# CAPÍTULO I

# La relatividad del espacio

I

Es imposible representarse a sí mismo el espacio vacío; todos nuestros esfuerzos por imaginar un espacio puro, de donde debieran excluirse las imágenes cambiantes de los objetos materiales, solo pueden dar como resultado una representación en la que las superficies vivamente coloreadas, por ejemplo, son reemplazadas por líneas de débil coloración, y no podemos llegar hasta el final de este modo sin que todo se desvanezca y termine en la nada.

De ahí proviene la irreductible relatividad del espacio.

Quien habla del espacio absoluto emplea una frase carente de sentido.

Esta es una verdad proclamada desde hace tiempo por todos los que han reflexionado sobre la cuestión, pero que con demasiada frecuencia nos dejamos llevar al olvido.

Me encuentro en un punto determinado de París, en la plaza del Panteón por ejemplo, y digo: volveré aquí mañana. Si se me pregunta: ¿quieres decir que regresarás al mismo punto del espacio?, me sentiré tentado a responder: sí; y sin embargo me equivocaré, puesto que para mañana la tierra se habrá desplazado de aquí, llevándose consigo la plaza del Panteón, que habrá recorrido más de dos millones de kilómetros.

Y si tratara de hablar con mayor precisión, no ganaría nada, ya que nuestro globo ha recorrido estos dos millones de kilómetros en su movimiento con respecto al sol, mientras que el sol a su vez se desplaza con referencia a la Vía Láctea, mientras que la Vía Láctea misma se halla sin duda en movimiento sin que podamos percibir su velocidad.

De modo que ignoramos por completo, y siempre ignoraremos, cuánto se ha desplazado la plaza del Panteón en un día.

En suma, quería decir: Mañana volveré a ver la cúpula y el frontón del Panteón, y si no hubiera Panteón mi frase carecería de sentido y el espacio se desvanecería.

Esta es una de las formas más triviales del principio de la relatividad del espacio; pero hay otra, sobre la cual Delbeuf ha insistido particularmente.

Supongamos que durante la noche todas las dimensiones del universo se vuelven mil veces mayores: el mundo habrá permanecido semejante a sí mismo, dando a la palabra semejanza el mismo significado que en Euclides, Libro VI.

Tan solo lo que medía un metro medirá en adelante un kilómetro, lo que medía un milímetro se convertirá en un metro. La cama en la que me acuesto y mi cuerpo mismo se habrán ampliado en la misma proporción.

Cuando despierte mañana por la mañana, ¿qué sensación experimentaré ante una transformación tan asombrosa?

Pues bien, no percibiré absolutamente nada. Las mediciones más precisas serán incapaces de revelarme algo de esta inmensa convulsión, ya que las medidas que emplee habrán variado exactamente en la misma proporción que los objetos que intento medir.

En realidad, esta convulsión solo existe para quienes razonan como si el espacio fuera absoluto. Si por un momento he razonado como ellos, ha sido para poner mejor de relieve que su manera de ver implica contradicción.

De hecho, sería mejor decir que, siendo el espacio relativo, no ha sucedido absolutamente nada, lo cual explica que no hayamos percibido nada.

¿Tiene uno derecho, por lo tanto, a decir que conoce la distancia entre dos puntos? No, puesto que esta distancia podría sufrir variaciones enormes sin que pudiéramos percibirlas, siempre que las otras distancias hayan variado en la misma proporción.

Acabamos de ver que cuando digo: Estaré aquí mañana, esto no significa: Mañana estaré en el mismo punto del espacio en el que estoy hoy, sino más bien: Mañana estaré a la misma distancia del Panteón que hoy. Y vemos que esta afirmación ya no es suficiente y que debería decir: Mañana y hoy mi distancia respecto al Panteón será igual al mismo número de veces la altura de mi cuerpo.

Pero esto no es todo; he supuestamente variado las dimensiones del mundo, pero que al menos el mundo permanecía siempre semejante a sí mismo. Podríamos ir mucho más lejos, y una de las teorías más asombrosas de la física moderna nos brinda la ocasión.

Según Lorentz y Fitzgerald, todos los cuerpos arrastrados en el movimiento de la tierra sufren una deformación.

Esta deformación es, en realidad, muy leve, ya que todas las dimensiones paralelas al movimiento de la tierra disminuyen en una cienmillonésima, mientras que las dimensiones perpendiculares a este movimiento no se alteran.

Pero importa poco que sea leve; el que exista basta para la conclusión que estoy a punto de extraer.

Y además, he dicho que era leve, pero en realidad no sé nada al respecto; yo mismo he sido víctima de la tenaz ilusión que nos hace creer que concebimos un espacio absoluto; he pensado en el movimiento de la tierra en su órbita elíptica alrededor del sol, y le he atribuido una velocidad de treinta kilómetros.

Pero su velocidad real (me refiero, esta vez, no a su velocidad absoluta, que carece de sentido, sino a su velocidad con relación al éter), eso no lo sé, y no tengo medios para saberlo: es quizás 10, 100 veces mayor, y entonces la deformación será 100, 10 000 veces más.

¿Podemos mostrar esta deformación? Evidentemente no; he aquí un cubo con arista de un metro; en consecuencia del desplazamiento de la tierra es deformado, una de sus aristas, la paralela al movimiento, se vuelve más pequeña, las otras no cambian.

Si deseo asegurarme de ello con la ayuda de una barra métrica, mediré primero una de las aristas perpendiculares al movimiento y hallaré que nuestro metro patrón encaja exactamente en esta arista; y de hecho ninguna de estas dos longitudes ha cambiado, puesto que ambas son perpendiculares al movimiento.

Luego deseo medir la otra arista, la paralela al movimiento; para hacer esto desplazo mi metro y lo giro de modo que lo aplico a la arista. Pero el metro, al haber cambiado de orientación y haberse vuelto paralelo al movimiento, ha sufrido, a su vez, la deformación, de modo que aunque la arista no mida un metro de largo, encajará exactamente, no descubriré nada.

¿Preguntáis entonces de qué sirve la hipótesis de Lorentz y de Fitzgerald si ningún experimento permite su verificación?

Es mi exposición la que ha sido incompleta; solo he hablado de mediciones que pueden hacerse con un metro, pero también podemos medir una longitud por el tiempo que tarda la luz en recorrerla, a condición de que supongamos que la velocidad de la luz es constante e independiente de la dirección.

Lorentz podría haber dado cuenta de los hechos suponiendo que la velocidad de la luz es mayor en la dirección del movimiento de la tierra que en la dirección perpendicular. Prefirió suponer que la velocidad es la misma en estas diferentes direcciones, pero que los cuerpos son más pequeños en una que en la otra.

Si las superficies de onda de la luz hubiesen sufrido las mismas deformaciones que los cuerpos materiales, nunca habríamos percibido la deformación de Lorentz-Fitzgerald.

En cualquier caso, no se trata de una magnitud absoluta, sino de la medida de esta magnitud por medio de algún instrumento; este instrumento puede ser un metro, o el camino recorrido por la luz; lo único que medimos es la relación de la magnitud con el instrumento; y si esta relación se altera, no tenemos forma de saber si lo que ha cambiado es la magnitud o el instrumento.

Pero lo que deseo destacar es que en esta deformación el mundo no ha permanecido semejante a sí mismo; los cuadrados se han vuelto rectángulos, los círculos elipses, las esferas elipsoides. Y, sin embargo, no tenemos manera de saber si esta deformación es real.

Evidently one could go much further: in place of the Lorentz-Fitzgerald deformation, whose laws are particularly simple, we could imagine any deformation whatsoever. Bodies could be deformed according to any laws, as complicated as we might wish, we never should notice it provided all bodies without exception were deformed according to the same laws. In saying, all bodies without exception, I include of course our own body and the light rays emanating from different objects.

Si miramos el mundo en uno de esos espejos de forma complicada que deforman los objetos de manera extravagante, las relaciones mutuas de las diferentes partes de este mundo no se alterarían; si, de hecho, dos objetos reales se tocan, sus imágenes asimismo parecen tocarse.

Por supuesto, cuando miramos en un espejo así vemos en verdad la deformación, pero esto se debe a que el mundo real subsiste junto a su imagen deformada; y entonces, incluso si este mundo real nos estuviera oculto, hay algo que no podría ocultarse, nosotros mismos; no podríamos dejar de ver, o al menos de sentir, nuestro cuerpo y nuestras extremidades, que no han sido deformados y que continúan sirviéndonos como instrumentos de medida.

Pero si imaginamos nuestro propio cuerpo deformado del mismo modo que si se viera en el espejo, estos instrumentos de medida a su vez nos fallarán y la deformación dejará de ser perceptible.

Considérense del mismo modo dos mundos imágenes el uno del otro; a cada objeto P del mundo A corresponde en el mundo B un objeto P´, su imagen; las coordenadas de esta imagen P´ son funciones determinadas de las del objeto P; además estas funciones pueden ser cualesquiera; solo supongo que se han elegido de una vez por todas. Entre la posición de P y la de P´ hay una relación constante; cuál sea esta relación no importa; basta con que sea constante.

Bien, estos dos mundos serán indistinguibles el uno del otro. Quiero decir que el primero será para sus habitantes lo que el segundo es para los suyos. Y así será mientras los dos mundos sigan siendo ajenos el uno al otro.

Supongamos que vivimos en el mundo A, habremos construido nuestra ciencia y en particular nuestra geometría; durante este tiempo los habitantes del mundo B habrán construido una ciencia, y como su mundo es la imagen del nuestro, su geometría será también la imagen de la nuestra o, mejor dicho, será la misma.

Pero si para nosotros algún día se abre una ventana hacia el mundo B, cómo los compadeceremos:

"Pobres", diremos, "creen haber hecho una geometría, pero lo que llaman así no es más que una imagen grotesca de la nuestra; sus rectas están todas torcidas, sus círculos son abombados, sus esferas tienen irregularidades caprichosas".

Y jamás sospecharemos que ellos dicen lo mismo de nosotros, y nunca se sabrá quién tiene razón.

Vemos en cuán amplio sentido debe entenderse la relatividad del espacio; el espacio es en realidad amoroso y las cosas que en él se encuentran son las únicas que le dan forma.

¿Qué debe pensarse entonces de esa intuición directa que deberíamos tener de la línea recta o de la distancia? Tan poca intuición tenemos de la distancia en sí misma que, por la noche, como hemos dicho, una distancia podría volverse mil veces mayor sin que fuéramos capaces de percibirlo, si todas las demás distancias hubiesen sufrido la misma alteración.

Y aun en una noche el mundo B podría ser sustituido por el mundo A sin que tuviéramos manera de saberlo, y entonces las líneas rectas de ayer habrían dejado de ser rectas y nunca nos daríamos cuenta.

Una parte del espacio no es por sí misma y en el sentido absoluto de la palabra igual a otra parte del espacio; porque si lo es para nosotros, no lo sería para los habitantes del mundo B; y estos tienen tanto derecho a rechazar nuestra opinión como nosotros a condenar la suya.

He mostrado en otra parte cuáles son las consecuencias de estos hechos desde el punto de vista de la idea que debemos formarnos de la geometría no euclidiana y de otras geometrías análogas; no deseo volver sobre ello; y hoy adoptaré un punto de vista algo diferente.

II

Si esta intuición de la distancia, de la dirección, de la línea recta, si esta intuición directa del espacio, en una palabra, no existe, ¿de dónde viene nuestra creencia de que la tenemos?

Si esto no es más que una ilusión, ¿por qué es esta ilusión tan tenaz? Conviene examinar esto. Hemos dicho que no hay intuición directa del tamaño y que solo podemos llegar a la relación de esta magnitud con nuestros instrumentos de medida.

No habríamos podido, por tanto, construir el espacio si no hubiéramos tenido un instrumento para medirlo; pues bien, este instrumento al cual lo referimos todo, que utilizamos instintivamente, es nuestro propio cuerpo. Es en relación con nuestro cuerpo como situamos los objetos exteriores, y las únicas relaciones espaciales de estos objetos que podemos representar son sus relaciones con nuestro cuerpo. Es nuestro cuerpo el que nos sirve, por decirlo así, de sistema de ejes de coordenadas.

Por ejemplo, en un instante α, la presencia del objeto A se me revela por el sentido de la vista; en otro instante, β, la presencia de otro objeto, B, se me revela por otro sentido, el del oído o el del tacto, por ejemplo.

Juzgo que este objeto B ocupa el mismo lugar que el objeto A. ¿Qué significa eso?

Primeramente, eso no significa que estos dos objetos ocupen, en dos momentos diferentes, el mismo punto de un espacio absoluto, el cual, aun si existiera, escaparía a nuestro conocimiento, ya que, entre los instantes α y β, el sistema solar se ha movido y no podemos conocer su desplazamiento. Eso significa que estos dos objetos ocupan la misma posición relativa con respecto a nuestro cuerpo.

Pero aun esto, ¿qué significa? Las impresiones que nos han llegado de estos objetos han seguido caminos absolutamente diferentes, el nervio óptico para el objeto A, el nervio acústico para el objeto B. No tienen nada en común desde el punto de vista cualitativo. Las representaciones que somos capaces de hacernos de estos dos objetos son absolutamente heterogéneas, irreductibles la una a la otra.

Solo que sé que para alcanzar el objeto A no tengo más que extender el brazo derecho de cierta manera; aun cuando me abstengo de hacerlo, me represento las sensaciones musculares y otras sensaciones análogas que acompañarían a esta extensión, y esta representación está asociada a la del objeto A.

Ahora bien, sé asimismo que puedo alcanzar el objeto B extendiendo mi brazo derecho de la misma manera, una extensión acompañada por el mismo tren de sensaciones musculares. Y cuando digo que estos dos objetos ocupan el mismo lugar, no quiero decir nada más.

También sé que podría haber alcanzado el objeto A mediante otro movimiento apropiado del brazo izquierdo y me represento las sensaciones musculares que habrían acompañado a este movimiento; y mediante este mismo movimiento del brazo izquierdo, acompañado por las mismas sensaciones, también habría podido alcanzar el objeto B.

Y eso es muy importante, puesto que así puedodefenderme de los peligros que me amenazan por parte del objeto A o del objeto B.

A cada uno de los golpes con los que podemos ser golpeados, la naturaleza ha asociado una o más paradas que nos permiten protegernos.

La misma parada puede responder a varios golpes; y así es, por ejemplo, que el mismo movimiento del brazo derecho nos habría permitido protegernos en el instante α contra el objeto A y en el instante β contra el objeto B. Del mismo modo, el mismo golpe puede pararse de varias maneras, y hemos dicho, por ejemplo, que al objeto A se podía llegar indistintamente ya sea mediante cierto movimiento del brazo derecho o mediante cierto movimiento del brazo izquierdo.

Todas estas paradas no tienen nada en común excepto el hecho de desviar el mismo golpe, y esto es, y nada más, lo que se quiere decir cuando afirmamos que son movimientos que terminan en el mismo punto del espacio.

Del mismo modo, estos objetos, de los cuales decimos que ocupan el mismo punto del espacio, no tienen nada en común, excepto que la misma parada protege contra ellos.

O, si lo prefiere, imagine innumerables hilos telegráficos, unos centrípetos, otros centrífugos. Los hilos centrípetos nos advierten de los accidentes que ocurren fuera; los hilos centrífugos llevan la reparación. Las conexiones se establecen de tal manera que, cuando una corriente atraviesa un hilo centrípeto, esta actúa sobre un relé y pone así en marcha una corriente en uno de los hilos centrífugos, y las cosas están dispuestas de modo que varios hilos centrífugos puedan actuar sobre el mismo hilo centrífugo si el mismo remedio sirve para varios males, y que un hilo centrífugo pueda agitar diferentes hilos centrífugos, ya sea simultáneamente o en sustitución el uno del otro cuando el mismo mal puede ser curado por varios remedios.

Es este complejo sistema de asociaciones, es esta tabla de distribución, por decirlo así, lo que constituye toda nuestra geometría o, si se quiere, todo lo que en nuestra geometría hay de instintivo. Lo que llamamos nuestra intuición de la línea recta o de la distancia es la conciencia que tenemos de estas asociaciones y de su carácter imperioso.

Y es fácil comprender de dónde proviene este carácter imperioso mismo. Una asociación nos parecerá tanto más indestructible cuanto más antigua sea. Pero estas asociaciones no son, en su mayor parte, conquistas del individuo, puesto que su huella se observa en el recién nacido: son conquistas de la raza. La selección natural tuvo que realizar estas conquistas con tanta mayor rapidez cuanto más necesarias eran.

Por esta razón, los que de los que hablamos debieron ser de los más tempranos en el tiempo, ya que sin ellos la defensa del organismo habría sido imposible.

Desde el momento en que las células ya no estuvieron meramente yuxtapuestas, sino que fueron llamadas a prestarse ayuda mutua, fue necesario que se organizara un mecanismo análogo al que hemos descrito, para que esta ayuda no errara el camino, sino que se anticipara al peligro.

Cuando una rana es decapitada y se coloca una gota de ácido en un punto de su piel, intenta limpiar el ácido con el pie más cercano y, si este pie es amputado, lo barre con el pie del lado opuesto.

He ahí la doble parada de la que acabo de hablar, que permite combatir un mal con un segundo remedio, si el primero falla. Y es esta multiplicidad de paradas, y la coordinación resultante, lo que es el espacio.

Vemos a qué profundidades del inconsciente debemos descender para hallar los primeros vestigios de estas asociaciones espaciales, ya que solo están implicadas las partes inferiores del sistema nervioso. ¿Por qué asombrarnos entonces de la resistencia que oponemos a todo intento de disociar lo que tanto tiempo ha estado asociado?

Ahora bien, es precisamente esta resistencia la que llamamos la evidencia de las verdades geométricas; esta evidencia no es más que la repugnancia que sentimos hacia romper con hábitos muy antiguos que siempre han resultado buenos.

III

El espacio así creado es solo un pequeño espacio que no se extiende más allá de lo que mi brazo puede alcanzar; la intervención de la memoria es necesaria para hacer retroceder sus límites.

Hay puntos que permanecerán fuera de mi alcance, por mucho esfuerzo que haga por extender la mano; si estuviera sujeto al suelo como un pólipo de hidra, por ejemplo, que solo puede extender sus tentáculos, todos estos puntos estarían fuera del espacio, ya que las sensaciones que pudiéramos experimentar por la acción de los cuerpos allí situados estarían asociadas a la idea de ningún movimiento que nos permita alcanzarlos, de ninguna parada apropiada.

