformaciones de un cuerpo elástico dependen únicamente de las fuerzas a las que dicho cuerpo está sometido?

Y esto sin tener en cuenta que las condiciones bajo las cuales vuestra definición podría ser aceptada nunca se cumplen más que de manera imperfecta, que un hilo nunca carece de masa, que nunca está exento de toda fuerza excepto la reacción de los cuerpos unidos a sus extremidades.

Las ideas de Andrade no dejan de ser muy interesantes; si no satisfacen nuestra necesidad lógica, nos hacen comprender mejor la génesis histórica de las ideas fundamentales de la mecánica.

Las reflexiones que sugieren nos muestran cómo la mente humana se ha elevado desde un antropomorfismo ingenuo hasta las concepciones actuales de la ciencia.

Vemos al principio un experimento muy particular y, en suma, bastante burdo; al final, una ley perfectamente general, perfectamente precisa, cuya certeza consideramos absoluta. Esta certeza se la hemos otorgado nosotros mismos voluntariamente, por decirlo así, al considerarla una convención.

¿Son la ley de la aceleración y la regla de la composición de fuerzas entonces meras convenciones arbitrarias?

Convenciones, sí; arbitrarias, no; lo serían si perdiéramos de vista los experimentos que llevaron a los creadores de la ciencia a adoptarlas y que, por imperfectos que sean, bastan para justificarlas. Conviene que de vez en vez nuestra atención sea devuelta al origen experimental de estas convenciones.

# CAPÍTULO VII

# Movimiento Relativo y Movimiento Absoluto

El Principio del Movimiento Relativo.—A veces se ha intentado subordinar la ley de la aceleración a un principio más general. El movimiento de cualquier sistema debe obedecer las mismas leyes, ya sea que se refiera a ejes fijos, o a ejes móviles transportados en un movimiento rectilíneo y uniforme. Este es el principio del movimiento relativo, que se nos impone por dos razones: primero, la experiencia más común lo confirma, y segundo, la hipótesis contraria resulta singularmente repugnante para la mente.

Supóngase, pues, y considérese un cuerpo sometido a una fuerza; el movimiento relativo de este cuerpo, con referencia a un observador que se mueve con una velocidad uniforme igual a la velocidad inicial del cuerpo, debe ser idéntico a lo que sería su movimiento absoluto si partiese del reposo.

Concluimos de ahí que su aceleración no puede depender de su velocidad absoluta; incluso se ha intentado deducir de esto una demostración de la ley de aceleración.

Durante mucho tiempo hubo huellas de esta demostración en los reglamentos para el grado de B. ès Sc.

Es evidente que este intento es inútil. El obstáculo que impidió que demostráramos la ley de la aceleración es que no teníamos una definición de fuerza; este obstáculo subsiste en su totalidad, ya que el principio invocado no nos ha proporcionado la definición que nos faltaba.

El principio del movimiento relativo no es menos sumamente interesante y merece ser estudiado por derecho propio. Intentemos primero enunciarlo de manera precisa.

Hemos dicho antes que las aceleraciones de los diferentes cuerpos que forman parte de un sistema aislado dependen únicamente de sus velocidades y posiciones relativas, y no de sus velocidades y posiciones absolutas, siempre que los ejes móviles a los que se refiere el movimiento relativo se muevan uniformemente en línea recta.

O, si preferimos, sus aceleraciones dependen únicamente de las diferencias de sus velocidades y las diferencias de sus coordenadas, y no de los valores absolutos de estas velocidades y coordenadas.

Si este principio es válido para las aceleraciones relativas, o más bien para las diferencias de aceleración, al combinarlo con la ley de acción deduciremos de ello que sigue siendo válido para las aceleraciones absolutas.

Queda por ver entonces cómo podemos demostrar que las diferencias de las aceleraciones dependen únicamente de las diferencias de las velocidades y de las coordenadas, o, para hablar en lenguaje matemático, que estas diferencias de coordenadas satisfacen ecuaciones diferenciales de segundo orden.

¿Puede deducirse esta demostración a partir de experimentos o de consideraciones a priori?

Recordando lo que hemos dicho antes, el lector puede responder por sí mismo.

Así enunciado, en efecto, el principio de movimiento relativo se asemeja singularmente a lo que llamé más arriba el principio generalizado de inercia; no es del todo la misma cosa, puesto que se trata de las diferencias de coordenadas y no de las coordenadas mismas. El nuevo principio nos enseña, por tanto, algo más que el viejo, pero la misma discusión es aplicable y conduciría a las mismas conclusiones; es innecesario volver sobre ella.

El argumento de Newton.—Aquí tropezamos con una cuestión muy importante y hasta un tanto desconcertante. He dicho que el principio de movimiento relativo no era para nosotros únicamente el resultado de la experiencia y que a priori toda hipótesis contraria repugnaría al espíritu.

Pero entonces, ¿por qué el principio es verdadero únicamente si el movimiento de los ejes móviles es rectilíneo y uniforme? Parece que debería imponérsenos con la misma fuerza si este movimiento es variado, o al menos si se reduce a una rotación uniforme. Ahora bien, en estos dos casos, el principio no es verdadero.

No me detendré mucho en el caso en que el movimiento de los ejes es rectilíneo sin ser uniforme; la paradoja no resiste un momento de examen. Si estoy a bordo, y si el tren, al chocar contra cualquier obstáculo, se detiene bruscamente, seré lanzado contra el asiento de en frente, aunque no haya estado sometido directamente a ninguna fuerza.

No hay nada misterioso en eso; si no he sufrido la acción de ninguna fuerza externa, el tren mismo ha experimentado un impacto externo. No puede haber nada paradójico en que el movimiento relativo de dos cuerpos sea perturbado cuando el movimiento de uno u otro es modificado por una causa externa.

Me detendré más tiempo en el caso de los movimientos relativos referidos a ejes que giran uniformemente. Si el cielo estuviera siempre cubierto de nubes, si no tuviéramos medio alguno de observar las estrellas, podríamos concluir a pesar de todo que la tierra gira; podríamos enterarnos de ello por su achatamiento o también por el experimento del péndulo de Foucault.

Y sin embargo, en este caso, ¿tendría algún sentido decir que la tierra gira? Si no hay un espacio absoluto, ¿puede uno girar sin girar con respecto a alguna otra cosa? y, por otra parte, ¿cómo podríamos admitir la conclusión de Newton y creer en el espacio absoluto?

Pero no basta con comprobar que todas las soluciones posibles nos son igualmente repugnantes; debemos analizar, en cada caso, las razones de nuestra repugnancia, para así hacer nuestra elección con inteligencia.

Se disculpará, por tanto, la larga discusión que sigue.

Reanudemos nuestra ficción: densas nubes ocultan las estrellas a los hombres, que no pueden observarlas e ignoran incluso su existencia; ¿cómo sabrán estos hombres que la tierra gira?

Aún más que nuestros antepasados, sin duda, considerarán que el suelo que los sostiene es fijo e inamovible; esperarán mucho más tiempo la llegada de un Copérnico. Pero al final el Copérnico vendría, ¿cómo?

Los estudiantes de mecánica de este mundo no se enfrentarían al principio a una contradicción absoluta. En la teoría del movimiento relativo, además de las fuerzas reales, se encuentran dos fuerzas ficticias que se denominan fuerza centrífuga ordinaria y compuesta. Nuestros científicos imaginarios podrían, por tanto, explicarlo todo considerando estas dos fuerzas como reales, y no verían en ello ninguna contradicción con el principio generalizado de inercia, pues estas fuerzas dependerían, la una de las posiciones relativas de las diversas partes del sistema, como lo hacen las atracciones reales, la otra de sus velocidades relativas, como lo hacen las fricciones reales.

Muchas dificultades, sin embargo, pronto llamarían su atención; si lograban realizar un sistema aislado, el centro de gravedad de este sistema no tendría una trayectoria casi rectilínea.

Invocarían, para explicar este hecho, las fuerzas centrífugas que considerarían reales, y que atribuirían sin duda a las acciones mutuas de los cuerpos. Solo que no verían estas fuerzas anularse a grandes distancias, es decir, a medida que el aislamiento se realizara mejor; lejos de eso; la fuerza centrífuga aumenta indefinidamente con la distancia.

Esta dificultad les parecería ya suficientemente grande; y, sin embargo, no los detendría por mucho tiempo; pronto imaginarían algún medio muy sutil, análogo a nuestro éter, en el cual todos los cuerpos estarían inmersos y que ejercería sobre ellos una acción repulsiva.

Pero esto no es todo. El espacio es simétrico y, sin embargo, las leyes del movimiento no mostrarían simetría alguna; tendrían que distinguir entre la derecha y la izquierda. Se vería, por ejemplo, que los ciclones giran siempre en el mismo sentido, mientras que, por razón de simetría, estos vientos deberían girar indiferentemente en un sentido y en el otro. Si nuestros científicos, mediante su labor, hubieran logrado hacer que su universo fuera perfectamente simétrico, esta simetría no se mantendría, aun cuando no hubiera una razón aparente por la cual debiera perturbarse en un sentido más que en el otro.

Se saldrían de la dificultad sin duda, inventarían algo que no sería más extraordinario que las esferas de vidrio de Ptolomeo, y así seguirían las cosas, acumulándose las complicaciones, hasta que el tan esperado Copérnico las barre a todas de un solo golpe, diciendo: Es mucho más sencillo suponer que la tierra gira.

Y así como nuestro Copérnico nos dijo: Es más conveniente suponer que la tierra gira, puesto que así las leyes de la astronomía se pueden expresar en un lenguaje mucho más simple; este diría: Es más conveniente suponer que la tierra gira, puesto que así las leyes de la mecánica se pueden expresar en un lenguaje mucho más simple.

Esto no impide sostener que el espacio absoluto, es decir, la marca a la cual sería necesario referir la tierra para saber si realmente se mueve, no tiene existencia objetiva.

De ahí que esta afirmación: «la tierra gira», no tenga ningún significado, ya que no puede ser verificada por ningún experimento; puesto que tal experimento, no solo no podría ser realizado ni soñado por el más audaz Julio Verne, sino que no puede concebirse sin contradicción; o más bien estas dos proposiciones: «la tierra gira», y «es más conveniente suponer que la tierra gira» tienen el mismo significado; no hay nada más en la una que en la otra.