Estas sensaciones no nos parecerían tener ningún carácter espacial y no intentaríamos localizarlas.

Pero no estamos fijos al suelo como los animales inferiores; podemos, si el enemigo está demasiado lejos, avanzar primero hacia él y extender la mano cuando estemos suficientemente cerca. Esto sigue siendo una parada, pero una parada a larga distancia.

Por otra parte, se trata de una parada compleja, y en la representación que de ella nos hacemos entran la representación de las sensaciones musculares causadas por los movimientos de las piernas, la de las sensaciones musculares causadas por el movimiento final del brazo, la de las sensaciones de los canales semicirculares, etc.

Debemos, además, representarnos, no un complejo de sensaciones simultáneas, sino un complejo de sensaciones sucesivas, que se siguen en un orden determinado, y por esto acabo de decir que la intervención de la memoria era necesaria.

Nótese además que, para llegar al mismo punto, puedo acercarme más a la marca que debo alcanzar, de modo que tenga que estirar menos el brazo.

¿Qué más? No es una, son mil paradas las que puedo oponer al mismo peligro. Todas estas paradas están hechas de sensaciones que pueden no tener nada en común y, sin embargo, las consideramos como definitorias del mismo punto del espacio, ya que pueden responder al mismo peligro y están todas asociadas a la noción de este peligro.

Es la potencialidad de parar el mismo golpe lo que constituye la unidad de estas diferentes paradas, así como es la posibilidad de ser parado de la misma manera lo que constituye la unidad de los golpes tan diversos por su género, que pueden amenazarnos desde el mismo punto del espacio.

Es esta doble unidad la que hace la individualidad de cada punto del espacio, y, en la noción de punto, no hay nada más.

El espacio considerado antes, que podría llamarse espacio restringido, se refería a ejes coordenados ligados a mi cuerpo; estos ejes eran fijos, ya que mi cuerpo no se movía y solo se desplazaban mis miembros.

¿Cuáles son los ejes a los que referimos naturalmente el espacio extendido? es decir, el nuevo espacio que acabamos de definir.

Definimos un punto por la secuencia de movimientos que hay que realizar para alcanzarlo, partiendo de una cierta posición inicial del cuerpo. Los ejes están, por tanto, fijos a esta posición inicial del cuerpo.

Pero la posición que llamo inicial puede elegirse arbitrariamente entre todas las posiciones que mi cuerpo ha ocupado sucesivamente; si la memoria más o menos inconsciente de estas posiciones sucesivas es necesaria para la génesis de la noción de espacio, esta memoria puede remontarse más o menos lejos en el pasado.

De ahí resulta en la definición misma del espacio una cierta indeterminación, y es precisamente esta indeterminación la que constituye su relatividad.

No hay un espacio absoluto, sólo hay espacio relativo a cierta posición inicial del cuerpo. Para un ser consciente fijado al suelo como los animales inferiores, y que por consiguiente sólo conoce un espacio restringido, el espacio seguiría siendo relativo (ya que tendría referencia a su cuerpo), ¡pero este ser no sería consciente de esta relatividad, porque los ejes de referencia de este espacio restringido serían inmutables!

Sin duda, la roca a la que este ser estaría encadenado no estaría inmóvil, ya que sería arrastrada en el movimiento de nuestro planeta; para nosotros, en consecuencia, estos ejes cambiarían en cada instante; pero para él serían inalterables.

Tenemos la facultad de referir nuestro espacio extendido ora a la posición A de nuestro cuerpo, considerada como inicial, ora a la posición B, que tuvo algunos momentos después, y que somos libres de considerar a su vez como inicial; efectuamos por tanto en cada instante transformaciones inconscientes de coordenadas. Esta facultad le faltaría a nuestro ser imaginario, y por no haber viajado, creería que el espacio es absoluto.

En cada instante, su sistema de ejes se le impondría; este sistema tendría que cambiar enormemente en realidad, pero para él sería siempre el mismo, ya que sería siempre el único sistema. Muy otra cosa sucede con nosotros, que en cada instante tenemos muchos sistemas entre los cuales podemos elegir a voluntad, a condición de remontarnos mediante la memoria más o menos lejos en el pasado.

Esto no es todo; el espacio restringido no sería homogéneo; los diferentes puntos de este espacio no podrían ser considerados equivalentes, ya que a algunos solo se podría llegar a costa de los mayores esfuerzos, mientras que otros se alcanzarían fácilmente. Por el contrario, nuestro espacio extendido nos parece homogéneo, y decimos que todos sus puntos son equivalentes. ¿Qué significa eso?

Si partimos de un cierto lugar A, podemos, desde esta posición, hacer ciertos movimientos, M, caracterizados por un cierto complejo de sensaciones musculares. Pero, partiendo de otra posición, B, hacemos movimientos M´ caracterizados por las mismas sensaciones musculares.

Sea a, pues, la situación de un cierto punto del cuerpo, la punta del dedo índice de la mano derecha por ejemplo, en la posición inicial A, y b la situación de este mismo índice cuando, a partir de esta posición A, hemos hecho los movimientos M.

Después, sea a´ la situación de este índice en la posición B, y b´ su situación cuando, a partir de la posición B, hemos hecho los movimientos M´.

Bien, yo suelo decir que los puntos del espacio a y b están relacionados entre sí exactamente igual que los puntos a´ y b´, y esto simplemente significa que las dos series de movimientos M y M´ van acompañadas de las mismas sensaciones musculares. Y como soy consciente de que, al pasar de la posición A a la posición B, mi cuerpo ha permanecido capaz de los mismos movimientos, sé que hay un punto del espacio relacionado con el punto a´ exactamente igual que cualquier punto b lo es con el punto a, de modo que los dos puntos a y a´ son equivalentes.

Esto es lo que se llama la homogeneidad del espacio. Y, al mismo tiempo, esta es la razón por la cual el espacio es relativo, ya sea que sus propiedades sigan siendo las mismas al referirse a los ejes A o a los ejes B. De modo que la relatividad del espacio y su homogeneidad son una sola y misma cosa.

Ahora bien, si deseo pasar al gran espacio, que ya no sirve solo para mí, sino donde puedo alojar al universo, llego a él mediante un acto de imaginación.

Me imagino lo que sentiría un gigante que pudiera alcanzar los planetas en pocos pasos; o, si lo prefieren, lo que yo mismo sentiría en presencia de un mundo en miniatura donde estos planetas fuesen reemplazados por pequeñas bolas, mientras que sobre una de estas pequeñas bolas se moviese un liliputiense a quien yo llamaría yo mismo.

Pero este acto de imaginación me sería imposible de no haber construido previamente mi espacio restringido y mi espacio extendido para mi propio uso.

IV

¿Por qué ahora todos estos espacios tienen tres dimensiones? Volved a la «tabla de distribución» de la que hemos hablado. Tenemos por un lado la lista de los diferentes peligros posibles; designémoslos mediante A1, A2, etc.; y, por el otro, la lista de los diferentes remedios que llamaré de la misma manera B1, B2, etc. Tenemos entonces conexiones entre los pivotes de contacto o pulsadores de la primera lista y los de la segunda, de modo que cuando, por ejemplo, el anunciador del peligro A3 funciona, pondrá o podrá poner en acción el relé correspondiente a la parada B4.

Como he hablado antes de hilos centrípetos o centrífugos, temo que se vea en todo esto, no una simple comparación, sino una descripción del sistema nervioso. Tal no es mi pensamiento, y ello por varias razones:

• primero, no me permitiría emitir una opinión sobre la estructura del sistema nervioso, que no conozco, mientras que aquellos que lo han estudiado hablan solo con circunspección;
• luego porque, a pesar de mi incompetencia, sé muy bien que este esquema sería demasiado simplista;
• y finalmente porque en mi lista de paradas algunas resultarían muy complejas, pudiendo incluso, en el caso de un espacio extendido, como hemos visto más arriba, constar de muchos pasos seguidos por un movimiento del brazo.

No se trata, por tanto, de una conexión física entre dos conductores reales, sino de una asociación psicológica entre dos series de sensaciones.

Si A1 y A2, por ejemplo, están ambos asociados con la parada B1, y si A1 está asimismo asociado con la parada B2, por lo general sucederá que A2 y B2 también estarán a su vez asociados.

Si esta ley fundamental no fuera generalmente verdadera, existiría solo una inmensa confusión y no habría nada que se parezca a una concepción del espacio o a una geometría. ¿Cómo hemos definido, en efecto, un punto del espacio? Lo hemos hecho de dos maneras:

• es, por una parte, el agregado de anunciadores A en conexión con la misma parada B;
• es, por otra parte, el agregado de paradas B en conexión con el mismo anunciador A.

Si nuestra ley no fuera verdadera, diríamos que A1 y A2 corresponden al mismo punto puesto que ambos están en conexión con B1; pero asimismo diríamos que no corresponden al mismo punto, puesto que A1 estaría en conexión con B2 y no ocurriría lo mismo con A2. Esto sería una contradicción.

Pero, por otro lado, si la ley fuera rigurosa y siempre verdaderamente aplicable, el espacio sería muy diferente de lo que es. Tendríamos categorías fuertemente contrastadas entre las cuales se repartirían, por un lado, los anunciadores A, y por el otro, las réplicas B; estas categorías serían excesivamente numerosas, pero estarían enteramente separadas unas de otras.

El espacio estaría compuesto de puntos muy numerosos, pero discretos; sería discontinuo. No habría razón para ordenar estos puntos en un orden más que en otro, ni por consiguiente para atribuir al espacio tres dimensiones.

Pero no es así; permítanme retomar por un momento el lenguaje de aquellos que ya conocen la geometría; esto es de todo punto apropiado, ya que este es el lenguaje mejor comprendido por aquellos a quienes deseo hacerme comprender.

Cuando deseo parar el golpe, busco alcanzar el punto de donde proviene este golpe, pero basta con que me acerque bastante.

Entonces la parada B1 puede responder por A1 y por A2, si el punto que corresponde a B1 está suficientemente cerca tanto del que corresponde a A1 como del que corresponde a A2. Pero puede suceder que el punto correspondiente a otra parada B2 esté suficientemente cerca del punto correspondiente a A1 y no suficientemente cerca del punto correspondiente a A2; de modo que la parada B2 puede responder por A1 sin responder por A2.

Para quien aún no conoce la geometría, esto se traduce simplemente en una derogación de la ley enunciada más arriba. Y entonces las cosas sucederán así:

Dos paradas B1 y B2 estarán asociadas al mismo aviso A1 y a un gran número de avisos que agruparemos en la misma categoría que A1 y que haremos corresponder con el mismo punto del espacio.

Pero podemos encontrar avisos A2 que estarán asociados a B2 sin estar asociados a B1, y que en compensación estarán asociados a B3, el cual B3 no estaba asociado a A1, y así sucesivamente, de modo que podemos escribir la serie

B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4, donde cada término está asociado con el siguiente y el precedente, pero no con los términos ubicados a varios lugares de distancia.

Huelga añadir que cada uno de los términos de estas series no está aislado, sino que forma parte de una categoría muy numerosa de otras advertencias o de otras paradas que tienen las mismas conexiones que él, y que pueden considerarse como pertenecientes al mismo punto del espacio.

La ley fundamental, aunque admite excepciones, sigue siendo por lo tanto casi siempre verdadera. Solamente que, como consecuencia de estas excepciones, estas categorías, en lugar de estar enteramente separadas, se invaden parcialmente la una a la otra y se penetran mutuamente en cierta medida, de modo que el espacio se vuelve continuo.

Por otra parte, el orden en el que deben disponerse estas categorías ya no es arbitrario, y si nos remitimos a la serie precedente, vemos que es necesario colocar B2 entre A1 y A2 y en consecuencia entre B1 y B3, y que no podríamos, por ejemplo, colocarlo entre B3 y B4.

Existe, por tanto, un orden en el que se disponen naturalmente nuestras categorías que corresponden a los puntos del espacio, y la experiencia nos enseña que este orden se presenta bajo la forma de una tabla de triple entrada, y por esto el espacio tiene tres dimensiones.

V

De modo que la propiedad característica del espacio, la de tener tres dimensiones, es solo una propiedad de nuestra tabla de distribución, una propiedad interna de la inteligencia humana, por decirlo así. Bastaría con destruir ciertas conexiones de estas, es decir, de las asociaciones de ideas, para dar una tabla de distribución diferente, y eso podría ser suficiente para que el espacio adquiera una cuarta dimensión.

Algunos se asombrarán de semejante resultado. El mundo exterior, pensarán, debería contar para algo. Si el número de dimensiones proviene de nuestra manera de ser, podría haber seres pensantes que vivieran en nuestro mundo, pero que estuvieran hechos de otra manera que nosotros y que creerían que el espacio tiene más o menos de tres dimensiones.

¿No ha dicho M. de Cyon que los ratones japoneses, al tener solo dos pares de canales semicirculares, creen que el espacio es bidimensional? Y entonces este ser pensante, si es capaz de construir una física, ¿no haría una física de dos o de cuatro dimensiones, y que en cierto sentido seguiría siendo la misma que la nuestra, ya que sería la descripción del mismo mundo en otro idioma?

Parece en efecto que sería posible traducir nuestra física al lenguaje de la geometría de cuatro dimensiones; intentar esta traducción sería tomarse grandes molestias para poco provecho, y me limitaré a citar la mecánica de Hertz, donde tenemos algo análogo.

Sin embargo, parece que la traducción sería siempre menos simple que el texto, y que tendría siempre el aire de una traducción; que el lenguaje de tres dimensiones parece el más adecuado para la descripción de nuestro mundo, aunque esta descripción pueda hacerse rigurosamente en otro idioma.

Además, nuestra tabla de distribución no fue hecha al azar.

Hay una conexión entre la advertencia A1 y la parada B1, esta es una propiedad interna de nuestra inteligencia; pero ¿por qué esta conexión? Es porque la parada B1 proporciona los medios eficaces para guardarse del peligro A1; y esto es un hecho exterior a nosotros, esto es una propiedad del mundo exterior.

Nuestra tabla de distribución es por consiguiente solo la traducción de un agregado de hechos exteriores; si tiene tres dimensiones, se debe a que se ha adaptado a un mundo que posee ciertas propiedades; y la principal de estas propiedades es que existen sólidos naturales cuyos desplazamientos siguen sensiblemente las leyes que llamamos leyes de movimiento de los sólidos rígidos. Si, por tanto, el lenguaje de tres dimensiones es el que nos permite describir más fácilmente nuestro mundo, no debemos asombrarnos; este lenguaje está copiado de nuestra tabla de distribución; y es para poder vivir en este mundo que dicha tabla ha sido establecida.

He dicho que podríamos concebir, viviendo en nuestro mundo, seres pensantes cuya tabla de distribución fuera tetradimensional y que en consecuencia pensaran en el hiperespacio. No es seguro, sin embargo, que tales seres, admitiendo que hubieran nacido allí, pudieran vivir allí y defenderse contra los mil peligros por los que allí serían asaltados.

VI

Unas pocas observaciones para terminar.

Hay un contraste sorprendente entre la tosquedad de esta geometría primitiva, reducible a lo que llamo una tabla de distribución, y la infinita precisión de la geometría de los geómetras.

Y, sin embargo, esta nace de aquella; pero no solo de aquella; es necesario que sea fecundada por la facultad que poseemos de construir conceptos matemáticos, como el de grupo, por ejemplo; era preciso buscar entre los puros conceptos aquel que mejor se adapte a este espacio grosero cuya génesis he intentado explicar y que es común a nosotros y a los animales superiores.

La evidencia de ciertos postulados geométricos, hemos dicho, es solo nuestra repugnancia a renunciar a hábitos muy antiguos. Pero estos postulados son infinitamente precisos, mientras que estos hábitos tienen algo de esencialmente flexible.

Cuando queremos pensar, necesitamos postulados infinitamente precisos, puesto que esta es la única manera de evitar la contradicción; pero entre todos los sistemas posibles de postulados, hay algunos que nos disgusta elegir porque no están suficientemente de acuerdo con nuestros hábitos; por muy flexibles, por muy elásticos que sean, estos tienen un límite de elasticidad.

Vemos que si la geometría no es una ciencia experimental, es una ciencia nacida a propósito de la experiencia; que hemos creado el espacio que estudia, pero adaptándolo al mundo en que vivimos.

Hemos seleccionado el espacio más conveniente, pero la experiencia ha guiado nuestra elección; como esta elección ha sido inconsciente, creemos que se nos ha impuesto; unos dicen que la experiencia lo impone, otros que nacemos con nuestro espacio hecho; vemos, por las consideraciones precedentes, cuál es la parte de verdad y cuál la de error en estas dos opiniones.

En esta educación progresista cuyo resultado ha sido la construcción del espacio, es muy difícil determinar qué parte corresponde al individuo, qué parte a la raza. ¿Hasta qué punto podría uno de nosotros, transportado desde el nacimiento a un mundo completamente diferente, en el que dominaran, por ejemplo, cuerpos que se mueven de conformidad con las leyes de movimiento de los sólidos no euclidianos, renunciar al espacio ancestral para construir un espacio completamente nuevo?

La parte de la raza parece en verdad preponderante; mas si a ella le debemos el espacio rugoso, el espacio blando de que he hablado, el espacio de los animales superiores, ¿no es acaso a la experiencia inconsciente del individuo a la que debemos el espacio infinitamente preciso del geómetra?

Esta es una cuestión no fácil de resolver. Sin embargo, citamos un hecho que muestra que el espacio que nuestros antepasados nos han legado conserva aún cierta plasticidad. Algunos cazadores aprenden a disparar a los peces bajo el agua, aunque la imagen de estos peces se encuentre desviada por la refracción. Además, lo hacen instintivamente: han aprendido, por lo tanto, a modificar su viejo instinto de dirección; o, si se prefiere, a sustituir la asociación A1, B1 por otra asociación A1, B2, porque la experiencia les demostró que la primera no funcionaría.

# CAPÍTULO II

# Definiciones matemáticas y enseñanza

1. Debo hablar aquí de las definiciones generales en matemáticas; al menos ese es el título, pero me será imposible ceñirme al tema tan estrictamente como lo exigiría la regla de la unidad de acción; no podré tratarlo sin tocar algunas otras cuestiones afines, y si de este modo me veo obligado de vez en cuando a pisar los arriates floridos de la derecha o de la izquierda, les ruego que me disculpen.