Quizá uno no se conforme ni siquiera con eso, y encuentre ya chocante que entre todas las hipótesis, o más bien todas las convenciones que podemos hacer sobre este tema, haya una más conveniente que las demás.

Pero si se ha admitido sin dificultad cuando se trataba de las leyes de la astronomía, ¿por qué habría de chocar en lo que concierne a la mecánica?

Hemos visto que las coordenadas de los cuerpos están determinadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden, y que lo mismo ocurre con las diferencias de dichas coordenadas. Esto es lo que hemos llamado el principio generalizado de inercia y el principio de movimiento relativo.

Si las distancias de estos cuerpos estuvieran determinadas asimismo por ecuaciones de segundo orden, parecería que el espíritu debería quedar enteramente satisfecho. ¿En qué medida obtiene el espíritu esta satisfacción y por qué no se contenta con ella?

Para dar cuenta de esto, más nos vale tomar un ejemplo sencillo.

Supongo un sistema análogo a nuestro sistema solar, pero donde no se pueden percibir estrellas fijas ajenas a este sistema, de modo que los astrónomos solo puedan observar las distancias mutuas de los planetas y el sol, y no las longitudes absolutas de los planetas. Si deducimos directamente de la ley de Newton las ecuaciones diferenciales que definen la variación de estas distancias, estas ecuaciones no serán de segundo orden. Quiero decir que si, además de la ley de Newton, se conocieran los valores iniciales de estas distancias y de sus derivadas con respecto al tiempo, eso no bastaría para determinar los valores de estas mismas distancias en un instante posterior.

Aún faltaría un dato, y este dato podría ser por ejemplo lo que los astrónomos llaman la constante de las áreas.

Pero aquí pueden adoptarse dos puntos de vista diferentes; podemos distinguir dos clases de constantes. A los ojos del físico, el mundo se reduce a una serie de fenómenos, dependientes, por una parte, únicamente de los fenómenos iniciales; por otra parte, de las leyes que ligan los consecuentes a los antecedentes.

Si entonces la observación nos enseña que una cierta cantidad es una constante, tendremos la opción entre dos concepciones.

O bien debemos suponer que existe una ley que exige que esta cantidad no varíe, pero que por azahar, al principio de los tiempos, tuvo, en lugar de otro, este valor que se ha visto obligada a conservar desde entonces. Esta cantidad podría entonces denominarse una constante accidental.

O bien supondremos, por el contrario, que existe una ley de la naturaleza que impone a esta magnitud tal valor y no otro.

Tendremos entonces lo que podemos llamar una constante esencial.

Por ejemplo, en virtud de las leyes de Newton, la duración de la revolución de la tierra debe ser constante. Pero si es de 366 días siderales y algo más, y no de 300 o 400, esto es consecuencia de no sé qué azar inicial. Esta es una constante accidental.

Si, por el contrario, el exponente de la distancia que figura en la expresión de la fuerza de atracción es igual a −2 y no a −3, esto no es por azar, sino porque la ley de Newton así lo exige. Esta es una constante esencial.

No sé si esta manera de dar su parte al azar es legítima en sí misma, y si esta distinción no es un tanto artificial; lo cierto es al menos que, en tanto la naturaleza tenga secretos, esta distinción será en su aplicación extremadamente arbitraria y siempre precaria.

En cuanto a la constante areolar, estamos acostumbrados a considerarla como accidental. ¿Es seguro que nuestros astrónomos imaginarios harían lo mismo?

Si hubieran podido comparar dos sistemas solares diferentes, tendrían la idea de que esta constante puede tener varios valores diferentes; pero mi propia suposición al principio era que su sistema debía aparecer como aislado, y que no debían observar ninguna estrella ajena a él.

Bajo estas condiciones, verían una sola constante que tendría un único valor absolutamente invariable; se verían llevados sin ninguna duda a considerarla como una constante esencial.

Una palabra al paso para prever una objeción: los habitantes de este mundo imaginario no podrían observar ni definir la constante de las áreas como lo hacemos nosotros, ya que las longitudes absolutas se les escapan; eso no impediría que fuesen conducidos rápidamente a notar cierta constante que se introduciría naturalmente en sus ecuaciones y que no sería otra cosa que lo que llamamos la constante de las áreas.

Pero entonces véase lo que ocurriría. Si la constante de las áreas se considera esencial, como dependiente de una ley de la naturaleza, para calcular las distancias de los planetas en un instante cualquiera bastará con conocer los valores iniciales de estas distancias y los de sus primeras derivadas. Desde este nuevo punto de vista, las distancias quedarán determinadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden.

¿Quedaría, sin embargo, la mente de estos astrónomos completamente satisfecha?

No lo creo; primero, pronto se darían cuenta de que al diferenciar sus ecuaciones y elevar así su orden, estas ecuaciones sevolvían mucho más sencillas. Y sobre todo les llamaría la atención la dificultad que proviene de la simetría. Sería necesario suponer leyes diferentes, según que el conjunto de los planetas presentara la figura de un cierto poliedro o la del poliedro simétrico, y solo se escaparía de esta consecuencia considerando la constante de las áreas como accidental.

He tomado un ejemplo muy especial, ya que he supuesto astrónomos que no consideraban en absoluto la mecánica terrestre, y cuya visión se limitaba al sistema solar. Nuestro universo es más extenso que el de ellos, puesto que tenemos estrellas fijas, pero aun así también es limitado, y por ello podríamos razonar sobre la totalidad de nuestro universo como los astrónomos sobre su sistema solar.

Así vemos que finalmente deberíamos ser conducidos a concluir que las ecuaciones que definen las distancias son de un orden superior al segundo.

¿Por qué habríamos de extrañarnos de eso, por qué nos parece perfectamente natural que la serie de fenómenos dependa de los valores iniciales de las primeras derivadas de estas distancias, mientras dudamos en admitir que puedan depender de los valores iniciales de las segundas derivadas?

Esto solo puede deberse a los hábitos mentales creados en nosotros por el estudio constante del principio generalizado de inercia y sus consecuencias.

Los valores de las distancias en cualquier instante dependen de sus valores iniciales, de los de sus primeras derivadas y también de otra cosa. ¿Qué es esta otra cosa?

Si no queremos admitir que esto puede ser simplemente una de las derivadas segundas, solo nos queda la elección de hipótesis.

O bien puede suponerse, como se hace ordinariamente, que este algo más es la orientación absoluta del universo en el espacio, o la rapidez con que varía esta orientación; y esta suposición puede ser correcta; es ciertamente la solución más conveniente para la geometría; no es la más satisfactoria para el filósofo, porque esta orientación no existe.

O bien puede suponerse que este algo más es la posición o la velocidad de algún cuerpo invisible; esto ha sido hecho por ciertas personas que incluso lo han llamado el cuerpo alfa, aunque estamos condenados a no saber nunca nada de este cuerpo excepto su nombre.

Este es un artificio enteramente análogo al del que hablé al final del párrafo dedicado a mis reflexiones sobre el principio de inercia.

Pero, después de todo, la dificultad es artificial. Con tal de que las indicaciones futuras de nuestros instrumentos puedan depender únicamente de las indicaciones que nos han dado o nos habrían dado anteriormente, esto es todo lo que se necesita. Ahora bien, en cuanto a esto podemos estar tranquilos.

# CAPÍTULO VIII

# Energía y Termodinámica

Energética.—Las dificultades inherentes a la mecánica clásica han llevado a ciertas mentes a preferir un nuevo sistema al que llaman energética.

La energética surgió como resultado del descubrimiento del principio de la conservación de la energía. Helmholtz le dio su forma definitiva.

Comienza por definir dos cantidades que desempeñan el papel fundamental en esta teoría. Son la energía cinética, o vis viva, y la energía potencial.

Todos los cambios que los cuerpos en la naturaleza pueden experimentar están regidos por dos leyes experimentales:

1º La suma de la energía cinética y la energía potencial es constante.

Este es el principio de la conservación de la energía.

2º Si un sistema de cuerpos se encuentra en A en el tiempo t₀ y en B en el tiempo t₁, siempre pasa de la primera situación a la segunda de tal manera que el valor medio de la diferencia entre las dos clases de energía, en el intervalo de tiempo que separa las dos épocas t₀ y t₁, sea lo más pequeño posible.

Este es el principio de Hamilton, que es una de las formas del principio de mínima acción.

La teoría energética presenta las siguientes ventajas sobre la teoría clásica:

1º Es menos incompleto; es decir, el principio de Hamilton y el de la conservación de la energía nos enseñan más que los principios fundamentales de la teoría clásica, y excluyen ciertos movimientos que no se realizan en la naturaleza y que serían compatibles con la teoría clásica:

2º Nos ahorra la hipótesis de los átomos, que era casi imposible de evitar con la teoría clásica.

Pero a su vez plantea nuevas dificultades:

Las definiciones de las dos clases de energía plantearían dificultades casi tan grandes como las de la fuerza y la masa en el primer sistema. Con todo, pueden superarse más fácilmente, al menos en los casos más sencillos.

Supongamos un sistema aislado formado por un cierto número de puntos materiales; supongamos que estos puntos están sujetos a fuerzas que dependen únicamente de su posición relativa y de sus distancias mutuas, y que son independientes de sus velocidades.

En virtud del principio de la conservación de la energía, debe existir una función de las fuerzas.

En este caso sencillo, la enunciación del principio de la conservación de la energía es de extrema simplicidad. Cierta cantidad, accesible a la experiencia, debe permanecer constante. Esta cantidad es la suma de dos términos; el primero depende únicamente de la posición de los puntos materiales y es independiente de sus velocidades; el segundo es proporcional al cuadrado de dichas velocidades. Esta descomposición solo puede efectuarse de una única manera.

El primero de estos términos, al que llamaré U, será la energía potencial; el segundo, al que llamaré T, será la energía cinética.

Es verdad que si T + U es una constante, también lo es cualquier función de T + U,

Φ (T + U).

Pero esta función Φ (T + U) no será la suma de dos términos, el uno independiente de las velocidades, el otro proporcional al cuadrado de estas velocidades.