¿Qué es una buena definición? Para el filósofo o el científico es una definición que se aplica a todos los objetos definidos, y solo a ellos; es la que satisface las reglas de la lógica. Pero en la enseñanza no es eso; una buena definición es aquella que comprenden los alumnos.

¿Cómo ocurre que tantos se nieguen a comprender las matemáticas?

¿No es esto acaso una paradoja? ¡He aquí!

una ciencia que apela únicamente a los principios fundamentales de la lógica, al principio de contradicción, por ejemplo, a eso que es, por así decir, el esqueleto de nuestra inteligencia, de lo cual no podemos despojarnos sin dejar de pensar, ¡y hay gente que la encuentra oscura! ¡y encima son la mayoría!

Que sean incapaces de inventar puede pasar, pero que no comprendan las demostraciones que se les muestran, que permanezcan ciegos cuando les enseñamos una luz que nos parece de una llama pura y fulgurante, eso es lo verdaderamente prodigioso.

Y, sin embargo, no hace falta una amplia experiencia con los exámenes para saber que estos ciegos no son en modo alguno seres excepcionales. Este es un problema no fácil de resolver, pero que debería atraer la atención de todos aquellos que deseen dedicarse a la enseñanza.

¿Qué es comprender? ¿Tiene esta palabra el mismo significado para todo el mundo? Comprender la demostración de un teorema, ¿consiste en examinar sucesivamente cada uno de los silogismos que lo componen y comprobar su exactitud, su conformidad con las reglas del juego? Del mismo modo, comprender una definición, ¿es simplemente reconocer que ya se conoce el significado de todos los términos empleados y comprobar que no implica ninguna contradicción?

Para algunos, sí; cuando hayan hecho esto, dirán:

Entiendo.

Para la mayoría, no. Casi todos son mucho más exigentes; desean saber no solo si todos los silogismos de una demostración son correctos, sino por qué se encadenan en este orden y no en otro. En la medida en que les parezcan engendrados por capricho y no por una inteligencia siempre consciente del fin que debe alcanzarse, no creen comprender.

Sin duda ellos mismos no tienen plena conciencia de lo que anhelan y no sabrían formular su deseo, pero si no obtienen satisfacción, sienten vagamente que algo falta.

¿Qué pasa entonces?

Al principio todavía perciben las pruebas que se ponen ante sus ojos; mas como estas están unidas solo por un hilo demasiado delgado a las que preceden y a las que siguen, pasan sin dejar ningún rastro en su cabeza; pronto se olvidan; un instante brillantes, se desvanecen rápidamente en la noche eterna.

Cuando estén más adelante, ya no verán ni siquiera esta luz efímera, puesto que los teoremas se apoyan los unos en los otros y los que necesitarían están olvidados; así es como se vuelven incapaces de comprender las matemáticas.

Esto no es siempre culpa de su maestro; a menudo su mente, que necesita percibir el hilo conductor, es demasiado perezosa para buscarlo y encontrarlo. Pero para acudir en su ayuda, primero debemos saber exactamente qué es lo que les estorba.

Otros preguntarán siempre para qué sirve; no habrán comprendido si no encuentran a su alrededor, en la práctica o en la naturaleza, la justificación de tal o cual concepto matemático.

Debajo de cada palabra quieren poner una imagen sensible; la definición debe evocar esta imagen, de modo que en cada etapa de la demostración puedan verla transformarse y evolucionar. Solo bajo esta condición comprenden y retienen.

A menudo estos se engañan a sí mismos; no escuchan el razonamiento, miran las figuras; creen haber comprendido y solo han visto.

2. ¡Cuántas tendencias distintas! ¿Debemos combatirlas?

¿Debemos utilizarlas? Y si deseamos combatirlas, ¿cuál debería ser favorecida? ¿Debemos mostrar a los contentos con la lógica pura que solo han visto un lado de la cuestión? ¿O es necesario decir a aquellos que no se conforman tan fácilmente que lo que exigen no es necesario?

En otras palabras, ¿debemos obligar a los jóvenes a cambiar la naturaleza de sus mentes? Semejante intento sería en vano; no poseemos la piedra filosofal que nos permitiría transmutar unos en otros los metales que se nos han confiado; todo lo que podemos hacer es trabajar con ellos, adaptándonos a sus propiedades.

Muchos niños son incapaces de llegar a ser matemáticos, a quienes, sin embargo, es necesario enseñarles matemáticas; y los matemáticos mismos no están todos cortados por el mismo patrón.

Para leer sus obras basta con distinguir entre ellos dos clases de espíritus: los lógicos, como Weierstrass por ejemplo; los intuitivos, como Riemann. Hay la misma diferencia entre nuestros estudiantes. Unos prefieren tratar sus problemas «por el análisis», como suelen decir; los otros, «por la geometría».

Es inútil pretender cambiar nada de eso, y además, ¿sería deseable? Es bueno que haya lógicos y que haya intuitivos; ¿quién osaría decir si prefiere que Weierstrass nunca hubiera escrito o que nunca hubiera existido un Riemann? Debemos, por tanto, resignarnos a la diversidad de mentes, o mejor aún, debemos regocijarnos en ella.

3. Puesto que la palabra entender tiene muchos significados, las definiciones que serán mejor comprendidas por unos no serán las más adecuadas para otros. Tenemos aquellas que buscan producir una imagen, y aquellas en las que nos limitamos a combinar formas vacías, perfectamente inteligibles, pero puramente inteligibles, de las que la abstracción ha despojado de toda materia.

No sé si sea necesario citar ejemplos. Citémoslos, de todos modos, y primero la definición de fracciones nos proporcionará un caso extremo.

En las escuelas primarias, para definir una fracción, se corta una manzana o un pastel; se corta mentalmente por supuesto y no en la realidad, porque no supongo que el presupuesto de la instrucción primaria permita tal prodigalidad.

En la Escuela Normal, por otra parte, o en el colegio, se dice: una fracción es la combinación de dos números enteros separados por una barra horizontal; definimos por convenciones las operaciones a las que estos símbolos pueden ser sometidos; se prueba que las reglas de estas operaciones son las mismas que al calcular con números enteros, y comprobamos finalmente que multiplicar la fracción, de acuerdo con estas reglas, por el denominador da el numerador.

Todo esto está muy bien porque nos dirigimos a jóvenes familiarizados desde hace mucho tiempo con la noción de fracciones por haber cortado manzanas u otros objetos, y cuya mente, madurada por una dura educación matemática, ha llegado poco a poco a desear una definición puramente lógica. Pero el principiante al que uno intentara dársela, ¡cuán atónito quedaría!

Tales son también las definiciones que se hallan en un libro justamente admirado y muy honrado, los Fundamentos de la geometría de Hilbert.

Véase de hecho cómo empieza: Pensamos tres sistemas de cosas que llamaremos puntos, rectas y planos. ¿Qué son estas «cosas»?

No lo sabemos, ni necesitamos saberlo; sería incluso una lástima pretender saberlo; todo lo que tenemos derecho a saber de ellos es lo que nos dicen las suposiciones; esto, por ejemplo: Dos puntos distintos determinan siempre una recta, al cual sigue esta observación: en lugar de determinar, podemos decir que los dos puntos están sobre la recta, o que la recta pasa por estos dos puntos o une los dos puntos.

Así «estar en una línea recta» se define simplemente como sinónimo de «determinar una línea recta».

He aquí un libro del que pienso mucho bien, pero que no recomendaría a un escolar. Sin embargo, podría hacerlo sin miedo, no leería gran parte de él.

He tomado ejemplos extremos y a ningún profesor se le ocurriría llegar tan lejos. Pero incluso deteniéndose antes de llegar a tales modelos, ¿no se expone ya al mismo peligro?

Supongamos que estamos en clase; el profesor dicta: la circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de un punto interior llamado centro. El buen alumno escribe esta frase en su cuaderno; el mal alumno dibuja caras; pero ninguno de los dos comprende; entonces el profesor toma la tiza y dibuja una circunferencia en la pizarra.

«¡Ah!», piensan los alumnos, «¿por qué no dijo de inmediato: una circunferencia es un anillo, lo habríamos comprendido?».

Sin duda, el profesor tiene razón. La definición de los alumnos no habría servido de nada, ya que no podría servir para ninguna demostración, y además no les daría el hábito saludable de analizar sus concepciones. Pero se les debe mostrar que no comprenden lo que creen saber, llevarlos a ser conscientes de la tosquedad de su concepción primitiva, y a desear por sí mismos que sea depurada y precisada.

4. Volveré sobre estos ejemplos; solo quería mostrarles las dos concepciones opuestas; están en violento contraste. Este contraste lo explica la historia de la ciencia. Si leemos un libro escrito hace cincuenta años, la mayor parte de los razonamientos que en él encontramos parecen carecer de rigor. Entonces se suponía que una función continua solo puede cambiar de signo anulándose; hoy lo demostramos. Se suponía que las reglas ordinarias del cálculo son aplicables a los números inconmensurables; hoy lo demostramos. Se suponían muchas otras cosas que a veces eran falsas.

Confiábamos en la intuición; pero la intuición no puede dar rigor, ni siquiera certeza; lo vemos cada vez más. Nos dice, por ejemplo, que toda curva tiene una tangente, es decir, que toda función continua tiene una derivada, y eso es falso. Y como buscábamos la certeza, tuvimos que dejarle cada vez menos espacio a la intuición.

¿Qué ha hecho necesaria esta evolución? No hemos tardado en percibir que no se podía establecer el rigor en los razonamientos si no se lo ponía primero en las definiciones.

Los objetos que ocupaban a los matemáticos estuvieron mal definidos durante mucho tiempo; creíamos conocerlos porque los representábamos con los sentidos o la imaginación; pero de ellos teníamos solo una imagen tosca y no un concepto preciso sobre el cual el razonamiento pudiera aferrarse. Es ahí donde los lógicos habrían hecho bien en dirigir sus esfuerzos.

Así, para el número incomensurable, la vaga idea de continuidad, que debemos a la intuición, se ha disuelto en un complicado sistema de desigualdades relativas a los números enteros. Así han desaparecido finalmente todas aquellas dificultades que aterrorizaban a nuestros padres cuando reflexionaban sobre los fundamentos del cálculo infinitesimal. Hoy en día solo quedan en el análisis los números enteros, o sistemas finitos o infinitos de números enteros, unidos por un plexo de igualdades y desigualdades. Las matemáticas, decimos, han sido aritmetizadas.

5. ¿Pero cree usted que las matemáticas han alcanzado el rigor absoluto sin hacer ningún sacrificio? En absoluto; lo que han ganado en rigor lo han perdido en objetividad. Es separándose de la realidad como han adquirido esta perfección de pureza. Podemos recorrer libremente todo su dominio, antes erizado de obstáculos, pero estos obstáculos no han desaparecido. Solo han sido desplazados a la frontera, y sería necesario volver a vencerlos si quisiéramos franquear dicha frontera para entrar en el dominio de lo práctico.

Teníamos una noción vaga, formada por elementos incongruentes, unos a priori, otros provenientes de experiencias más o menos digeridas; creíamos conocer, por intuición, sus principales propiedades.

Hoy rechazamos los elementos empíricos, conservando solo los a priori; una de las propiedades sirve de definición y todas las demás se deducen de ella mediante un razonamiento riguroso.

Todo esto está muy bien, pero queda por probar que esta propiedad, que se ha convertido en definición, pertenece a los objetos reales que la experiencia nos había dado a conocer y de donde extrajimos nuestra vaga noción intuitiva.

Para probarlo, sería necesario apelar a la experiencia, o hacer un esfuerzo de intuición, y si no pudiéramos probarlo, nuestros teoremas serían perfectamente rigurosos, pero perfectamente inútiles.

La lógica a veces engendra monstruos. Desde hace medio siglo vemos surgir una multitud de funciones extrañas que parecen esforzarse por parecerse lo menos posible a las funciones honestas que sirven para algún propósito.

Ya no hay continuidad, o quizás continuidad, pero sin derivadas, etc. Qué digo, desde el punto de vista lógico, son estas extrañas funciones las más generales; aquellas con las que uno tropieza sin buscarlas ya no figuran sino como casos particulares. Para las otras solo queda un rincón muy pequeño.

Hasta ahora, cuando se inventaba una nueva función, era con algún fin práctico; hoy se inventan expresamente para dejar sin validez los razonamientos de nuestros padres, y nunca se obtendrá de ellas nada más que eso.

Si la lógica fuera la única guía del maestro, sería necesario empezar por las funciones más generales, es decir, por las más estrambóticas. Es el principiante el que tendría que vérselas con este museo teratológico. Si no lo hacéis así, podrían decir los logicians, no alcanzaréis el rigor sino por etapas.

6. Sí, tal vez, pero no podemos hacer tan barata la realidad, y no me refiero solo a la realidad del mundo sensible, que sin embargo tiene su valor, puesto que es para combatir contra ella que nueve décimos de vuestros estudiantes os piden armas. Hay una realidad más sutil, que hace la vida misma de los seres matemáticos, y que es muy otra que la lógica.

Nuestro cuerpo está formado de células, y las células de átomos; ¿son acaso estas células y estos átomos toda la realidad del cuerpo humano?

La forma en que estas células están dispuestas, de donde resulta la unidad del individuo, ¿no es también una realidad y mucho más interesante?

¿Un naturalista que jamás hubiera estudiado el elefante sino en el microscopio, pensaría que conoce al animal adecuadamente?

Sucede lo mismo en las matemáticas. Cuando el lógico haya descompuesto cada demostración en una multitud de operaciones elementales, todas correctas, aún no poseerá toda la realidad; ese no sé qué que constituye la unidad de la demostración se le escapará por completo.

En los edificios levantados por nuestros maestros, ¿de qué sirve admirar la obra del albañil si no podemos comprender el plano del arquitecto? Ahora bien, la lógica pura no puede brindarnos esta apreciación del efecto total; esto debemos pedírselo a la intuición.

Tomemos por ejemplo la idea de función continua. Esta no es al principio más que una imagen sensible, una marca trazada por la tiza en el encuadre. Poco a poco se va refinando; la empleamos para construir un complicado sistema de desigualdades, que reproduce todos los rasgos de la imagen primitiva; una vez hecho todo, hemos retirado la cimbra, como tras la construcción de un arco; esta representación toscamente esbozada, soporte en adelante inútil, ha desaparecido y solo queda el edificio mismo, irreprochable a los ojos del lógico. Y sin embargo, si el profesor no recordara la imagen primitiva, si no restaurara momentáneamente la cimbra, ¿cómo podría adivinar el estudiante por qué capricho se han andamiado de este modo todas estas desigualdades unas sobre otras? La definición sería lógicamente correcta, pero no le mostraría la verdadera realidad.

7. Así que debemos volver atrás; sin duda es difícil para un maestro enseñar lo que no le satisface por completo; pero la satisfacción del maestro no es el único objetivo de la enseñanza; debemos prestar atención primero a cómo es la mente del alumno y en qué deseamos que se convierta.

Los zoólogos sostienen que el desarrollo embrionario de un animal recapitula en resumen toda la historia de sus antepasados a través del tiempo geológico. Parece que ocurre lo mismo en el desarrollo de las mentes. El maestro debe hacer que el niño recorra el sendero que pisaron sus padres; con mayor rapidez, pero sin saltarse estaciones.

Por esta razón, la historia de la ciencia debe ser nuestra primera guía.

Nuestros padres creían saber qué era una fracción, o la continuidad, o el área de una superficie curva; hemos descubierto que no lo sabían. Del mismo modo, nuestros eruditos creen saberlo cuando empiezan el estudio serio de las matemáticas.

Si sin previo aviso les digo: «No, no lo sabéis; lo que creéis comprender, no lo comprendéis; debo demostraros lo que os parece evidente», y si en la demostración me apoyo en premisas que a ellos les parecen menos evidentes que la conclusión, ¿qué pensarán los desafortunados?

Pensarán que la ciencia matemática es solo una masa arbitraria de sutilezas inútiles; o bien se sentirán disgustados con ella, o bien la jugarán como a un juego y alcanzarán un estado mental similar al de los sofistas griegos.

Más tarde, por el contrario, cuando la mente del escolar, habituada al razonamiento matemático, haya madurado con esta larga frecuentación, las dudas surgirán por sí mismas y entonces vuestra demostración será bienvenida. Ella despertará nuevas dudas, y las preguntas se le plantearán al niño sucesivamente, como se le plantearon sucesivamente a nuestros padres, hasta que solo el rigor perfecto pueda satisfacerlo.

Dudar de todo no basta, es preciso saber por qué se duda.

8. El objeto principal de la enseñanza matemática es desarrollar ciertas facultades del espíritu, y de ellas la intuición no es la menos preciosa. Por ella el mundo matemático permanece en contacto con el mundo real, y si la matemática pura pudiera prescindir de ella, siempre sería necesario recurrir a la misma para llenar el abismo que separa al símbolo de la realidad.

El práctico tendrá siempre necesidad de ella, y por cada geómetra puro debe haber cien prácticos.

El ingeniero debe recibir una educación matemática completa, ¿pero para qué le ha de servir?

Para ver los diferentes aspectos de las cosas y verlos con rapidez; no tiene tiempo de cazar ratones. Es necesario que, en los complejos objetos físicos que se le presentan, reconozca con prontitud el punto en el que las herramientas matemáticas que hemos puesto en sus manos pueden aferrarse. ¿Cómo podría hacerlo si dejáramos entre los instrumentos y los objetos el profundo abismo cavado por los lógicos?

9. Además de los ingenieros, otros sabios, menos numerosos, deben a su vez convertirse en profesores; por lo tanto, deben ir hasta el fondo mismo; un conocimiento profundo y riguroso de los primeros principios es para ellos antes que nada indispensable. Pero esto no es motivo para no cultivar en ellos la intuición; pues se harían una falsa idea de la ciencia si nunca la contemplaran más que por un solo lado, y además no podrían desarrollar en sus alumnos una cualidad que ellos mismos no poseyeran.

Para el geómetra puro mismo, esta facultad es necesaria; es mediante la lógica como se demuestra, mediante la intuición como se inventa. Saber criticar es bueno, saber crear es mejor. Sabéis cómo reconocer si una combinación es correcta; ¡qué apuro si no tenéis el arte de elegir entre todas las combinaciones posibles!