Entre las funciones que permanecen constantes no hay más que una que goza de esta propiedad, a saber, T + U (o una función lineal de T + U, lo que viene a ser lo mismo, ya que esta función lineal siempre puede reducirse a T + U por un cambio de unidad y de origen).

Esto es, pues, lo que llamaremos energía; al primer término lo llamaremos energía potencial y al segundo, energía cinética. La definición de ambas especies de energía puede, por tanto, llevarse a cabo sin ninguna ambigüedad.

Lo mismo ocurre con la definición de las masas. La energía cinética, o vis viva, se expresa de un modo muy simple con la ayuda de las masas y las velocidades relativas de todos los puntos materiales con referencia a uno de ellos.

Estas velocidades relativas son accesibles a la observación y, cuando conocemos la expresión de la energía cinética como función de dichas velocidades relativas, los coeficientes de esta expresión nos darán las masas.

Así, en este caso sencillo, las ideas fundamentales pueden definirse sin dificultad. Pero las dificultades reaparecen en los casos más complicados y, por ejemplo, si las fuerzas, en lugar de depender únicamente de las distancias, dependen también de las velocidades.

Por ejemplo, Weber supone que la acción mutua de dos moléculas eléctricas depende no solo de su distancia, sino de su velocidad y de su aceleración. Si los puntos materiales se atrajeran mutuamente según una ley análoga, U dependería de la velocidad y podría contener un término proporcional al cuadrado de la velocidad.

Entre los términos proporcionales a los cuadrados de las velocidades, ¿cómo distinguir aquellos que provienen de T o de U? En consecuencia, ¿cómo distinguir las dos partes de la energía?

Pero aún hay más; ¿cómo definir la energía misma? Ya no tenemos ninguna razón para tomar como definición T + U antes que cualquier otra función de T + U, cuando la propiedad que caracterizaba a T + U ha desaparecido, a saber, la de ser la suma de dos términos de una forma particular.

Pero esto no es todo; es necesario tener en cuenta, no solo la energía mecánica propiamente dicha, sino las otras formas de energía, calor, energía química, energía eléctrica, etc. El principio de la conservación de la energía debe escribirse:

T + U + Q = const.

donde T representaría la energía cinética sensible, U la energía potencial de posición, dependiente únicamente de la posición de los cuerpos, y Q la energía molecular interna, bajo la forma térmica, química o eléctrica.

Todo iría bien si estos tres términos fuesen absolutamente distintos, si T fuese proporcional al cuadrado de las velocidades, U independiente de estas velocidades y del estado de los cuerpos, Q independiente de las velocidades y de las posiciones de los cuerpos y dependiente únicamente de su estado interno.

La expresión para la energía solo podía resolverse de una sola manera en tres términos de esta forma.

Pero esto no es así; considérense los cuerpos electrizados; la energía electrostática debida a su acción mutua dependerá evidentemente de su carga, es decir, de su estado; pero dependerá igualmente de su posición. Si estos cuerpos están en movimiento, actuarán los unos sobre los otros electrodinámicamente y la energía electrodinámica dependerá no solo de su estado y de su posición, sino de sus velocidades.

Por consiguiente, ya no tenemos ningún medio de hacer la separación de los términos que debieran formar parte de T, de U y de Q, y de separar las tres partes de energía.

Si (T + U + Q) es constante, también lo es cualquier función Φ (T + U + Q).

Si T + U + Q fuera de la forma particular que he considerado antes, no se seguiría ninguna ambigüedad; entre las funciones Φ (T + U + Q) que permanecen constantes, solo habría una de esta forma particular, y a esa acordaría llamarla energía.

Pero como he dicho, este no es rigurosamente el caso; entre las funciones que permanecen constantes, no hay ninguna que pueda ponerse rigurosamente bajo esta forma particular; de ahí que, ¿cómo elegir entre ellas la que deba llamarse energía? Ya no tenemos nada que nos guíe en nuestra elección.

Solo nos queda una enunciación del principio de la conservación de la energía: Hay algo que permanece constante. Bajo esta forma queda a su vez fuera del alcance de la experiencia y se reduce a una especie de tautología. Es evidente que si el mundo está regido por leyes, habrá cantidades que permanecerán constantes. Al igual que las leyes de Newton, y por una razón análoga, el principio de la conservación de la energía, fundado en la experiencia, no podría ya ser invalidado por ella.

Esta discusión demuestra que al pasar del sistema clásico al energético se ha logrado un progreso; pero al mismo tiempo muestra que este progreso es insuficiente.

Otra objeción me parece aún más grave: el principio de la menor acción es aplicable a los fenómenos reversibles; pero no es en absoluto satisfactorio en lo que concierne a los fenómenos irreversibles; el intento de Helmholtz de extenderlo a esta clase de fenómenos no tuvo éxito y no podía tenerlo; a este respecto todo está por hacer.

El enunciado mismo del principio de la menor acción tiene algo que repugna a la mente.

Para ir de un punto a otro, una molécula material, sobre la que no actúa ninguna fuerza, pero obligada a moverse sobre una superficie, tomará la línea geodésica, es decir, el camino más corto.

Esta molécula parece conocer el punto hacia el cual ha de ir, prever el tiempo que tardaría en alcanzarlo por tal o cual ruta, y elegir entonces el camino más adecuado. La afirmación nos presenta la molécula, por decirlo así, como un ser vivo y libre. Claramente sería mejor reemplazarla por un enunciado menos objetable y en el que, como dirían los filósofos, las causas finales no parecieran sustituir a las causas eficientes.

Termodinámica.⁴⁴—El papel de los dos principios fundamentales de la termodinámica en todas las ramas de la filosofía natural se vuelve cada día más importante. Abandonando las ambiciosas teorías de hace cuarenta años, que estaban gravadas por hipótesis moleculares, intentamos hoy erigir sobre la termodinámica por sí sola todo el edificio de la física matemática. ¿Asegurarán los dos principios de Mayer y de Clausius cimientos lo suficientemente sólidos como para que dure algún tiempo? Nadie lo duda; pero ¿de dónde proviene esta confianza?

Un físico eminente me dijo un día à propos de la ley de los errores:

«Todo el mundo la cree firmemente, porque los matemáticos se imaginan que es un hecho de observación, y los observadores que es un teorema de matemáticas».

Durante mucho tiempo ocurrió lo mismo con el principio de la conservación de la energía. Hoy ya no es así; nadie ignora que se trata de un hecho experimental.

Pero entonces, ¿qué nos da derecho a atribuir al principio mismo más generalidad y más precisión que a los experimentos que han servido para demostrarlo? Esto equivale a preguntar si es legítimo, como se hace todos los días, generalizar los datos empíricos, y no tendré la presunción de discutir esta cuestión, después de que tantos filósofos se han esforzado en vano por resolverla.

Una cosa es cierta; si se nos negara este poder, la ciencia no podría existir o, al menos, reducida a una especie de inventario, a la constatación de hechos aislados, no tendría valor para nosotros, ya que no podría satisfacer nuestro anhelo de orden y armonía y, al mismo tiempo, sería incapaz de prever.

Como las circunstancias que han precedido a cualquier hecho probablemente no se reproducirán jamás simultáneamente, ya es necesaria una primera generalización para prever si dicho hecho se reproducirá de nuevo una vez que se haya cambiado la más mínima de estas circunstancias.

Pero toda proposición puede ser generalizada de un infinito número de maneras. Entre todas las generalizaciones posibles, debemos elegir, y sólo podemos elegir la más simple. Somos conducidos, por tanto, a actuar como si una ley simple fuera, en igualdad de condiciones, más probable que una ley complicada.

Hace medio siglo esto se confesaba abiertamente, y se proclamaba que a la naturaleza le agrada la simplicidad; desde entonces, con demasiada frecuencia nos ha desmentido. Hoy ya no confesamos esta tendencia, y solo conservamos de ella cuanto es indispensable para que la ciencia no se vuelva imposible.

Al formular una ley general, simple y precisa sobre la base de experimentos relativamente pocos y que presentan ciertas divergencias, no hemos hecho, por tanto, más que obedecer a una necesidad de la que el espíritu humano no puede liberarse.

Pero hay algo más, y por esto me detengo en el punto.

Nadie duda de que el principio de Mayer está destinado a sobrevivir a todas las leyes particulares de las que se obtuvo, así como la ley de Newton ha sobrevivido a las leyes de Kepler, de las cuales brotó, y que solo son aproximativas si se tienen en cuenta las perturbaciones.

¿Por qué ocupa este principio de este modo un lugar privilegiado entre todas las leyes físicas? Hay muchas pequeñas razones para ello.

En primer lugar, se cree que no podríamos rechazarlo ni siquiera dudar de su rigor absoluto sin admitir la posibilidad del movimiento perpetuo; por supuesto, estamos en guardia ante tal perspectiva, y nos creemos menos temerarios al afirmar el principio de Mayer que al negarlo.

Eso tal vez no sea del todo exacto; la imposibilidad del movimiento perpetuo implica la conservación de la energía solo para los fenómenos reversibles.

La imponente simplicidad del principio de Mayer contribuye asimismo a fortalecer nuestra fe.

En una ley deducida inmediatamente de la experiencia, como la de Mariotte, esta simplicidad nos parecería más bien un motivo de desconfianza; pero aquí ya no ocurre lo mismo; vemos elementos, a primera vista dispares, ordenarse de manera imprevista y formar un todo armonioso; y nos negamos a creer que una armonía imprevista pueda ser un simple efecto del azar.

Parece que nuestra conquista nos es tanto más cara cuanto más esfuerzo nos ha costado, o que estamos tanto más seguros de haber arrancado a la naturaleza su verdadero secreto cuanto más celosamente nos lo ha ocultado.

Pero esas son solo razones menores; para establecer la ley de Mayer como un principio absoluto, es necesaria una discusión más profunda.

Pero si esto se intenta, se ve que este principio absoluto ni siquiera es fácil de enunciar.

En cada caso particular se ve claramente qué es la energía y puede darse de ella al menos una definición provisional; pero es imposible encontrar una definición general para ella.