La lógica nos dice que por tal o cual camino estamos seguros de no encontrar ningún obstáculo; no dice qué camino conduce al fin. Para eso es necesario ver el fin desde lejos, y la facultad que nos enseña a ver es la intuición.

Sin ella el geómetra sería como un escritor que fuera versado en gramática pero no tuviera ideas. Ahora bien, ¿cómo podría desarrollarse esta facultad si, tan pronto como se muestra, la espantamos y la proscribimos, si aprendemos a despreciarla antes de conocer su utilidad?

Y aquí permítase un paréntesis para insistir en la importancia de los ejercicios escritos.

Las composiciones escritas tal vez no se enfatizan lo suficiente en ciertos exámenes, en la escuela politécnica, por ejemplo. Me dicen que cerrarían la puerta a muy buenos alumnos que dominan la materia, comprendiéndola a fondo, y que sin embargo son incapaces de hacer la más mínima aplicación.

Acabo de decir que la palabra comprender tiene varios sentidos: tales estudiantes solo comprenden de la primera manera, y hemos visto que eso no basta ni para hacer un ingeniero ni un geómetra. Pues bien, ya que hay que elegir, prefiero a los que comprenden por completo.

10. ¿Pero acaso el arte del razonamiento correcto no es también una cosa preciosa, que el profesor de matemáticas debe cultivar ante todo? Me cuido mucho de no olvidar eso. Debe ocupar nuestra atención y desde el principio mismo. Me afligiría ver que la geometría degenera en no sé qué taquimetría de baja categoría y de ningún modo suscribo las doctrinas extremas de ciertos Oberlehrer alemanes. Pero hay ocasiones suficientes para ejercitar a los alumnos en el razonamiento correcto en aquellas partes de las matemáticas donde los inconvenientes que he señalado no se presentan. Hay largas cadenas de teoremas donde la lógica absoluta ha reinado desde el principio mismo y, por decirlo así, con toda naturalidad, donde los primeros geómetras nos han dado modelos que debemos imitar y admirar constantemente.

Es en la exposición de los primeros principios donde es necesario evitar demasiada sutileza; allí resultaría de lo más desalentador y, además, inútil.

No podemos probarlo todo ni podemos definirlo todo; y siempre será necesario recurrir a la intuición; ¿qué importa que esto se haga un poco antes o un poco más tarde, siempre que, al utilizar correctamente las premisas que nos ha proporcionado, aprendamos a razonar sensatamente?

11. ¿Es posible satisfacer tantas condiciones opuestas? ¿Es esto posible en particular cuando se trata de dar una definición?

¿Cómo hallar un enunciado conciso que satisfaga a la vez las intransigentes reglas de la lógica, nuestro deseo de captar el lugar de la nueva noción en la totalidad de la ciencia, nuestra necesidad de pensar con imágenes?

Por lo general no se le hallará, y por eso no basta con enunciar una definición; hay que prepararla y justificarla.

¿Qué significa eso? Ya sabes que se ha dicho a menudo:

toda definición implica una suposición, puesto que afirma la existencia del objeto definido. La definición, pues, no estará justificada, desde el punto de vista puramente lógico, hasta que se haya probado que no entraña contradicción alguna, ni en los términos, ni con las verdades admitidas previamente.

Pero esto no es suficiente; se nos presenta la definición como una convención; pero la mayoría de las mentes se rebelarán si queremos imponérsela como una convención arbitraria. Solo quedarán satisfechas cuando hayáis respondido a numerosas preguntas.

Por lo general, las definiciones matemáticas, como ha demostrado M. Liard, son construcciones verdaderas edificadas por completo a partir de nociones más simples.

Pero ¿por qué ensamblar estos elementos de este modo cuando otras mil combinaciones eran posibles?

¿Es por capricho? Si no es así, ¿por qué esta combinación tenía más derecho a existir que todas las demás? ¿A qué necesidad responde?

¿Cómo se previno que desempeñaría un papel importante en el desarrollo de la ciencia, que abreviaría nuestros razonamientos y nuestros cálculos? ¿Existe en la naturaleza algún objeto familiar que sea, por decirlo así, su imagen tosca y vaga?

Esto no es todo; si respondéis a todas estas preguntas de manera satisfactoria, veremos en verdad que el recién nacido tenía derecho a ser bautizado; pero tampoco la elección de un nombre es arbitraria; es necesario explicar por qué analogías se ha sido guiado y que, si se han dado nombres análogos a cosas diferentes, estas cosas al menos difieren solo en la materia y están emparentadas en la forma; que sus propiedades son análogas y, por decirlo así, paralelas.

A este coste podemos satisfacer todas las inclinaciones. Si la afirmación es lo suficientemente correcta como para complacer al lógico, la justificación satisfará al intuitivo.

Pero aún hay un procedimiento mejor; siempre que sea posible, la justificación debe preceder a la afirmación y prepararle el terreno; uno debe verse conducido a la afirmación general mediante el estudio de algunos ejemplos particulares.

Aún otra cosa: cada una de las partes de la formulación de una definición tiene como objetivo distinguir la cosa que se va a definir de una clase de otros objetos vecinos.

La definición se comprenderá únicamente cuando hayáis mostrado, no meramente el objeto definido, sino los objetos vecinos de los cuales es adecuado distinguirlo, cuando hayáis dado a comprender la diferencia y cuando hayáis añadido explícitamente: por esto al enunciar la definición he dicho esto o aquello.

Pero es hora de dejar las generalidades y examinar cómo los principios algo abstractos que he expuesto pueden aplicarse en la aritmética, la geometría, el análisis y la mecánica.

Aritmética

12. El número entero no ha de definirse; en compensación, se definen ordinariamente las operaciones con números enteros; creo que los escolares aprenden estas definiciones de memoria y no les atribuyen ningún significado. Para ello hay dos razones: primero, se les hace aprenderlas demasiado pronto, cuando su mente aún no siente la necesidad de ellas; después, estas definiciones no son satisfactorias desde el punto de vista lógico. Una buena definición de la suma no se encuentra sencillamente porque debemos detenernos y no podemos definirlo todo. No es definir la suma decir que consiste en sumar. Todo lo que puede hacerse es partir de un cierto número de ejemplos concretos y decir: la operación que hemos realizado se llama suma.

Para la resta ocurre algo muy distinto; puede definirse lógicamente como la operación inversa de la suma; ¿pero debemos empezar de ese modo? Aquí también hay que comenzar con ejemplos, mostrar en ellos la reciprocidad de ambas operaciones; de este modo la definición quedará preparada y justificada.

Para volver a hacerlo con la multiplicación; tómese un problema particular; muédstrese que puede resolverse sumando varios números iguales; muédstrese luego que llegamos al resultado más rápidamente mediante una multiplicación, una operación que los escolares ya saben hacer de rutina y, a partir de eso, la definición lógica surgirá de manera natural.

La división se define como la operación inversa a la multiplicación; pero comience por un ejemplo tomado de la noción familiar de partición y muestre en este ejemplo que la multiplicación reproduce el dividendo.

Aún quedan las operaciones con fracciones. La única dificultad está en la multiplicación. Lo mejor es exponer primero la teoría de la proporción; solo de ella puede surgir una definición lógica; pero para hacer aceptables las definiciones que se encuentran al principio de esta teoría, es necesario prepararlas mediante numerosos ejemplos tomados de problemas clásicos de la regla de tres, cuidando de introducir datos fraccionarios.

Tampoco debemos temer familiarizar a los alumnos con la noción de proporción mediante imágenes geométricas, ya sea apelando a lo que recuerdan si ya han estudiado geometría, o recurriendo a la intuición directa si no la han estudiado, lo cual, además, los preparará para estudiarla.

Finalmente, añadiré que, tras definir la multiplicación de fracciones, es necesario justificar esta definición mostrando que es conmutativa, asociativa y distributiva, y llamando la atención de los oyentes sobre el hecho de que esto se establece para justificar la definición.

Se ve qué papel desempeñan las imágenes geométricas en todo esto; y este papel está justificado por la filosofía y la historia de la ciencia. Si la aritmética hubiera permanecido libre de toda mezcla con la geometría, solo habría conocido el número entero; es para adaptarse a las necesidades de la geometría que ha inventado cualquier otra cosa.

# Geometría

En geometría encontramos de inmediato la noción de línea recta.

¿Puede definirse la línea recta? La conocida definición de que es el camino más corto de un punto a otro difícilmente me satisface. Yo empezaría simplemente con la regla y mostraría primero al estudiante cómo se puede verificar una regla mediante el giro; esta verificación es la verdadera definición de la línea recta: la línea recta es un eje de rotación. A continuación se le debería mostrar cómo verificar la regla deslizándola, y así obtendría una de las propiedades más importantes de la línea recta.

En cuanto a esta otra propiedad de ser el camino más corto de un punto a otro, es un teorema que puede demostrarse apodícticamente, pero la demostración es demasiado delicada para encontrar lugar en la enseñanza secundaria.

Valdrá más mostrar que una regla previamente verificada encaja sobre un hilo estirado. En presencia de dificultades como estas no hay que temer multiplicar las hipótesis, jus­tificándolas mediante experimentos burdos.

Es menester conceder estas hipótesis, y si se admiten algunas más de las estrictamente necesarias, el mal no es muy grande; lo esencial es aprender a razonar sobriamente sobre las hipótesis admitidas.

El tío Sarcey, a quien le encantaba repetir, solía decir que en el teatro el espectador acepta gustoso todos los postulados que se le imponen al principio, pero una vez levantado el telón, se vuelve intransigente con la lógica.

Pues bien, ocurre exactamente lo mismo en las matemáticas.

Para el círculo, podemos empezar con el compás; los alumnos reconocerán a primera vista la curva trazada; luego hagamos observar que la distancia entre las dos puntas del instrumento permanece constante, que una de estas puntas es fija y la otra móvil, y así seremos conducidos naturalmente a la definición lógica.

La definición del plano implica un axioma y esto no es necesario ocultarlo.

Tome un tablero de dibujo y muestre que una regla en movimiento puede mantenerse constantemente en contacto completo con este plano y aun así conservar tres grados de libertad.

Compare esto con el cilindro y el cono, superficies sobre las cuales una recta aplicada conserva solo dos grados de libertad; tome luego tres tableros de dibujo; muestre primero que se deslizarán mientras permanecen aplicados el uno al otro y esto con tres grados de libertad; y finalmente, para distinguir el plano de la esfera, muestre que dos de estos tableros que se ajustan a un tercero se ajustarán entre sí.

Tal vez os sorprenda este incesante empleo de mover cosas; no se trata de un artificio burdo; es mucho más filosófico de lo que a primera vista se creería.

¿Qué es la geometría para el filósofo? Es el estudio de un grupo. ¿Y qué grupo? El de los movimientos de los cuerpos sólidos. ¿Cómo definir este grupo, pues, sin mover algunos sólidos?

¿Debemos conservar la definición clásica de las paralelas y decir que las paralelas son dos líneas rectas coplanarias que no se encuentran, por mucho que se prolonguen?

No, puesto que esta definición es negativa, puesto que es in verificable por el experimento y, en consecuencia, no puede ser considerada como un dato inmediato de la intuición.

No, sobre todo porque es totalmente ajena a la noción de grupo, a la consideración del movimiento de los cuerpos sólidos que es, como he dicho, la verdadera fuente de la geometría.

¿No sería mejor definir primero la traslación rectilínea de una figura invariable, como un movimiento en el cual todos los puntos de esta figura tienen trayectorias rectilíneas; demostrar que tal traslación es posible haciendo deslizar una escuadra sobre una regla?

A partir de esta comprobación experimental, establecida como hipótesis, sería fácil deducir la noción de paralelo y el propio postulado de Euclides.

# Mecánica

No necesito volver a la definición de velocidad, ni de aceleración, ni de otras nociones cinemáticas; estas pueden relacionarse ventajosamente con la de derivada.

Insistiré, en cambio, en las nociones dinámicas de fuerza y masa.

Me llama la atención una cosa: lo muy lejos que están los jóvenes que han recibido una educación secundaria de aplicar al mundo real las leyes mecánicas que se les han enseñado. No es solo que sean incapaces de ello; ni siquiera lo piensan. Para ellos, el mundo de la ciencia y el mundo de la realidad están separados por un muro de separación impenetrable.

Si tratamos de analizar el estado mental de nuestros hombres de ciencia, esto nos asombrará menos. ¿Cuál es para ellos la verdadera definición de fuerza?

No la que recitan, sino la que, agazapada en un rincón de su mente, la dirige desde allí por completo.

He aquí la definición:

• las fuerzas son flechas con las que se hacen paralelogramos.

Estas flechas son cosas imaginarias que no tienen nada que ver con nada existente en la naturaleza. Esto no sucedería si se les hubieran mostrado las fuerzas en la realidad antes de representarlas mediante flechas.

¿Cómo definiremos la fuerza?

Creo haber demostrado ya suficientemente que no existe una buena definición lógica. Está la definición antropomórfica, la sensación de esfuerzo muscular; esta es en verdad demasiado imprecisa y nada útil se puede extraer de ella.

He aquí cómo debemos proceder:

• primero, para dar a conocer la fuerza genérica, debemos mostrar una tras otra todas las especies de este género;
• son muy numerosas y muy diferentes;
• está la presión de los fluidos sobre el interior de los recipientes que los contienen;
• la tensión de los hilos;
• la elasticidad de un resorte;
• la gravedad actuando sobre todas las moléculas de un cuerpo;
• la fricción;
• la acción y reacción mutuas y normales de dos sólidos en contacto.

Esta es solo una definición cualitativa; es necesario aprender a medir la fuerza. Para ello, comience por mostrar que una fuerza puede ser reemplazada por otra sin destruir el equilibrio; podemos encontrar el primer ejemplo de esta sustitución en la balanza y la doble pesada de Borda.

Luego demuéstrese que un peso puede ser reemplazado, no solo por otro peso, sino por una fuerza de naturaleza diferente; por ejemplo, el freno de Prony permite reemplazar el peso por fricción.

De todo esto surge la noción de la equivalencia de dos fuerzas.

Se debe definir la dirección de una fuerza. Si una fuerza F es equivalente a otra fuerza F´ aplicada al cuerpo considerado mediante una cuerda tensa, de modo que F pueda ser reemplazada por F´ sin afectar el equilibrio, entonces el punto de unión de la cuerda será por definición el punto de aplicación de la fuerza F´ y el de la fuerza equivalente F; la dirección de la cuerda será la dirección de la fuerza F´ y la de la fuerza equivalente F.

De ahí, pasa a la comparación de la magnitud de las fuerzas.

Si una fuerza puede reemplazar a otras dos con la misma dirección, es igual a su suma; demuéstrese por ejemplo que un peso de 20 gramos puede reemplazar a dos pesos de 10 gramos.

¿Es esto suficiente? Todavía no. Ahora sabemos cómo comparar la intensidad de dos fuerzas que tienen la misma dirección y el mismo punto de aplicación; debemos aprender a hacerlo cuando las direcciones son diferentes. Para ello, imaginemos una cuerda tensada por un peso y que pasa por una polea; diremos que la tensión de los dos ramales de la cuerda es la misma e igual al peso de la tensión.

Esta definición nuestra nos permite comparar las tensiones de los dos trozos de nuestra cuerda y, utilizando las definiciones precedentes, comparar dos fuerzas cualesquiera que tengan la misma dirección que estos dos trozos.

Debe justificarse demostrando que la tensión del último trozo de la cuerda sigue siendo la misma para un mismo peso tensor, cualesquiera que sean el número y la disposición de las poleas de reflexión. Aún falta por completar demostrando que esto solo es cierto si las poleas carecen de fricción.

Una vez dueños de estas definiciones, hay que demostrar que el punto de aplicación, la dirección y la intensidad bastan para determinar una fuerza; que dos fuerzas para las cuales estos tres elementos son los mismos son siempre equivalentes y pueden siempre ser reemplazadas la una por la otra, ya sea en equilibrio o en movimiento, y esto cualesquiera que sean las otras fuerzas que actúen.

Debe demostrarse que dos fuerzas concurrentes pueden sustituirse siempre por una única resultante; y que dicha resultante permanece invariable, tanto si el cuerpo se encuentra en reposo como en movimiento, y cualesquiera que sean las demás fuerzas que se le apliquen.

Finalmente debe demostrarse que las fuerzas así definidas satisfacen el principio de la igualdad de la acción y la reacción.

Es el experimento, y solo el experimento, el que puede enseñarnos todo eso. Bastará citar ciertos experimentos comunes, que los eruditos realizan a diario sin sospecharlo, y realizar ante ellos unos cuantos experimentos, sencillos y bien elegidos.

Es tras haber pasado por todos estos meandros cuando se pueden representar las fuerzas mediante flechas, y aun desearía que en el desarrollo de los razonamientos se volviera de tiempo en tiempo del símbolo a la realidad.

Por ejemplo, no sería difícil ilustrar el paralelogramo de fuerzas con la ayuda de un aparato formado por tres hilos, que pasaran por poleas, tensados por pesos y en equilibrio mientras tiran del mismo punto.

Conociendo la fuerza, es fácil definir la masa; esta vez la definición debe tomarse prestada de la dinámica; no hay manera de hacer otra cosa, ya que el fin que se persigue es dar a entender la distinción entre masa y peso. Aquí también, la definición debe ser introducida mediante experimentos; existe de hecho una máquina que parece hecha expresamente para mostrar qué es la masa, la máquina de Atwood; recuérdense también las leyes de la caída de los cuerpos, que la aceleración de la gravedad es la misma para los cuerpos pesados que para los ligeros, y que varía con la latitud, etc.

Ahora bien, si me decís que todos los métodos que ensalzo se aplican desde hace tiempo en las escuelas, me alegraré por ello más de lo que me sorprenderé.

Sé que, en general, nuestra enseñanza matemática es buena. No deseo que se la trastorne; eso incluso me entristecería. Solo deseo mejoras de progreso lento.

Esta enseñanza no debe someterse a bruscas oscilaciones bajo el soplo caprichoso de modas efímeras. En tales tempestades, su alto valor educativo no tardaría en naufragar.

Una buena y sólida lógica debe seguir siendo su base. La definición por el ejemplo es siempre necesaria, pero debe preparar el camino para la definición lógica, no reemplazarla; debe, al menos, hacerla deseable, en los casos en que la verdadera definición lógica solo pueda darse con ventaja en la enseñanza superior.

Compréndase que lo que aquí he dicho no implica renunciar a lo que he escrito en otros lugares. A menudo he tenido ocasión de criticar ciertas definiciones que hoy en día enaltezco. Estas críticas siguen siendo totalmente válidas. Estas definiciones solo pueden ser provisorias. Pero es a través de ellas por donde debemos pasar.

CAPÍTULO III

# Matemáticas y Lógica

# Introducción

¿Puede reducirse las matemáticas a la lógica sin tener que apelar a principios peculiares de las matemáticas? Hay toda una escuela, abundante en ardor y llena de fe, que se esfuerza por demostrarlo. Tienen su propio lenguaje especial, que carece de palabras, usando sólo signos. Este lenguaje sólo lo entienden los iniciados, de modo que los profanos se inclinan a inclinarse ante las tajantes afirmaciones de los adeptos. Tal vez no sea inútil examinar estas afirmaciones de cerca, para ver si justifican el tono perentorio con el que se presentan.

Pero para aclarar la naturaleza de la cuestión, es necesario entrar en ciertos detalles históricos y, en particular, recordar el carácter de las obras de Cantor.

Desde hacía mucho tiempo se había introducido en las matemáticas la noción de infinito; pero este infinito era lo que los filósofos llaman un devenir. El infinito matemático era tan solo una cantidad capaz de aumentar más allá de todo límite: era una cantidad variable de la cual no se podía decir que había pasado todos los límites, sino tan solo que podía pasarlos.

Cantor ha emprendido la tarea de introducir en las matemáticas un infinito actual, es decir, una cantidad que no solo es capaz de sobrepasar todos los límites, sino que se considera que ya los ha sobrepasado. Se ha planteado preguntas como las siguientes:

• ¿Hay más puntos en el espacio que números enteros?
• ¿Hay más puntos en el espacio que puntos en un plano?, etc.

Y luego el número de los números enteros, el de los puntos del espacio, etc., constituye lo que él llama un número cardinal transfinito, es decir, un número cardinal mayor que todos los números cardinales ordinarios. Y se ha ocupado en comparar estos números cardinales transfinitos. Al ordenar de manera adecuada los elementos de un agregado que contiene una infinidad de ellos, también ha ideado lo que llama números ordinales transfinitos, en los cuales no me detendré.

Muchos matemáticos siguieron su ejemplo y plantearon una serie de preguntas de este tipo. Se familiarizaron tanto con los números transfinitos que han llegado a hacer que la teoría de los números finitos dependa de la de los números cardinales de Cantor.

A sus ojos, para enseñar la aritmética de una manera verdaderamente lógica, se debería comenzar por establecer las propiedades generales de los números cardinales transfinitos, para luego distinguir entre ellos una clase muy pequeña, la de los números enteros ordinarios. Gracias a este rodeo, uno podría tener éxito en demostrar todas las proposiciones relativas a esta pequeña clase (es decir, toda nuestra aritmética y nuestra álgebra) sin utilizar ningún principio ajeno a la lógica.

Este método es evidentemente contrario a toda psicología sana; ciertamente no es de este modo como procedió la mente humana en la construcción de las matemáticas; por lo que sus autores no sueñan, creo, con introducirlo en la enseñanza secundaria. Pero, ¿es al menos lógico, o, mejor dicho, es correcto? Se puede dudar.

Los geómetras que lo han empleado son, sin embargo, muy numerosos.

Han acumulado fórmulas y han pensado en librarse de lo que no era pura lógica escribiendo memorias donde las fórmulas ya no alternan con el discurso explicativo como en los libros de matemáticas ordinarias, sino donde este discurso ha desaparecido por completo.

Desafortunadamente han llegado a resultados contradictorios, a lo que se llama las antinomias cantorianas, sobre las cuales tendremos ocasión de volver.

Estas contradicciones no los han desanimado y han tratado de modificar sus reglas para hacer desaparecer aquellas que ya se habían manifestado, sin estar seguros, a pesar de todo, de que no surgieran otras nuevas.

Es hora de administrar justicia sobre estas exageraciones. No tengo la esperanza de convencerlos; pues han vivido demasiado tiempo en esta atmósfera. Además, cuando una de sus demostraciones ha sido refutada, tenemos la seguridad de verla resucitar con alteraciones insignificantes, y algunas de ellas ya han renacido varias veces de sus cenizas.

Tal era hace mucho tiempo la hidra de Lerna con sus famosas cabezas que siempre volvían a crecer. Hércules salió adelante, ya que su hidra solo tenía nueve cabezas, u once; pero aquí hay demasiadas, algunas en Inglaterra, algunas en Alemania, en Italia, en Francia, y tendría que renunciar a la lucha.

Así que apelo únicamente a los hombres de buen juicio y sin prejuicios.

I

En estos últimos años se han publicado numerosas obras sobre matemáticas puras y filosofía de las matemáticas, que intentan separar y aislar los elementos lógicos del razonamiento matemático. Estas obras han sido analizadas y expuestas muy claramente por el señor Couturat en un libro titulado: Los principios de las matemáticas.

Para el Sr. Couturat, las nuevas obras, y en particular las de Russell y Peano, han zanjado por fin la controversia, pendiente durante tanto tiempo entre Leibniz y Kant. Han demostrado que no existen juicios sintéticos a priori (la frase de Kant para designar los juicios que no pueden ser demostrados analíticamente, ni reducidos a identidades, ni establecidos experimentalmente), han demostrado que las matemáticas son enteramente reducibles a la lógica y que la intuición no desempeña aquí ningún papel.

Esto es lo que M. Couturat ha expuesto en la obra que acaba de citar; esto lo dice aún más explícitamente en su discurso del jubileo de Kant, de modo que oí susurrar a mi vecino: «Ya veo que este es el centenario de la muerte de Kant».

¿Podemos suscribir esta condena sin apelación? Creo que no, e intentaré mostrar por qué.

II

Lo que nos impresiona primero en la nueva matemática es su carácter puramente formal:

«Pensamos», dice Hilbert, «tres clases de cosas, a las que llamaremos puntos, rectas y planos. Convenimos en que una recta esté determinada por dos puntos, y que en lugar de decir que esta recta está determinada por estos dos puntos, podemos decir que pasa por estos dos puntos, o que estos dos puntos están situados sobre esta recta».

Qué sean estas cosas, no solo no lo sabemos, sino que no debemos procurar saberlo. No tenemos necesidad de ello, y quien no hubiera visto jamás ni punto, ni recta, ni plano, podría geómetras tan bien como nosotros.

A fin de que la frase pasar por, o la frase estar situado sobre, no evoquen en nosotros ninguna imagen, la primera es simplemente un sinónimo de estar determinado y la segunda de determinar.

Así, entiéndase bien, para demostrar un teorema no es necesario ni siquiera ventajoso saber lo que significa. El geómetra podría ser reemplazado por el piano lógico imaginado por Stanley Jevons; o, si se prefiere, podría imaginarse una máquina en la que las hipótesis se introdujeran por un extremo, mientras que los teoremas salieran por el otro, como la legendaria máquina de Chicago por donde los cerdos entran vivos y salen convertidos en jamones y salchichas. Tampoco más que estas máquinas necesita el matemático saber lo que hace.

No reprocho a Hilbert este carácter formal de su geometría. Es el camino que debía seguir, dado el problema que se había planteado. Deseaba reducir al mínimo el número de los supuestos fundamentales de la geometría y enumerarlos por completo; ahora bien, en los razonamientos donde nuestra mente permanece activa, en aquellos donde la intuición aún desempeña un papel, en los razonamientos vivos, por así decirlo, es difícil no introducir un supuesto o un postulado que pase desapercibido. Por consiguiente, solo después de haber reducido todos los razonamientos geométricos a una forma puramente mecánica podía estar seguro de haber logrado su designio y terminado su obra.

Lo que Hilbert hizo por la geometría, otros han intentado hacerlo por la aritmética y el análisis. Aun si hubieran tenido pleno éxito, ¿estarían los kantianos definitivamente condenados al silencio? Tal vez no, pues al reducir el pensamiento matemático a una forma vacía, ciertamente se le mutila.

Aun admitiendo que estuviera establecido que todos los teoremas pudieran deducirse mediante procedimientos puramente analíticos, por simples combinaciones lógicas de un número finito de supuestos, y que estos supuestos no fueran sino convenciones; el filósofo aún tendría el derecho de investigar los orígenes de estas convenciones, de ver por qué se las ha juzgado preferibles a las convenciones contrarias.

Y luego, la corrección lógica de los razonamientos que conducen desde las suposiciones hasta los teoremas no es lo único que debe ocuparnos. Las reglas de la lógica perfecta, ¿son el todo de las matemáticas? Tanto valdría decir que el arte entero de jugar al ajedrez se reduce a las reglas de los movimientos de las piezas. De entre todas las construcciones que pueden levantarse con los materiales proporcionados por la lógica, hay que hacer una elección; el verdadero geómetra hace esta elección con juicio porque se guía por un instinto seguro, o por cierta vaga conciencia de no sé qué geometría más profunda y más oculta, que es la única que da valor al edificio construido.

Buscar el origen de este instinto, estudiar las leyes de esta geometría profunda, sentida, no enunciada, sería también una bella ocupación para los filósofos que no quieren que la lógica lo sea todo.

Pero no es desde este punto de vista en el que deseo colocarme, no es así como quiero considerar la cuestión. El instinto mencionado es necesario para el inventor, pero parecería a primera vista que podemos prescindir de él al estudiar la ciencia una vez creada.

Pues bien, lo que deseo investigar es si es verdad que, admitidos los principios de la lógica, se pueden, no digo descubrir, sino demostrar, todas las verdades matemáticas sin hacer una nueva apelación a la intuición.

III

Una vez le dije que no a esta pregunta:¹²¹² ¿debe nuestra respuesta ser modificada por los trabajos recientes? Mi negativa se debió a que «el principio de inducción completa» me pareció a la vez necesario para el matemático e irreductible a la lógica.

El enunciado de este principio es el siguiente: «Si una propiedad es verdadera para el número 1, y si establecemos que es verdadera para n + 1 siempre que lo sea para n, será verdadera para todos los números enteros».

Veo en él el razonamiento matemático por excelencia. No quise decir, como se ha supuesto, que todos los razonamientos matemáticos puedan reducirse a una aplicación de este principio. Si examinamos estos razonamientos de cerca, veríamos aplicados en ellos muchos otros principios análogos, que presentan las mismas características esenciales. En esta categoría de principios, el de la inducción completa es tan solo el más simple de todos y por eso lo he elegido como tipo.

El nombre actual, principio de inducción completa, no está justificado. Este modo de razonamiento no deja de ser una verdadera inducción matemática que se diferencia de la inducción ordinaria únicamente por su certeza.

IV

Definiciones y suposiciones

La existencia de tales principios constituye una dificultad para los lógicos intransigentes; ¿cómo pretenden salir de ella? El principio de inducción completa, dicen, no es una suposición propiamente dicha ni un juicio sintético a priori; es sencillamente la definición de número entero. Es, por tanto, una simple convención. Para discutir esta forma de ver el asunto, debemos examinar de cerca las relaciones entre las definiciones y las suposiciones.

Volvamos primero a un artículo de M. Couturat sobre las definiciones matemáticas aparecido en l'Enseignement mathématique, una revista publicada por Gauthier-Villars y por Georg en Ginebra. Veremos en él una distinción entre la definición directa y la definición por postulados.

"La definición por postulados —dice M. Couturat— no se aplica a una sola noción, sino a un sistema de nociones; consiste en enumerar las relaciones fundamentales que las unen y que nos permiten demostrar todas sus otras propiedades; estas relaciones son postulados."

Si previamente se han definido todas estas nociones a excepción de una, esta última será por definición la cosa que verifica estos postulados.

Así, ciertas suposiciones indemostrables de las matemáticas no serían más que definiciones disimuladas. Este punto de vista es a menudo legítimo; y yo mismo lo he admitido respecto, por ejemplo, al postulado de Euclides.

Las demás suposiciones de la geometría no bastan para definir completamente la distancia; la distancia será entonces, por definición, entre todas las magnitudes que satisfacen estas otras suposiciones, aquella que es tal que hace verdadero el postulado de Euclides.

Pues los lógicos dan por supuesto para el principio de inducción completa lo que yo admito para el postulado de Euclides; quieren ver en él tan solo una definición disfrazada.

Pero para concederles este derecho, deben cumplirse dos condiciones.

Stuart Mill dice que toda definición implica una suposición, aquella por la cual se afirma la existencia del objeto definido. Según esto, ya no sería la suposición la que podría ser una definición disimulada, sino que sería, por el contrario, la definición la que sería una suposición disimulada. Stuart Mill entendía la palabra existencia en un sentido material y empírico; quería decir que al definir el círculo afirmamos que hay cosas redondas en la naturaleza.

Bajo esta forma, su opinión es inadmisible. Las matemáticas son independientes de la existencia de objetos materiales; en matemáticas la palabra existir solo puede tener un significado, significa libre de contradicción.

Así rectificado, el pensamiento de Stuart Mill se vuelve exacto; al definir una cosa, afirmamos que la definición no implica contradicción.

Si, por tanto, tenemos un sistema de postulados, y si podemos demostrar que estos postulados no implican contradicción, tendremos el derecho de considerarlos como representativos de la definición de una de las nociones que en ellos intervienen. Si no podemos demostrar esto, debe admitirse sin demostración, y eso será entonces una suposición; de modo que, buscando la definición bajo el postulado, hallaríamos la suposición bajo la definición.

Por lo general, para demostrar que una definición no implica contradicción, procedemos por ejemplo; intentamos poner un ejemplo de algo que satisfaga la definición.

Tómese el caso de una definición por postulados; deseamos definir una noción A, y decimos que, por definición, un A es cualquier cosa para la cual ciertos postulados son verdaderos.

Si podemos demostrar directamente que todos estos postulados son verdaderos para un cierto objeto B, la definición quedará justificada; el objeto B será un ejemplo de un A. Estaremos seguros de que los postulados no son contradictorios, ya que hay casos en los que todos son verdaderos al mismo tiempo.

Pero una demostración tan directa mediante el ejemplo no siempre es posible.

Para establecer que los postulados no implican contradicción, es necesario entonces considerar todas las proposiciones deducibles de estos postulados considerados como premisas, y mostrar que, entre estas proposiciones, ninguna pareja es contradictoria.

Si estas proposiciones son finitas en número, una verificación directa es posible. Este caso es poco frecuente y carece de interés.

Si estas proposiciones son infinitas en número, esta verificación directa ya no puede realizarse; es necesario recurrir a procedimientos en los que, por lo general, hay que invocar precisamente este principio de inducción completa que es exactamente lo que debe demostrarse.

Esta es la explicación de una de las condiciones que los lógicos debían satisfacer, y más adelante veremos que no lo han hecho.

V

Hay un segundo. Cuando damos una definición, es para usarla.

Hallaremos, pues, en la continuación de la exposición, la palabra definida; ¿tenemos derecho a afirmar, de la cosa representada por esta palabra, el postulado que ha servido para la definición?

Sí, evidentemente, si la palabra ha conservado su significado, si no le atribuimos implícitamente un significado diferente. Ahora bien, esto es lo que a veces sucede y por lo general es difícil de percibir; es necesario ver cómo esta palabra entra en nuestro discurso, y si la puerta por la cual ha entrado no implica en realidad una definición distinta de la enunciada.

Esta dificultad se presenta en todas las aplicaciones de las matemáticas.

A la noción matemática se le ha dado una definición muy refinada y muy rigurosa; y para el matemático puro toda duda ha desaparecido; pero si se quiere aplicarla a las ciencias físicas por ejemplo, ya no se trata de esta noción pura, sino de un objeto concreto que a menudo es solo una imagen burda de ella.

Decir que este objeto satisface, al menos aproximadamente, la definición, es enunciar una nueva verdad, que solo la experiencia puede poner fuera de duda, y que ya no tiene el carácter de un postulado convencional.

Pero sin salir de las puras matemáticas, también nos encontramos con la misma dificultad.

Das una definición sutil de los números; luego, una vez dada esta definición, no vuelves a pensar en ella; porque, en realidad, no es ella la que te ha enseñado lo que es el número; hace mucho tiempo que lo sabías, y cuando la palabra número se encuentra más adelante bajo tu pluma, le das el mismo sentido que el primer advenedizo.

Para saber cuál es este significado y si es el mismo en esta o aquella frase, es necesario ver cómo has sido llevado a hablar del número y a introducir esta palabra en estas dos frases. No me explayaré por el momento sobre este punto, porque tendremos ocasión de volver a él.

Consideremos, pues, una palabra de la cual hemos dado explícitamente una definición A; después, en el discurso, hacemos un uso de ella que presupone implícitamente otra definición B. Es posible que estas dos definiciones designen la misma cosa. Pero que esto sea así es una nueva verdad que debe ser demostrada o admitida como un supuesto independiente.

Veremos más adelante que los lógicos no han cumplido la segunda condición mejor que la primera.

VI

Las definiciones de número son muy numerosas y muy diversas; renuncio a enumerar siquiera los nombres de sus autores.

No debemos asombrarnos de que haya tantas. Si una de ellas fuera satisfactoria, no se daría ninguna nueva. Si cada nuevo filósofo que se ha ocupado de esta cuestión ha creído que debía inventar otra, ha sido porque no estaba satisfecho con las de sus predecesores, y no estaba satisfecho con ellas porque creía ver una petitio principii.

Siempre he sentido, al leer los escritos dedicados a este problema, una profunda sensación de malestar; siempre esperaba tropezar con una petición de principio, y cuando no la percibía de inmediato, temía haberla pasado por alto.

Esto se debe a que es imposible dar una definición sin usar una oración, y difícil hacer una oración sin usar un numeral, o al menos la palabra varios, o al menos una palabra en plural. Y entonces la pendiente es resbaladiza y en cada instante se corre el riesgo de caer en una petitio principii.

Dedicaré mi atención en lo que sigue únicamente a aquellas de estas definiciones en las que la petitio principii está más hábilmente oculta.

VII

Pasigrafía

El lenguaje simbólico creado por Peano desempeña un papel muy importante en estas nuevas investigaciones. Es capaz de prestar cierto servicio, pero creo que el Sr. Couturat le atribuye una importancia exagerada que debe de asombrar al propio Peano.