Si intentamos enunciar el principio en toda su generalidad y aplicarlo al universo, vemos que se desvanece, por decirlo así, y no queda nada más que esto:

Hay algo que permanece constante.

¿Pero tiene esto siquiera algún sentido?

En la hipótesis determinista, el estado del universo está determinado por un número extremadamente grande n de parámetros que llamaré x₁, x₂, ... x_n.

Tan pronto como se conocen los valores de estos n parámetros en un instante cualquiera, se conocen asimismo sus derivadas con respecto al tiempo y, en consecuencia, se pueden calcular los valores de estos mismos parámetros en un instante anterior o posterior. En otras palabras, estos n parámetros satisfacen n ecuaciones diferenciales de primer orden.

Estas ecuaciones admiten n − 1 integrales y, en consecuencia, hay n − 1 funciones de x₁, x₂,... x_n que permanecen constantes.

Si decimos entonces que hay algo que permanece constante, no hacemos más que pronunciar una tautología.

Incluso nos costaría decir cuál entre todas nuestras integrales debería conservar el nombre de energía.

Además, el principio de Mayer no se entiende en este sentido cuando se aplica a un sistema limitado. Se asume entonces que p de nuestros parámetros varían de manera independiente, de modo que solo tenemos n − p relaciones, generalmente lineales, entre nuestros n parámetros y sus derivadas.

Para simplificar el enunciado, supongamos que la suma del trabajo de las fuerzas exteriores es nula, así como la de las cantidades de calor cedidas al exterior. Entonces, el significado de nuestro principio será:

Existe una combinación de estas n − p relaciones cuyo primer miembro es un diferencial exacto; y anulándose este diferencial en virtud de nuestras n − p relaciones, su integral es una constante y esta integral se llama energía.

Pero ¿cómo es posible que haya varios parámetros cuyas variaciones sean independientes? Eso solo puede ocurrir bajo la influencia de fuerzas externas (aunque hayamos supuesto, por simplicidad, que la suma algebraica de los efectos de estas fuerzas es nula). De hecho, si el sistema estuviera completamente aislado de toda acción externa, los valores de nuestros n parámetros en un instante dado bastarían para determinar el estado del sistema en cualquier instante posterior, siempre que conservemos la hipótesis determinista; volvemos, por tanto, a la misma dificultad de antes.

Si el estado futuro del sistema no está enteramente determinado por su presente estado, ello se debe a que depende además del estado de los cuerpos externos al sistema. ¿Pero es entonces probable que existan entre los parámetros xi, que definen el estado del sistema, ecuaciones independientes de este estado de los cuerpos externos? y si en ciertos casos creemos poder encontrar tales ecuaciones, ¿no es ello únicamente como consecuencia de nuestra ignorancia y porque la influencia de estos cuerpos es demasiado ligera para que nuestros experimentos puedan detectarla?

Si el sistema no se considera completamente aislado, es probable que la expresión rigurosamente exacta de su energía interna dependa del estado de los cuerpos externos. Por otra parte, he supuesto anteriormente que la suma del trabajo externo era nula, y si tratamos de librarnos de esta restricción más bien artificial, el enunciado se vuelve todavía más difícil.

Para formular el principio de Mayer en un sentido absoluto, es por tanto necesario extenderlo a todo el universo, y entonces nos encontramos cara a cara con la misma dificultad que tratábamos de evitar.

En conclusión, empleando el lenguaje ordinario, el principio de la conservación de la energía solo puede tener un significado, que es el de que existe una propiedad común a todas las posibilidades; pero, según la hipótesis determinista, solo hay una única posibilidad, y entonces el principio deja de tener sentido.

Sobre la hipótesis indeterminista, por el contrario, tendría sentido, aun cuando se tomara en un sentido absoluto; aparecería como una limitación impuesta a la libertad.

Pero esta palabra me recuerda que me estoy desviando y estoy a punto de abandonar el dominio de las matemáticas y la física. Me detengo, por tanto, y destacaré de toda esta discusión una sola impresión: que la ley de Mayer es una forma lo suficientemente flexible como para que podamos poner en ella casi todo lo que queramos.

Con esto no quiero decir que no corresponda a ninguna realidad objetiva, ni que se reduzca a una mera tautología, ya que, en cada caso particular, y siempre que no se intente llevar al absoluto, tiene un significado perfectamente claro.

Esta flexibilidad es un motivo para creer en su permanencia, y como, por otra parte, desaparecerá solo para perderse en una armonía superior, podemos trabajar con confianza, apoyándonos en ella, seguros de antemano de que nuestra labor no se perderá.

Casi todo lo que acabo de decir se aplica al principio de Clausius. Lo que lo distingue es que se expresa mediante una desigualdad. Tal vez se diga que ocurre lo mismo con todas las leyes físicas, ya que su precisión siempre está limitada por los errores de observación. Pero al menos pretenden ser primeras aproximaciones, y se espera reemplazarlas poco a poco por leyes cada vez más precisas. Si, por otra parte, el principio de Clausius se reduce a una desigualdad, esto no se debe a la imperfección de nuestros medios de observación, sino a la naturaleza misma de la cuestión.

# Conclusiones generales sobre la tercera parte

Los principios de la mecánica, pues, se nos presentan bajo dos aspectos diferentes.