El elemento esencial de este idioma son ciertos signos algebraicos que representan las diferentes conjunciones: si, y, o, por lo tanto.

Que estos signos puedan ser convenientes es posible; pero que estén destinados a revolucionar toda la filosofía es otra cuestión. Es difícil admitir que la palabra si adquiera, al escribirse C, una virtud que no tenía cuando se escribía si.

Esta invención de Peano se llamó primero pasigrafía, es decir, el arte de escribir un tratado de matemáticas sin usar una sola palabra del lenguaje ordinario. Este nombre definía su alcance con mucha exactitud.

Más tarde, fue elevada a una dignidad más eminente al conferirle el título de logística. Esta palabra se emplea, según parece, en la Academia Militar, para designar el arte del intendente de caballería, el arte de marchar y acantonar tropas; pero aquí no hay que temer ninguna confusión, y se ve enseguida que este nuevo nombre implica el propósito de revolucionar la lógica.

Podemos ver el nuevo método en acción en una memoria matemática de Burali-Forti, titulada: Una Questione sui numeri transfiniti, inserta en el Volumen XI de los Rendiconti del circolo matematico di Palermo.

Comienzo por decir que esta memoria es muy interesante, y el tomarla aquí como ejemplo se debe precisamente a que es la más importante de todas las escritas en la nueva lengua. Además, los no iniciados pueden leerla, gracias a una traducción interlineal en italiano.

Lo que constituye la importancia de esta memoria es que ha dado el primer ejemplo de aquellas antinomias que se encuentran en el estudio de los números transfinitos y que desde hace algunos años son la desesperación de los matemáticos. El objetivo, dice Burali-Forti, de esta nota es mostrar que puede haber dos números transfinitos (ordinales), a y b, tales que a no es ni igual, ni mayor, ni menor que b.

Para tranquilizar al lector, para comprender las consideraciones que siguen, no tiene necesidad de saber qué es un número ordinal transfinito.

Ahora bien, Cantor había demostrado con precisión que entre dos números transfinitos, al igual que entre dos finitos, no puede haber otra relación que la de igualdad o la de desigualdad en uno u otro sentido.

Pero no es de la sustancia de esta memoria de lo que deseo hablar aquí; eso me llevaría demasiado lejos de mi tema; solo deseo considerar la forma, y preguntarme si esta forma le hace ganar mucho en rigor y si compensa así los esfuerzos que impone al escritor y al lector.

Primero vemos a Burali-Forti definir el número 1 de la siguiente manera:

una definición eminentemente apropiada para dar una idea del número 1 a personas que nunca habían oído hablar de él.

Entiendo demasiado mal a Peano como para atreverme a arriesgar una crítica, pero aun así temo que esta definición contenga una petitio principii, considerando que veo la cifra 1 en el primer miembro y $U_n$ en letras en el segundo.

Sea como fuere, Burali-Forti parte de esta definición y, tras un breve cálculo, llega a la ecuación:

lo cual nos dice que Uno es un número.

Y ya que estamos en estas definiciones de los primeros números, recordamos que el señor Couturat también ha definido el 0 y el 1.

¿Qué es el cero? Es el número de elementos de la clase nula.

¿Y qué es la clase nula? Es aquella que no contiene ningún elemento.

Definir cero por nulo, y nulo por no, es en realidad abusar de la riqueza del lenguaje; por lo que el señor Couturat ha introducido una mejora en su definición, escribiendo:

lo cual significa: cero es el número de cosas que satisfacen una condición nunca satisfecha.

Pero como nunca significa en ningún caso, no veo que el progreso sea gran cosa.

Me apresuro a añadir que la definición que el Sr. Couturat da del número 1 es más satisfactoria.

Uno, dice en esencia, es el número de elementos en una clase en la que dos elementos cualesquiera son idénticos.

Es más satisfactorio, he dicho, en este sentido de que para definir el 1 no emplea la palabra uno; en compensación, emplea la palabra dos. Pero temo que, si se le preguntara qué es el dos, el señor Couturat tendría que usar la palabra uno.

VIII

Pero para volver a la memoria de Burali-Forti; he dicho que sus conclusiones están en abierta oposición a las de Cantor. Ahora bien, un día M. Hadamard vino a verme y la conversación recayó sobre esta antinomia.

—El razonamiento de Burali-Forti —dije—, ¿no te parece irreprorochable?

—No; y por el contrario no encuentro nada que objetar al de Cantor. Además, Burali-Forti no tenía derecho a hablar del agregado de todos los números ordinales.

"Perdón, él tenía razón, puesto que siempre podía poner

Me gustaría saber quién iba a impedírselo, ¿y puede decirse que una cosa no existe cuando la hemos llamado Ω?

Fue en vano, no pude convencerlo (lo cual, por otra parte, habría sido triste, ya que él tenía razón). ¿Fue simplemente porque no hablo el peanio con la suficiente elocuencia? Tal vez; pero, entre nosotros, no lo creo.

Así, a pesar de todo este aparato pasigráfico, la cuestión no quedó resuelta. ¿Qué prueba eso? En la medida en que se trata únicamente de probar que uno es un número, la pasigrafía basta, pero si se presenta una dificultad, si hay una antinomia que resolver, la pasigrafía se vuelve impotente.

# CAPÍTULO IV

# Las nuevas lógicas

I

# La lógica de Russell

Para justificar sus pretensiones, la lógica tuvo que cambiar. Hemos visto surgir nuevas lógicas, de las cuales la más interesante es la de Russell.

Parece que no tuviera nada nuevo que escribir acerca de la lógica formal, como si Aristóteles hubiera tocado fondo en ese terreno. Pero el dominio que Russell atribuye a la lógica es infinitamente más extenso que el de la lógica clásica, y ha expuesto sobre el tema puntos de vista originales y a veces muy bien fundamentados.

En primer lugar, Russell subordina la lógica de clases a la de las proposiciones, mientras que la lógica de Aristóteles era ante todo la lógica de clases y tomaba como punto de partida la relación de sujeto a predicado. El silogismo clásico, «Sócrates es un hombre», etc., cede el paso al silogismo hipotético: «Si A es verdadero, B es verdadero; ahora bien, si B es verdadero, C es verdadero», etc. Y esta es, a mi juicio, una idea muy feliz, porque el silogismo clásico es fácil de reconducir al silogismo hipotético, mientras que la transformación inversa no carece de dificultad.

Y luego esto no es todo. La lógica de las proposiciones de Russell es el estudio de las leyes de combinación de las conjunciones si, y, o, y la negación no.

Al añadir aquí otras dos conjunciones, and (y) y or (o), Russell abre a la lógica un nuevo campo. Los símbolos and, or siguen las mismas leyes que los dos signos × y +, es decir, las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. Así, and representa la multiplicación lógica, mientras que or representa la suma lógica. Esto también es muy interesante.

Russell llega a la conclusión de que cualquier proposición falsa implica todas las demás proposiciones, verdaderas o falsas. M. Couturat dice que esta conclusión parecerá al principio paradójica. Sin embargo, basta con haber corregido una mala tesis en matemáticas para reconocer cuán en lo cierto está Russell. Al candidato le cuesta a menudo mucho esfuerzo obtener la primera ecuación falsa; pero, una vez obtenida, ya no es más que un juego para él acumular los resultados más sorprendentes, algunos de los cuales incluso pueden ser verdaderos.

II

Vemos cuán más rica es la nueva lógica que la lógica clásica; los símbolos se multiplican y permiten combinaciones variadas que ya no están limitadas en número. ¿Tiene uno derecho a dar esta extensión al sentido de la palabra lógica? Sería inútil examinar esta cuestión y buscar con Russell una mera disputa sobre palabras. Concededle lo que pide; pero no os asombréis si ciertas verdades declaradas irreducibles a la lógica en el viejo sentido de la palabra se encuentran ahora reducibles a la lógica en el nuevo sentido, —algo muy diferente.

Se ha introducido un gran número de nociones nuevas, y estas no son simplemente combinaciones de las antiguas. Russell lo sabe, y no solo al principio del primer capítulo, «La lógica de las proposiciones», sino al principio del segundo y del tercero, «La lógica de las clases» y «La lógica de las relaciones», introduce nuevas palabras que declara indefinibles.

Y esto no es todo; asimismo introduce principios que declara indemostrables. Pero estos principios indemostrables son apelaciones a la intuición, juicios sintéticos a priori. Los consideramos intuitivos cuando los encontramos más o menos explícitamente enunciados en los tratados matemáticos; ¿han cambiado de carácter porque el significado de la palabra lógica se haya ampliado y ahora los encontremos en un libro titulado Tratado de lógica?

No han cambiado de naturaleza; solo han cambiado de sitio.

III

¿Podrían considerarse estos principios como definiciones disfrazadas?

Sería entonces necesario disponer de algún modo de demostrar que no implican contradicción alguna. Sería necesario establecer que, por muy lejos que se siguiera la serie de deducciones, uno nunca se vería expuesto a contradecirse a sí mismo.

Podríamos intentar razonar del siguiente modo: Podemos verificar que las operaciones de la nueva lógica aplicadas a premisas exentas de contradicción sólo pueden dar consecuencias igualmente exentas de contradicción. Si, por tanto, tras n operaciones no hemos encontrado contradicción, no la encontraremos tras n + 1. Así pues, es imposible que haya un momento en el que la contradicción comience, lo cual demuestra que nunca la encontraremos. ¿Tenemos derecho a razonar de esta manera? No, porque esto equivaldría a hacer uso de la inducción completa; y, recordemos, aún no conocemos el principio de inducción completa.

No tenemos, por tanto, el derecho de considerar estos supuestos como definiciones disimuladas y solo nos queda un recurso: admitir un nuevo acto de intuición para cada uno de ellos. Además, creo que este es efectivamente el pensamiento de Russell y del Sr. Couturat.

Así cada una de las nueve nociones indefinibles y de las veinte proposiciones indemonstrables (creo que si fuera yo el que contara, habría encontrado algunas más) que son el fundamento de la nueva lógica, la lógica en sentido amplio, presupone un acto nuevo e independiente de nuestra intuición y (¿por qué no decirlo?) un verdadero juicio sintético a priori.

Sobre este punto todos parecen estar de acuerdo, pero lo que Russell afirma, y lo que me parece dudoso, es que después de estos llamamientos a la intuición, ahí quede la cosa; no necesitamos hacer otros y podemos construir todas las matemáticas sin la intervención de ningún elemento nuevo.

IV

M. Couturat a menudo repite que esta nueva lógica es totalmente independiente de la idea de número. No me divertiré contando cuántos adjetivos numerales contiene su exposición, tanto cardinales como ordinales, o adjetivos indefinidos como varios.

Podemos citar, sin embargo, algunos ejemplos:

"El producto lógico de dos o más proposiciones es....";

"Todas las proposiciones solo son capaces de dos valores, verdadero y falso";

"El producto relativo de dos relaciones es una relación";

"Existe una relación entre dos términos", etc., etc.

A veces este inconveniente no es inevitable, pero a veces también es esencial. Una relación es incomprensible sin dos términos; es imposible tener la intuición de la relación sin tener al mismo tiempo la de sus dos términos, y sin advertir que son dos, porque, si la relación ha de ser concebible, es necesario que haya dos y solo dos.

V

Aritmética

Llego a lo que el Sr. Couturat llama la teoría ordinal, que es el fundamento de la aritmética propiamente dicha. El Sr. Couturat comienza enunciando los cinco postulados de Peano, que son independientes, como han demostrado Peano y Padoa.

1. El cero es un número entero.

2. Cero no es el sucesor de ningún entero.

3. El sucesor de un entero es un entero.

A esto sería conveniente añadir,

Todo entero tiene un sucesor.

4. Dos enteros son iguales si sus sucesores lo son.

La quinta suposición es el principio de inducción completa.

M. Couturat considera estas presuposiciones como definiciones disimuladas; constituyen la definición por postulados del cero, del sucesor y del entero.

Pero hemos visto que, para que una definición por postulados sea aceptable, debemos poder demostrar que no implica contradicción.

¿Es este el caso aquí? En absoluto.

La demostración no puede hacerse mediante el ejemplo. No podemos tomar una parte de los números enteros, por ejemplo los tres primeros, y demostrar que satisfacen la definición.

Si tomo la serie 0, 1, 2, veo que cumple las hipótesis 1, 2, 4 y 5; pero para satisfacer la hipótesis 3 sigue siendo necesario que 3 sea un número entero, y en consecuencia que la serie 0, 1, 2, 3 cumpla las hipótesis; podríamos demostrar que satisface las hipótesis 1, 2, 4, 5, pero la hipótesis 3 requiere además que 4 sea un número entero y que la serie 0, 1, 2, 3, 4 cumpla las hipótesis, y así sucesivamente.

Por consiguiente, es imposible demostrar las suposiciones para enteros determinados sin demostrarlas para todos; debemos renunciar a la demostración por ejemplo.

Es necesario, pues, extraer todas las consecuencias de nuestros supuestos y ver si no contienen contradicción alguna.

Si estas consecuencias fueran finitas en número, esto sería fácil; pero son infinitas en número; son la totalidad de las matemáticas, o al menos de toda la aritmética.

¿Qué hay que hacer entonces? Tal vez, en sentido estricto, podríamos repetir el razonamiento del número III.

Pero como hemos dicho, este razonamiento es una inducción completa, y es precisamente el principio de inducción completa cuya justificación sería la cuestión en debate.

VI

# La lógica de Hilbert

Llego ahora a la obra fundamental de Hilbert, que comunicó al Congreso de Matemáticos de Heidelberg, y de la cual apareció una traducción francesa a cargo de M. Pierre Boutroux en l'Enseignement mathématique, mientras que una traducción inglesa debida a Halsted apareció en The Monist.¹³¹³

En este trabajo, que encierra profundos pensamientos, el propósito del autor es análogo al de Russell, pero en muchos puntos se aparta de su predecesor.

«Pero —dice (Monist, p. 340)—, al considerarlo atentamente, nos percatamos de que en la exposición habitual de las leyes de la lógica ya se emplean ciertos conceptos fundamentales de la aritmética; por ejemplo, el concepto de agregado y, en parte, también el concepto de número.

"Caemos así en un círculo vicioso y por consiguiente para evitar paradojas es necesario un desarrollo parcialmente simultáneo de las leyes de la lógica y de la aritmética."

Hemos visto más arriba que lo que dice Hilbert sobre los principios de la lógica en la exposición usual se aplica asimismo a la lógica de Russell.

Así pues, para Russell la lógica es anterior a la aritmética; para Hilbert son «simultáneas».

Más adelante hallaremos otras diferencias aún mayores, pero las señalaremos a medida que avancemos. Prefiero seguir paso a paso el desarrollo del pensamiento de Hilbert, citando textualmente los pasajes más importantes.

"Tomemos como base de nuestra consideración, ante todo, un objeto-pensamiento 1 (uno)" (p. 341). Obsérvese que al hacerlo no implicamos en modo alguno la noción de número, porque se entiende que el 1 es aquí solo un símbolo y que no buscamos en absoluto conocer su significado. "La toma de esta cosa junto consigo misma respectivamente dos, tres o más veces...". Ah! esta vez ya no es lo mismo; si introducimos las palabras "dos", "tres" y, sobre todo, "más", "varios", introducimos la noción de número; y entonces la definición de número entero finito que encontraremos más adelante llegará demasiado tarde. Nuestro autor fue demasiado circunspecto como para no percibir esta petición de principio. Así que al final de su obra intenta proceder a una labor de puro parcheo.

Hilbert introduce entonces dos objetos simples, 1 y =, y considera todas las combinaciones de estos dos objetos, todas las combinaciones de sus combinaciones, etcétera. Huelga decir que debemos olvidar el significado ordinario de estos dos signos y no atribuirles ninguno.

Después separa estas combinaciones en dos clases, la clase de lo existente y la clase de lo no existente, y hasta nueva orden esta separación es enteramente arbitraria. Toda afirmación nos dice que cierta combinación pertenece a la clase de lo existente; toda negación nos dice que cierta combinación pertenece a la clase de lo no existente.

VII

Notemos ahora una diferencia de la más alta importancia. Para Russell cualquier objeto en absoluto, al que designa por x, es un objeto absolutamente indeterminado y sobre el cual no supone nada; para Hilbert es una de las combinaciones formadas con los símbolos 1 y =; él no podría concebir la introducción de otra cosa que no sean combinaciones de objetos ya definidos. Además, Hilbert formula su pensamiento de la manera más nítida, y creo que debo reproducir in extenso su afirmación (p. 348):

"En los supuestos, los arbitrarios (como equivalentes al concepto «cada» y «todos» en la lógica habitual) representan solo aquellos objetos del pensamiento y sus combinaciones mutuas, que en esta etapa se establecen como fundamentales o han de ser definidos nuevamente. Por tanto, en la deducción de inferencias a partir de los supuestos, los arbitrarios que aparecen en los supuestos solo pueden ser reemplazados por tales objetos del pensamiento y sus combinaciones.

También debemos recordar debidamente que, mediante la sobreañadidura y la consagración como fundamental de una nueva cosa-pensamiento, las suposiciones precedentes experimentan una ampliación de su validez, y cuando es necesario, deben ser sometidas a un cambio en conformidad con el sentido.

El contraste con el punto de vista de Russell es completo. Para este filósofo podemos sustituir x no solo por objetos ya conocidos, sino por cualquier cosa.

Russell es fiel a su punto de vista, que es el de la comprensión.

Parte de la idea general del ser, y la enriquece cada vez más a la vez que la restringe, añadiendo nuevas cualidades. Hilbert, por el contrario, solo reconoce como seres posibles las combinaciones de objetos ya conocidos; de modo que (atendiendo a un solo lado de su pensamiento) podríamos decir que adopta el punto de vista de la extensión.

VIII

Continuemos con la exposición de las ideas de Hilbert. Él introduce dos supuestos que enuncia en su lenguaje simbólico, pero que significan, en el lenguaje de los no iniciados, que toda cantidad es igual a sí misma y que toda operación realizada sobre dos cantidades idénticas da resultados idénticos.

Así expuestos, resultan evidentes, pero presentarlos así sería tergiversar el pensamiento de Hilbert. Para él, las matemáticas deben combinar únicamente símbolos puros, y un verdadero matemático debe razonar sobre ellos sin ideas preconcebidas acerca de su significado. Así pues, sus supuestos no son para él lo que son para la gente común.

Él los considera como representando la definición por postulados del símbolo (=) hasta entonces desprovisto de toda significación. Pero para justificar esta definición debemos mostrar que estas dos suposiciones no conducen a ninguna contradicción. Para ello, Hilbert empleó el razonamiento de nuestro número III, sin parecer advertir que está utilizando la inducción completa.

IX

El final de las memorias de Hilbert es del todo enigmático y no insistiré en él. Las contradicciones se acumulan; sentimos que el autor es confusamente consciente de la petición de principio que ha cometido, y que busca en vano parchar los agujeros de su argumento.

En el punto de demostrar que la definición del número entero mediante el supuesto de la inducción completa no implica contradicción, Hilbert se retira como se retiraron Russell y Couturat, porque la dificultad es demasiado grande.

X

# Geometría

La geometría, dice M. Couturat, es un vasto cuerpo de doctrina en el cual no interviene el principio de inducción completa. Eso es verdad hasta cierto punto; no podemos decir que esté totalmente ausente, pero interviene muy levemente. Si nos remitimos a la Geometría Racional del Dr. Halsted (Nueva York, John Wiley and Sons, 1904), construida de acuerdo con los principios de Hilbert, vemos que el principio de inducción interviene por primera vez en la página 114 (a menos que haya incurrido en un descuido, lo cual es muy posible).¹⁴¹⁴

Así la geometría, que hace pocos años parecía el dominio donde el reinado de la intuición era indiscutible, es hoy el reino donde los lógicos parecen triunfar. Nada podría medir mejor la importancia de los trabajos geométricos de Hilbert y la profunda huella que han dejado en nuestras concepciones.

Pero no os dejéis engañar. ¿Cuál es, después de todo, el teorema fundamental de la geometría? Es que las suposiciones de la geometría no implican contradicción alguna, y esto no podemos probarlo sin el principio de inducción.

¿Cómo demuestra Hilbert este punto esencial? Apoyándose en el análisis y a través de él en la aritmética y a través de ella en el principio de inducción.

Y si alguna vez se inventa otra demostración, aún será necesario apoyarse en este principio, puesto que las consecuencias posibles de los supuestos, de los cuales es necesario mostrar que no son contradictorios, son infinitas en número.

XI

Conclusión

Nuestra conclusión directa es que el principio de inducción no puede considerarse como la definición disfrazada del mundo entero.

He aquí tres verdades:

• (1) El principio de inducción completa;
• (2) el postulado de Euclides;
• (3) la ley física según la cual el fósforo se funde a 44° (citada por el Sr. Le Roy).

Se dice que estas son tres definiciones disfrazadas:

• la primera, la del número entero;
• la segunda, la de la línea recta;
• la tercera, la del fósforo.

Lo concedo para el segundo; no lo admito para los otros dos.

Debo explicar la razón de esta aparente incoherencia.

Primero, hemos visto que una definición solo es aceptable a condición de que no implique ninguna contradicción. Hemos demostrado asimismo que para la primera definición esta demostración es imposible; por otra parte, acabamos de recordar que para la segunda Hilbert ha dado una demostración completa.

En cuanto al tercero, evidentemente no implica contradicción. ¿Significa esto que la definición garantiza, como debiera, la existencia del objeto definido?

Ya no nos encontramos aquí en las ciencias matemáticas, sino en las físicas, y la palabra existencia ya no tiene el mismo significado. Ya no significa ausencia de contradicción; significa existencia objetiva.

Ya ves una primera razón para la distinción que hice entre los tres casos; hay una segunda. En las aplicaciones que debemos hacer de estos tres conceptos, ¿se nos presentan como definidos por estos tres postulados?

Las posibles aplicaciones del principio de inducción son innumerables; tómese, por ejemplo, una de las que hemos expuesto arriba, en la que se busca demostrar que un conjunto de supuestos no puede conducir a ninguna contradicción.

Para ello consideramos una de las series de silogismos que podemos continuar partiendo de estos supuestos como premisas. Cuando hemos terminado el silogismo n, vemos que todavía podemos hacer otro y este es el n + 1.

Así, el número n sirve para contar una serie de operaciones sucesivas; es un número obtenible por adiciones sucesivas. Este es, por tanto, un número del cual podemos volver a la unidad mediante sustracciones sucesivas.

Evidentemente no podríamos hacer esto si tuviéramos n = n − 1, ya que entonces por sustracción obtendríamos siempre de nuevo el mismo número. De modo que la vía por la que nos ha llevado a considerar este número n implica una definición del número entero finito y esta definición es la siguiente:

Un número entero finito es aquel que puede obtenerse por adiciones sucesivas; es tal que n no es igual a n − 1.

Concedido esto, ¿qué hacemos? Mostramos que si no ha habido contradicción hasta el silogismo n-ésimo, tampoco la habrá hasta el (n + 1)-ésimo, y concluimos que nunca la habrá.

Usted dice: tengo derecho a sacar esta conclusión, puesto que los números enteros son por definición aquellos para los cuales un razonamiento semejante es legítimo. Pero eso implica otra definición del número entero, que es la siguiente:

Un número entero es aquel sobre el cual podemos razonar por recurrencia.

En el caso particular, es aquel del cual podemos decir que, si la ausencia de contradicción hasta el momento de un silogismo cuyo número es un entero conlleva la ausencia de contradicción hasta el momento del silogismo cuyo número es el entero siguiente, no debemos temer ninguna contradicción para ninguno de los silogismos cuyo número sea un entero.

Las dos definiciones no son idénticas; son sin duda equivalentes, pero solo en virtud de un juicio sintético a priori; no podemos pasar de la una a la otra por un procedimiento puramente lógico.

En consecuencia, no tenemos derecho a adoptar la segunda, después de haber introducido el número entero por un camino que presupone la primera.

Por otra parte, ¿qué ocurre con respecto a la línea recta? Ya lo he explicado tantas veces que dudo en repetirlo de nuevo, y me limitaré a una breve recapitulación de mi pensamiento. No tenemos, como en el caso precedente, dos definiciones equivalentes lógicamente irreductibles la una a la otra. Solo tenemos una expresable en palabras. ¿Se dirá que hay otra que sentimos sin poder formularla, ya que tenemos la intuición de la línea recta o ya que nos representamos la línea recta? En primer lugar, no podemos representárnosla en el espacio geométrico, sino únicamente en el espacio representativo, y entonces podemos representarnos igualmente los objetos que poseen las otras propiedades de la línea recta, salvo la de satisfacer el postulado de Euclides. Estos objetos son «las rectas no euclidianas», que desde cierto punto de vista no son entidades carentes de sentido, sino círculos (círculos verdaderos del espacio verdadero) ortogonales a una cierta esfera. Si, entre estos objetos igualmente susceptibles de representación, son los primeros (las rectas euclidianas) los que llamamos rectas, y no los últimos (las rectas no euclidianas), esto se debe propiamente a la definición.

Y llegando finalmente al tercer ejemplo, la definición de fósforo, vemos que la verdadera definición sería: Fósforo es el trozo de materia que veo en aquel matraz.

XII

Y ya que estoy en este tema, todavía otra palabra. Del ejemplo del fósforo dije:

"Esta proposición es una ley física real y verificable, porque significa que todos los cuerpos que tienen todas las demás propiedades del fósforo, salvo su punto de fusión, se funden como él a 44°".

Y se respondió:

"No, esta ley no es verificable, porque si se demostrara que dos cuerpos que se parecen al fósforo se funden uno a 44° y el otro a 50°, siempre se podría decir que, sin duda, además del punto de fusión, hay alguna otra propiedad desconocida en la que difieren".

Eso no era exactamente lo que quería decir. Debería haber escrito,

"Todos los cuerpos que poseen tales y cuales propiedades en número finito (a saber, las propiedades del fósforo indicadas en los libros de química, exceptuando el punto de fusión) se funden a 44°".

Y para hacer más evidente la diferencia entre el caso de la línea recta y el del fósforo, una observación más. La recta tiene en la naturaleza muchas imágenes más o menos imperfectas, de las cuales las principales son los rayos de luz y el eje de rotación del sólido.

Supongamos que encontramos que el rayo de luz no satisface el postulado de Euclides (por ejemplo, al demostrar que una estrella tiene un paralaje negativo), ¿qué haremos?

• ¿Concontraremos que la recta, siendo por definición la trayectoria de la luz, no satisface el postulado, o bien,
• por el contrario, que la recta, al satisfacer por definición el postulado, el rayo de luz no es recto?

Sin duda somos libres de adoptar la una o la otra definición y, por consiguiente, la una o la otra conclusión; pero adoptar la primera sería una estupidez, porque el rayo de luz probablemente satisface solo de manera imperfecta no solo el postulado de Euclides, sino las demás propiedades de la línea recta, de modo que si se desvía de la recta euclidiana, no se desvía menos del eje de rotación de los sólidos, que es otra imagen imperfecta de la línea recta; mientras que, por último, está indudablemente sujeto a cambios, de modo que una línea así que ayer era recta dejará de serlo mañana si alguna circunstancia física ha cambiado.

Supongamos ahora que hallamos que el fósforo no se funde a 44°, sino a 43,9°. ¿Concluiremos que, siendo el fósforo por definición aquello que se funde a 44°, este cuerpo que llamábamos fósforo no es verdadero fósforo, o bien, por otra parte, que el fósforo se funde a 43,9°?

Aquí de nuevo somos libres de adoptar la una o la otra definición y, por consiguiente, la una o la otra conclusión; pero adoptar la primera sería estúpido, puesto que no podemos estar cambiando el nombre de una sustancia cada vez que determinemos un nuevo decimal de su punto de fusión.

# XIII

En resumen, Russell y Hilbert han hecho cada uno un esfuerzo vigoroso; cada uno ha escrito una obra llena de puntos de vista originales, profundos y a menudo bien fundados. Estas dos obras nos dan mucho en qué pensar y tenemos mucho que aprender de ellas.

Entre sus resultados, algunos, incluso muchos, son sólidos y están destinados a perdurar.

Pero decir que por fin han zanjado el debate entre Kant y Leibniz y arruinado la teoría kantiana de las matemáticas es evidentemente incorrecto. No sé si realmente creían haberlo hecho, pero si lo creyeron, se engañaron a sí mismos.

CAPÍTULO V

# Los últimos esfuerzos de los logísticos

I

Los lógicos han intentado responder a las consideraciones precedentes.

Para ello, era necesaria una transformación de la logística, y Russell en particular ha modificado en ciertos puntos sus puntos de vista originales. Sin entrar en los detalles del debate, quisiera volver a las dos cuestiones que a mi juicio son las más importantes:

• ¿Han demostrado las reglas de la logística su fecundidad e infalibilidad?
• ¿Es cierto que proporcionan medios para demostrar el principio de inducción completa sin recurrir en absoluto a la intuición?

II

# La infalibilidad de lo logístico

Sobre la cuestión de la fecundidad, parece que el señor Couturat tiene ilusiones ingenuas. La logística, según él, presta a la invención «zancos y alas», y en la página siguiente: «Hace diez años, Peano publicó la primera edición de su Formulaire». ¡Cómo es eso, diez años de alas y no haber volado!

Tengo en la más alta estima a Peano, que ha hecho cosas muy bonitas (por ejemplo, su «curva de llenado de espacio», una frase hoy en desuso); pero, al fin y al cabo, no ha ido ni más lejos, ni más alto, ni más rápido que la mayoría de los matemáticos ápteros, y le habría ido igual de bien con las piernas.

Por el contrario, solo veo en la logística grilletes para el inventor.

No es una ayuda para la concisión; ni mucho menos, y si se necesitaron veintisiete ecuaciones para establecer que el 1 es un número, ¿cuántas se harían necesarias para demostrar un teorema real?

Si distinguimos, con Whitehead, el individuo x, la clase cuyo único miembro es x y que se llamará ιx, luego la clase cuyo único miembro es la clase cuyo único miembro es x y que se llamará μx, ¿cree usted que estas distinciones, por útiles que puedan ser, contribuyen en gran medida a acelerar nuestro paso?

La logística nos obliga a decir todo lo que por lo general se deja por entendido; nos hace avanzar paso a paso; esto es tal vez más seguro, pero no más rápido.

No son alas lo que nos dais los logistas, sino andadores.

Y entonces tenemos derecho a exigir que estos andadores nos impidan caernos. Ésta será su única excusa. Cuando un valor no reporta muchos intereses, al menos debería ser una inversión para un padre de familia.

¿Deben seguirse vuestras reglas ciegamente? Sí, de lo contrario solo la intuición podría permitirnos distinguir entre ellas; pero entonces deben ser infalibles; pues solo en una autoridad infalible se puede tener una confianza ciega. Esto, por lo tanto, es para vosotros una necesidad. Infalibles seréis, o no seréis en absoluto.

No tenéis derecho a decirnos:

«Es verdad que cometemos errores, pero vosotros también».

Para nosotros equivocarnos es una desgracia, una desgracia muy grande; para vosotros es la muerte.

Tampoco podéis preguntar: ¿Impide la infalibilidad de la aritmética los errores en la suma? Las reglas del cálculo son infalibles, y sin embargo vemos equivocarse a quienes no aplican estas reglas; pero al revisar su cálculo se ve en seguida en qué se equivocaron.

Aquí no ocurre esto en absoluto; los lógicos han aplicado sus reglas, y han caído en contradicción; y tan verdad es esto, que se están preparando para cambiar estas reglas y «sacrificar la noción de clase». ¿Por qué cambiarlas si fueran infalibles?

"No estamos obligados —dices— a resolver hic et nunc todos los problemas posibles".

Oh, no os pedimos tanto. Si ante un problema no dierais ninguna solución, no tendríamos nada que decir; pero al contrario, nos dais dos de ellas y además contradictorias, y por consiguiente al menos una falsa; eso es lo que constituye el fracaso.

Russell busca reconciliar estas contradicciones, lo que solo puede hacerse, según él, «restringiendo o incluso sacrificando la noción de clase». Y M. Couturat, al descubrir el éxito de su intento, añade: «Si los logicos triunfan donde otros han fracasado, M. Poincaré recordará esta frase y le dará el honor de la solución a la logística».

¡Pero no! La logística existe, tiene su código que ya ha tenido cuatro ediciones; o más bien este código es la logística misma. ¿Se dispone el Sr. Russell a mostrar que al menos uno de los dos razonamientos contradictorios ha transgredido el código? En absoluto; se dispone a cambiar estas leyes y a abrogar un cierto número de ellas. Si lo logra, atribuiré el mérito de ello a la intuición de Russell y no a la logística peaniana que habrá destruido.

III

# La libertad de contradicción

Hice dos objeciones principales a la definición de número entero adoptada en la logística. ¿Qué dice M. Couturat a la primera de estas objeciones?

¿Qué significa la palabra existir en matemáticas? Significa, dije, estar libre de contradicción. Esto M. Couturat lo contesta.

«La "existencia lógica", dice él, es algo muy distinto de la ausencia de contradicción. Consiste en el hecho de que una clase no está vacía».

Decir: los a existen, es, por definición, afirmar que la clase a no es nula.

Y sin duda afirmar que la clase a no es nula, es, por definición, afirmar que los a existen. Pero una de las dos afirmaciones carece tanto de sentido como la otra, si ambas no significan, ya sea que se pueden ver o tocar los a, que es el sentido que les dan los físicos o naturalistas, ya sea que se puede concebir un a sin incurrir en contradicciones, que es el sentido que les dan los lógicos y matemáticos.

Para M. Couturat, «no es la no contradicción la que prueba la existencia, sino la existencia la que prueba la no contradicción». Para establecer la existencia de una clase, es necesario, por tanto, establecer, mediante un ejemplo, que hay un individuo que pertenece a esta clase:

«Pero —se dirá—, ¿cómo se prueba la existencia de este individuo? ¿Acaso no debe establecerse esta existencia para poder deducir la de la clase de la que forma parte? Pues bien, no; por paradójica que parezca la afirmación, nunca demostramos la existencia de un individuo. Los individuos, precisamente por ser individuos, siempre se consideran existentes... Nunca tenemos que expresar que un individuo existe, hablando de manera absoluta, sino únicamente que existe en una clase».

M. Couturat encuentra paradójica su propia afirmación, y ciertamente no será el único. Sin embargo, debe de tener un significado. Sin duda significa que la existencia de un individuo, solo en el mundo, y del cual no se afirma nada, no puede implicar contradicción; en la medida en que está completamente solo, es evidente que no molestará a nadie.

Pues bien, sea como fuere; admitiremos la existencia del individuo, «hablando de manera absoluta», pero nada más. Queda por probar la existencia del individuo «en una clase», y para ello siempre será necesario demostrar que la afirmación «Tal individuo pertenece a tal clase» no es contradictoria ni en sí misma ni con los demás postulados adoptados.

"—Es pues —continúa el señor Couturat— arbitrario y falaz sostener que una definición solo es válida si primero probamos que no es contradictoria". No se podría proclamar en términos más soberbios y enérgicos la libertad de contradicción.

"En todo caso, el onus probandi recae sobre quienes creen que estos principios son contradictorios".

Se presume que los postulados son compatibles hasta que se pruebe lo contrario, al igual que se presume la inocencia de un acusado. Huelga añadir que no comulgo con esta afirmación. Pero, dirán ustedes, la demostración que nos exigen es imposible, y no pueden pedirnos que saltemos a la luna. Perdónenme; eso es imposible para ustedes, pero no para nosotros, que admitimos el principio de inducción como un juicio sintético a priori. Y eso les sería necesario a ustedes tanto como a nosotros.

Para demostrar que un sistema de postulados no implica contradicción, es necesario aplicar el principio de inducción completa; este modo de razonamiento no solo no tiene nada de «bizarro», sino que es el único correcto.

No es «improbable» que se haya empleado alguna vez; y no es difícil encontrar «ejemplos y precedentes» de ello. He citado dos casos de este tipo tomados del artículo de Hilbert. Él no es el único que lo ha utilizado, y quienes no lo han hecho se han equivocado.

Lo que le he reprochado a Hilbert no es que haya recurrido a él (un matemático nato como él no podía dejar de ver que una demostración era necesaria y que esta era la única posible), sino que haya recurrido a él sin reconocer el razonamiento por recurrencia.