Por una parte, son verdades fundadas en la experiencia y verificadas de manera aproximada en lo que concierne a sistemas casi aislados.
Por otra parte, son postulados aplicables a la totalidad del universo y considerados como rigurosamente verdaderos.

Si estos postulados poseen una generalidad y una certeza de las que carecen las verdades experimentales de las que se deducen, esto se debe a que se reducen, en último análisis, a una mera convención que tenemos derecho a adoptar, porque estamos seguros de antemano de que ningún experimento podrá jamás contradecirla.

Esta convención, sin embargo, no es absolutamente arbitraria; no surge de nuestro capricho; la adoptamos porque ciertos experimentos nos han demostrado que sería conveniente.

Así se explica cómo el experimento pudo dar origen a los principios de la mecánica, y sin embargo por qué no puede der S, ROCk, or overth-irlos.

Así se explica cómo el experimento pudo dar origen a los principios de la mecánica, y sin embargo por qué no puede derribarlos.

Compárese con la geometría: Las proposiciones fundamentales de la geometría, como por ejemplo el postulado de Euclides, no son más que convenciones, y es tan absurdo preguntar si son verdaderas o falsas como preguntar si el sistema métrico es verdadero o falso.

Tan solo ocurre que estas convenciones son convenientes, y son ciertos experimentos los que nos han enseñado eso.

A primera vista, la analogía es completa; el papel del experimento parece el mismo. Uno se verá, por lo tanto, tentado a decir:

O bien la mecánica debe ser considerada como una ciencia experimental, y entonces lo mismo debe sostenerse para la geometría; o bien, por el contrario, la geometría es una ciencia deductiva, y entonces puede decirse otro tanto de la mecánica.

Una conclusión semejante sería ilegítima. Los experimentos que nos han llevado a adoptar como más convenientes las convenciones fundamentales de la geometría versan sobre objetos que no tienen nada en común con aquellos que estudia la geometría; versan sobre las propiedades de los cuerpos sólidos, sobre la propagación rectilínea de la luz. Son experimentos de mecánica, experimentos de óptica; no pueden considerarse de ningún modo como experimentos de geometría.

Y aun la razón principal por la cual nuestra geometría nos parece conveniente es que las diferentes partes de nuestro cuerpo, nuestro ojo, nuestros miembros, tienen las propiedades de los cuerpos sólidos. Por este motivo, nuestros experimentos fundamentales son por excelencia experimentos fisiológicos, que versan, no sobre el espacio que es el objeto que el geómetra debe estudiar, sino sobre su cuerpo, es decir, sobre el instrumento que debe utilizar para este estudio.

Por el contrario, las convenciones fundamentales de la mecánica, y los experimentos que nos prueban que son convenientes, versan exactamente sobre los mismos objetos o sobre objetos análogos. Los principios convencionales y generales son la generalización natural y directa de los principios experimentales y particulares.

Que no se diga que así trazo fronteras artificiales entre las ciencias; que si separo por una barrera la geometría propiamente dicha del estudio de los cuerpos sólidos, podría con igual motivo levantar otra entre la mecánica experimental y la mecánica convencional de los principios generales.

En efecto, ¿quién no ve que al separar estas dos ciencias las mutilo a ambas, y que lo que quedará de la mecánica convencional cuando sea aislada será muy poca cosa y no podrá compararse en modo alguno con ese soberbio cuerpo de doctrina llamado geometría?

Ahora se comprende por qué la enseñanza de la mecánica debe seguir siendo experimental.

Solo así puede hacernos comprender la génesis de la ciencia, y eso es indispensable para la comprensión completa de la ciencia misma.

Además, si estudiamos la mecánica, es para aplicarla; y solo podemos aplicarla si sigue siendo objetiva.

Ahora bien, como hemos visto, lo que los principios ganan en generalidad y certeza lo pierden en objetividad.

Conviene, por tanto, familiarizarse desde el principio, sobre todo, con la vertiente objetiva de los principios, y eso solo puede hacerse yendo de lo particular a lo general, en lugar de a la inversa.

Los principios son convenciones y definiciones disimuladas. Sin embargo, están extraídos de leyes experimentales; estas leyes han sido, por decirlo así, exaltadas a principios a los que nuestra mente atribuye un valor absoluto.

Algunos filósofos han generalizado demasiado; creían que los principios eran toda la ciencia y, en consecuencia, que toda la ciencia era convencional.

Esta doctrina paradójica, llamada nominalismo, no resiste el análisis.

¿Cómo puede una ley convertirse en principio? Expresaba una relación entre dos términos reales A y B. Pero no era rigurosamente verdadera, era solo aproximada.

Introducimos arbitrariamente un término intermediario C más o menos ficticio, y C es por definición aquello que tiene con A exactamente la relación expresada por la ley.

Luego nuestra ley queda dividida en un principio absoluto y riguroso que expresa la relación de A con C y una ley experimental, aproximada y sujeta a revisión, que expresa la relación de C con B.

Es evidente que, por muy lejos que se lleve esta partición, siempre quedarán algunas leyes restantes.

Entramos ahora en el dominio de las leyes propiamente dichas.