IV

# La Segunda Objeción

Señalé un segundo error de logística en el artículo de Hilbert.

Hoy Hilbert está excomulgado y el señor Couturat ya no lo considera del culto de la logística, por lo que pregunta si he encontrado el mismo defecto entre los ortodoxos. No, no lo he visto en las páginas que he leído; no sé si lo hallaría en las trescientas páginas que han escrito y que no tengo deseos de leer.

Solo que deben cometerlo el día en que deseen hacer alguna aplicación de las matemáticas.

Esta ciencia no tiene como único objeto la contemplación eterna de su propio ombligo; tiene que ver con la naturaleza y algún día la tocará. Entonces será necesario sacudirse las definiciones puramente verbales y dejar de pagarse con palabras.

Volviendo al ejemplo de Hilbert: siempre de lo que se trata es del razonamiento por recurrencia y de la cuestión de saber si un sistema de postulados no es contradictorio. El Sr. Couturat dirá sin duda que entonces esto no le atañe, pero quizá interese a aquellos que no reclaman, como él, la libertad de contradicción.

Deseamos establecer, como se ha dicho, que jamás hallaremos contradicción después de cualquier número de deducciones, siempre que este número sea finito. Para ello, es necesario aplicar el principio de inducción. ¿Debemos entender aquí por número finito todo número al que, por definición, se aplica el principio de inducción? Evidentemente no, de lo contrario nos veríamos conducidos a las consecuencias más embarazosas.

Para tener derecho a establecer un sistema de postulados, debemos estar seguros de que no son contradictorios. Esta es una verdad admitida por la mayoría de los científicos; yo habría escrito por todos antes de leer el último artículo del Sr. Couturat.

Pero ¿qué significa esto? ¿Significa que debemos estar seguros de no encontrar contradicción después de un número finito de proposiciones, siendo el número finito por definición aquel que posee todas las propiedades de naturaleza recurrente, de modo que si una de estas propiedades falla —si, por ejemplo, tropezamos con una contradicción— acordaremos decir que el número en cuestión no es finito? En otras palabras, ¿queremos decir que debemos estar seguros de no encontrar contradicciones, a condición de acordar detenernos justo cuando estamos a punto de tropezar con una?

Formular semejante proposición basta para condenarla.

Por tanto, el razonamiento de Hilbert no sólo asume el principio de inducción, sino que supone que este principio no nos es dado como una simple definición, sino como un juicio sintético a priori.

En resumen:

Una demostración es necesaria.

La única demostración posible es la prueba por recurrencia.

Esto es legítimo únicamente si admitimos el principio de inducción y si lo consideramos no como una definición, sino como un juicio sintético.

V

# Las antinomias de Cantor

Ahora examinaremos las nuevas memorias de Russell. Estas memorias fueron escritas con el propósito de vencer las dificultades planteadas por aquellas antinomias de Cantor a las que ya se ha hecho alusión frecuente. Cantor creía poder construir una ciencia de lo infinito; otros siguieron el camino que él abrió, pero pronto tropezaron con extrañas contradicciones. Estas antinomias ya son numerosas, pero las más célebres son:

1. La antinomia de Burali-Forti;

2. La antinomia de Zermelo-König;

3. La antinomia de Richard.

Cantor demostró que los números ordinales (se trata de números ordinales transfinitos, una nueva noción introducida por él) pueden ordenarse en una serie lineal; es decir, que de dos ordinales desiguales, uno es siempre menor que el otro.

Burali-Forti demuestra lo contrario; y de hecho afirma, en esencia, que si se pudiera ordenar todos los ordinales en una serie lineal, esta serie definiría un ordinal mayor que todos los demás; podríamos a continuación añadirle 1 y obtendríamos de nuevo un ordinal que sería todavía mayor, y esto es contradictorio.

Volveremos más tarde sobre la antinomia de Zermelo-König, que es de una naturaleza ligeramente diferente. La antinomia de Richard¹⁵¹⁵ es la siguiente:

Consideremos todos los números decimales definibles mediante un número finito de palabras; estos números decimales forman un agregado E, y es fácil ver que este agregado es enumerable, es decir, podemos numerar los diferentes números decimales de este conjunto del 1 al infinito. Supongamos efectuada la numeración, y definamos un número N de la siguiente manera: Si el n-ésimo decimal del n-ésimo número del conjunto E es

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 el n-ésimo decimal de N será:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

Como vemos, N no es igual al enésimo número de E, y como n es arbitrario, N no pertenece a E y, sin embargo, N debería pertenecer a este conjunto, puesto que lo hemos definido con un número finito de palabras.

Veremos más adelante que el propio M. Richard ha dado con mucha sagacidad la explicación de su paradoja y que esta se extiende, mutatis mutandis, a las demás paradojas semejantes. De nuevo, Russell cita otra paradoja bastante divertida: ¿Cuál es el número entero más pequeño que no puede ser definido mediante una frase compuesta por menos de cien palabras en inglés?

Este número existe; y de hecho los números capaces de ser definidos por una frase semejante son evidentemente finitos en número, ya que las palabras de la lengua inglesa no son infinitas en número. Por lo tanto, entre ellos habrá uno menor que todos los demás.

Y, por otra parte, este número no existe, porque su definición implica una contradicción. Este número, de hecho, está definido por la frase en cursiva que se compone de menos de un centenar de palabras inglesas; y por definición este número no debería ser capaz de ser definido por una frase semejante.

VI

# Teoría del Zigzag y Teoría de la No-clase

¿Cuál es la actitud del señor Russell ante la presencia de estas contradicciones?

Después de haber analizado las de las que acabamos de hablar, y citado otras aún, después de haberles dado una forma que recuerda a Epiménides, no duda en concluir: «Una función proposicional de una variable no siempre determina una clase».

Una función proposicional (es decir, una definición) no siempre determina una clase. Una «función proposicional» o «norma» puede ser «no predicativa». Y esto no significa que estas proposiciones no predicativas determinen una clase vacía, una clase nula; esto no significa que no haya ningún valor de x que satisfaga la definición y que sea capaz de ser uno de los elementos de la clase. Los elementos existen, pero no tienen derecho a unirse en un sindicato para formar una clase.

Pero esto es solo el principio y es necesario saber cómo reconocer si una definición es o no predicativa. Para resolver este problema, Russell oscila entre tres teorías que denomina

A. La teoría del zigzag;

B. La teoría de la limitación del tamaño;

C. La teoría sin clases.

De acuerdo con la teoría de la zig-zag, «las definiciones (funciones proposicionales) determinan una clase cuando son muy simples y dejan de hacerlo solo cuando son complicadas y oscuras».

¿Quién, ahora, ha de decidir si una definición puede considerarse lo suficientemente simple como para ser aceptable? A esta pregunta no hay respuesta, a menos que sea la leal confesión de una completa incapacidad:

«Las reglas que nos permiten reconocer si estas definiciones son predicativas serían extremadamente complicadas y no pueden recomendarse por ninguna razón plausible. Este es un defecto que podría remediarse con mayor ingenio o utilizando distinciones aún no señaladas. Pero hasta ahora, al buscar estas reglas, no he podido encontrar ningún otro principio director que la ausencia de contradicción».

Esta teoría permanece, por lo tanto, muy obscura; en esta noche, una sola luz: la palabra zigzag. Lo que Russell llama la «zigzaguiez» es sin duda la característica particular que distingue el argumento de Epiménides.

Según la teoría de la limitación de tamaño, una clase dejaría de tener derecho a la existencia si fuera demasiado extensa. Tal vez podría ser infinita, but no debería serlo demasiado. Pero siempre volvemos a encontrar la misma dificultad; ¿en qué momento preciso empieza a serlo demasiado? Por supuesto, esta dificultad no queda resuelta y Russell pasa a la tercera teoría.

En la teoría sin clases está prohibido pronunciar la palabra «clase» y esta palabra debe ser reemplazada por varias perífrasis.

¡Qué cambio para la logística, que habla únicamente de clases y de clases de clases! Se hace necesario rehacer toda la logística. Imaginemos qué aspecto tendría una página de logística al suprimir todas las proposiciones en las que se trata de clases.

Solo quedarían algunos supervivientes dispersos en medio de una página en blanco. Apparent rari nantes in gurgite vasto.

Sea como fuere, vemos cómo vacila Russell y las modificaciones a las que somete los principios fundamentales que hasta entonces había adoptado.

Se necesitan criterios para decidir si una definición es demasiado compleja o demasiado extensa, y estos criterios solo pueden justificarse mediante un recurso a la intuición.

Es hacia la teoría de la no-existencia de clases hacia donde Russell se inclina finalmente.

Sea como fuere, la logística ha de ser rehecha y no está claro cuánto podrá salvarse de ella. Huelga añadir que el cantorismo y la logística son los únicos objetos de consideración; la matemática real, aquella que sirve para algo, puede seguir desarrollándose de acuerdo con sus propios principios sin importarle las tormentas que arrecian fuera de ella, y continuar paso a paso con sus conquistas habituales, que son definitivas y que jamás tiene que abandonar.

VII

# La verdadera solución

¿Qué elección debemos hacer entre estas diferentes teorías?

Me parece que la solución está contenida en una carta de M. Richard de la que he hablado antes, que se encuentra en la Revue générale des sciences del 30 de junio de 1905. Después de haber expuesto la antinomia que hemos llamado antinomia de Richard, da su explicación. Recordemos lo que ya se ha dicho de esta antinomia.

E es el agregado de todos los números definibles por un número finito de palabras, sin introducir la noción del agregado E mismo. De otro modo, la definición de E contendría un círculo vicioso; no debemos definir E por el agregado E mismo.

Ahora bien, hemos definido N con un número finito de palabras, es cierto, pero con la ayuda de la noción del agregado E. Y por esto N no forma parte de E. En el ejemplo elegido por el Sr. Richard, la conclusión se presenta con completa evidencia y la evidencia parecerá aún más fuerte al consultar el texto de la carta misma. Pero la misma explicación es válida para las otras antinomias, como se comprueba fácilmente.

Así pues, las definiciones que deben considerarse como no predicativas son aquellas que contienen un círculo vicioso. Y los ejemplos precedentes muestran suficientemente lo que entiendo por ello. ¿Es esto lo que Russell llama la «peculiaridad en zigzag»? Planteo la pregunta sin responderla.

VIII

# Las demostraciones del principio de inducción

Examinemos ahora las supuestas demostraciones del principio de inducción y, en particular, las de Whitehead y las de Burali-Forti.

Hablaremos primero del de Whitehead y aprovecharemos ciertos términos nuevos introducidos felizmente por Russell en su reciente memoria.

Llámese clase recurrente a toda clase que contenga al cero, y que contenga a n + 1 si contiene a n.

Llámese número inductivo a todo número que sea parte de todas las clases recurrentes.

¿Bajo qué condición será esta última definición, que desempeña un papel esencial en la demostración de Whitehead, «predicativa» y consecuentemente aceptable?

De acuerdo con lo que se ha dicho, es necesario entender por todas las clases recurrentes, todas aquellas en cuya definición no entra la noción de número inductivo. De otro modo volvemos a caer en el círculo vicioso que ha engendrado las antinomias.

Ahora Whitehead no ha tomado esta precaución. El razonamiento de Whitehead es, por tanto, falaz; es el mismo que condujo a las antinomias. Era ilegítimo cuando dio resultados falsos; sigue siendo ilegítimo cuando por casualidad conduce a un resultado verdadero.

Una definición que contiene un círculo vicioso no define nada. De nada sirve decir, estamos seguros, cualquiera que sea el significado que demos a nuestra definición, que el cero al menos pertenece a la clase de los números inductivos; no se trata de saber si esta clase está vacía, sino si puede ser delimitada rigurosamente. Una clase "no predicativa" no es una clase vacía, es una clase cuyo límite es indeterminado. Huelga añadir que esta objeción particular deja en pie las objeciones generales aplicables a todas las demostraciones.

IX

Burali-Forti ha dado otra demostración.¹⁶¹⁶ Pero se ve obligado a suponer dos postulados:

• Primero, siempre existe al menos una clase infinita.
• El segundo se expresa así:

El primer postulado no es más evidente que el principio que debe demostrarse. El segundo no solo no es evidente, sino que es falso, como ha demostrado Whitehead; como por otra parte cualquier recluta vería a primera vista, si el axioma se hubiera formulado en un lenguaje inteligible, ya que significa que el número de combinaciones que se pueden formar con varios objetos es menor que el número de estos objetos.

X

# El supuesto de Zermelo

Una famosa demostración de Zermelo descansa sobre el supuesto siguiente: En cualquier agregado (o en el mismo en cada agregado de un conjunto de agregados) podemos elegir siempre al azar un elemento (incluso si este conjunto de agregados debiera contener una infinidad de agregados).

Este supuesto había sido aplicado mil veces sin ser formulado, pero, una vez formulado, despertó dudas. Algunos matemáticos, por ejemplo M. Borel, lo rechazan resueltamente; otros lo admiran.

Veamos qué piensa de él Russell, según su último artículo. No se pronuncia abiertamente, pero sus reflexiones son muy sugerentes.

Y primero un ejemplo pintoresco:

Supongamos que tenemos tantos pares de zapatos como números enteros, y de tal manera que podamos numerar los pares del uno al infinito, ¿cuántos zapatos tendremos?

¿Será el número de zapatos igual al número de pares?

• Sí, si en cada par el zapato derecho se distingue del izquierdo; de hecho, bastará con dar el número 2n − 1 al zapato derecho del n-ésimo par, y el número 2n al zapato izquierdo del n-ésimo par.
• No, si el zapato derecho es exactamente igual al izquierdo, porque una operación similar se tornaría imposible —a menos que admitamos la hipótesis de Zermelo, ya que entonces podríamos elegir al azar en cada par el zapato que ha de considerarse como el derecho.

XI

# Conclusiones

Una demostración verdaderamente fundada en los principios de la lógica analítica se compondrá de una serie de proposiciones.

• Algunas, que servirán de premisas, serán identidades o definiciones;
• las otras se deducirán de las premisas paso a paso.

Pero aunque el vínculo entre cada proposición y la siguiente sea inmediatamente evidente, a primera vista no parecerá cómo llegamos de la primera a la última, que podemos sentirnos tentados a considerar como una verdad nueva.

Pero si reemplazamos sucesivamente las diferentes expresiones que hay en ella por su definición y si esta operación se lleva tan lejos como sea posible, finalmente solo quedarán identidades, de modo que todo se reducirá a una inmensa tautología.

La lógica, por tanto, permanece estéril a menos que la intuición la haga Fructífera.

Esto lo escribí hace mucho tiempo; la logística profesa lo contrario y cree haberlo demostrado al probar de hecho verdades nuevas. ¿Por qué mecanismo? ¿Por qué al aplicar a sus razonamientos el procedimiento que acabo de describir —a saber, reemplazar los términos definidos por sus definiciones— no los vemos disolverse en identidades como los razonamientos ordinarios?

Es porque este procedimiento no les es aplicable. ¿Y por qué? Porque sus definiciones no son predicativas y presentan esta especie de círculo vicioso oculto que he señalado más arriba; las definiciones no predicativas no pueden ser sustituidas por los términos definidos.

Bajo estas condiciones la logística no es estéril, engendra antinomias.

Es la creencia en la existencia del infinito actual lo que ha dado origen a esas definiciones no predicativas. Permítanme explicarme.

En estas definiciones figura la palabra «todo», como se ve en los ejemplos citados anteriormente. La palabra «todo» tiene un significado muy preciso cuando se trata de un número finito de objetos; para tener otro distinto, cuando los objetos son infinitos en número, se requeriría la existencia de un infinito actual (dado por completo).

De otro modo, todos estos objetos no podrían concebirse como postulados anteriormente a su definición, y entonces, si la definición de una noción N depende de todos los objetos A, puede verse afectada por un círculo vicioso, si entre los objetos A hay algunos que no pueden definirse sin la intervención de la noción N misma.

Las reglas de la lógica formal expresan simplemente las propiedades de todas las clasificaciones posibles. Pero para que sean aplicables es necesario que estas clasificaciones sean inmutables y que no tengamos necesidad de modificarlas en el curso del razonamiento. Si hemos de clasificar solo un número finito de objetos, es fácil conservar nuestras clasificaciones sin cambios. Si los objetos son de un número indefinido, es decir, si uno está constantemente expuesto a ver surgir objetos nuevos e imprevistos, puede suceder que la aparición de un nuevo objeto exija modificar la clasificación, y así es como nos exponemos a las antinomias.

No hay infinito actual (dado por completo).

Los cantorianos lo han olvidado, y han caído en la contradicción. Es verdad que el cantorismo ha prestado servicios, pero esto fue cuando se aplicó a un problema real cuyos términos estaban con precisión definidos, y entonces pudimos avanzar sin miedo.

La logística también lo olvidó, al igual que los cantorianos, y tropezó con las mismas dificultades. Pero la cuestión es saber si tomaron este camino por accidente o si para ellos era una necesidad.

Para mí, la cuestión no ofrece dudas; la creencia en un infinito actual es esencial en la lógica de Russell. Es precisamente esto lo que la distingue de la lógica de Hilbert. Hilbert adopta el punto de vista de la extensión, precisamente para evitar las antinomias cantorianas. Russell adopta el punto de vista de la comprensión.

En consecuencia, para él el género es anterior a la especie, y el summum genus es anterior a todo. Eso no tendría inconveniente si el summum genus fuera finito; pero si es infinito, es necesario postular el infinito, es decir, considerar el infinito como actual (dado por completo). Y no solo tenemos clases infinitas; cuando pasamos del género a la especie al restringir el concepto mediante nuevas condiciones, estas condiciones siguen siendo infinitas en número. Porque expresan en general que el objeto envisagado presenta tal o cual relación con todos los objetos de una clase infinita.

Pero eso es historia antigua. Russell ha advertido el peligro y toma consejo. Está a punto de cambiarlo todo y, lo que se comprende fácilmente, se dispone no solo a introducir nuevos principios que permitan operaciones antes prohibidas, sino que se dispone a prohibir operaciones que antes consideraba legítimas.

No contento con adorar lo que quemó, está a punto de quemar lo que adoró, lo cual es más grave. No añade una nueva ala al edificio, socava sus cimientos.

La vieja lógica ha muerto, a tal punto que ya la teoría del zigzag y la teoría de las sin clases se disputan la sucesión.

Para juzgar la nueva, aguardaremos su llegada.