PARTE I NÚMERO Y MAGNITUD

# CAPÍTULO I

# Sobre la naturaleza del razonamiento matemático

I

La posibilidad misma de la ciencia matemática parece una contradicción insoluble.

Si esta ciencia es deductiva solo en apariencia, ¿de dónde deriva esa rigor perfecta de la que nadie duda?

Si, por el contrario, todas las proposiciones que enuncia pueden deducirse unas de otras según las reglas de la lógica formal, ¿por qué no se reduce la matemática a una inmensa tautología?

El silogismo no puede enseñarnos nada esencialmente nuevo y, si todo ha de surgir del principio de identidad, todo debería poder reducirse a él.

¿Habremos de admitir entonces que los enunciados de todos esos teoremas que llenan tantos volúmenes no son más que rodeos para decir que A es A?

Sin duda, podemos volver a los axiomas, que están en el origen de todos estos razonamientos. Si decidimos que estos no pueden reducirse al principio de contradicción, si aún menos vemos en ellos hechos experimentales que no pudieran participar de la necesidad matemática, aún nos queda el recurso de clasificarlos entre los juicios sintéticos a priori.

Esto no es resolver la dificultad, sino tan solo bautizarla; y aun cuando la naturaleza de los juicios sintéticos no fuera para nosotros ningún misterio, la contradicción no habría desaparecido, solo se habría desplazado; el razonamiento silogístico sigue siendo incapaz de añadir nada a los datos que se le dan: estos datos se reducen a unos pocos axiomas, y no deberíamos encontrar nada más en las conclusiones.

Ningún teorema podría ser nuevo si ningún axioma nuevo interviniera en su demostración; el razonamiento solo podría darnos las verdades inmediatamente evidentes tomadas en préstamo de la intuición directa; sería únicamente un parásito intermediario y, por tanto, ¿no tendríamos buenas razones para preguntarnos si todo el aparato silogístico no sirve únicamente para disfrazar nuestro préstamo?

La contradicción nos llamará aún más la atención si abrimos cualquier libro de matemáticas; en cada página el autor anunciará su intención de generalizar alguna proposición ya conocida. ¿Acaso el método matemático procede de lo particular a lo general y, de ser así, cómo puede llamarse entonces deductivo?

Si al fin la ciencia del número fuera puramente analítica, o pudiera derivarse analíticamente de un pequeño número de juicios sintéticos, parecería que una mente suficientemente poderosa podría percibir de un vistazo todas sus verdades; aún más, podríamos incluso esperar que algún día se inventara para expresarlas un lenguaje lo suficientemente simple como para hacerlas aparecer como evidentes por sí mismas para una inteligencia ordinaria.

Si nos negamos a admitir estas consecuencias, hay que conceder que el razonamiento matemático posee en sí mismo una especie de virtud creadora y, por consiguiente, difiere del silogismo.

La diferencia debe ser incluso profunda. No hallaremos, por ejemplo, la clave del misterio en el uso frecuente de esa regla según la cual una y la misma operación uniforme aplicada a dos números iguales dará resultados idénticos.

Todos estos modos de razonamiento, ya sean reductibles o no al silogismo propiamente dicho, conservan el carácter analítico y, precisamente por eso, son impotentes.

II

La discusión es antigua; Leibniz intentó probar que dos y dos son cuatro; pasemos un momento a ver su demostración.

Supondré definido el número 1 y también la operación x + 1, que consiste en añadir la unidad a un número dado x.

Estas definiciones, cualesquiera que sean, no entran en el curso del razonamiento.

Defino entonces los números 2, 3 y 4 por las igualdades

(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.

Del mismo modo, defino la operación x + 2 mediante la relación:

(4) x + 2 = (x + 1) + 1.

Partiendo de eso, tenemos

¿De dónde

2 + 2 = 4 Q.E.D.

No se puede negar que este razonamiento es puramente analítico.

Pero pregúntese a cualquier matemático: «Eso no es una demostración propiamente dicha», les dirá: «Eso es una verificación». Nos hemos limitado a comparar dos definiciones puramente convencionales y hemos constatado su identidad; no hemos aprendido nada nuevo. La verificación se diferencia de la verdadera demostración precisamente porque es puramente analítica y porque es estéril. Es estéril porque la conclusión no es más que las premisas traducidas a otro idioma. Por el contrario, la verdadera demostración es fecunda porque la conclusión aquí es, en cierto sentido, más general que las premisas.

La igualdad 2 + 2 = 4 es susceptible de verificación únicamente porque es particular. Todo enunciado particular en matemáticas siempre puede verificarse de este mismo modo. Pero si las matemáticas pudieran reducirse a una serie de tales verificaciones, no serían una ciencia. Así, un jugador de ajedrez, por ejemplo, no crea una ciencia al ganar una partida. No hay ciencia ajena a lo general.

Puede decirse incluso que el objeto mismo de las ciencias exactas es ahorrarnos estas verificaciones directas.

III

Por consiguiente, velemos al geómetra en su tarea e intentemos captar su proceso.

La tarea no carece de dificultad; no basta con abrir una obra al azar y analizar cualquier demostración en ella.

Debemos excluir primero la geometría, donde la cuestión se complica con arduos problemas relativos al papel de los postulados, a la naturaleza y al origen de la noción de espacio. Por razones análogas no podemos recurrir al análisis infinitesimal.

Debemos buscar el pensamiento matemático donde ha permanecido puro, esto es, en la aritmética.

Aún es necesaria una elección; en las partes más elevadas de la teoría de los números, las nociones matemáticas primitivas ya han sufrido una elaboración tan profunda que resulta difícil analizarlas.

Es, por lo tanto, al principio de la aritmética donde debemos esperar encontrar la explicación que buscamos, pero ocurre que precisamente en la demostración de los teoremas más elementales los autores de los tratados clásicos han mostrado la menor precisión y rigor.

No debemos imputarles esto como un delito; han cedido a una necesidad; los principiantes no están preparados para el verdadero rigor matemático; solo verían en él sutilezas inútiles y pesadas; sería una pérdida de tiempo tratar de hacerlos más exigentes prematuramente; deben recorrer rápidamente, pero sin saltarse estaciones, el camino transitado lentamente por los fundadores de la ciencia.

¿Por qué es necesaria una preparación tan larga para habituarse a este rigor perfecto que, al parecer, debería imprimirse naturalmente en todas las buenas mentes? Este es un problema lógico y psicológico bien digno de estudio.

Pero no vamos a tratarlo; es ajeno a nuestro propósito; todo lo que deseo insistir es en que, para no faltar a nuestro propósito, debemos refundir las demostraciones de los teoremas más elementales y darles, no la forma tosca en que se dejan, para no fatigar a los principiantes, sino la forma que satisfará a un geómetra experto.

Definición de la Adición.—Supongo ya definida la operación x + 1, que consiste en añadir el número 1 a un número dado x.

Esta definición, cualquiera que sea, no entra en nuestro razonamiento posterior.

Ahora tenemos que definir la operación x + a, que consiste en sumar el número a a un número dado x.

Suponiendo que hemos definido la operación x + (a − 1), la operación x + a quedará definida por la igualdad

(1) x + a = [x + (a − 1)] + 1.

Sabremos entonces qué es x + a cuando sepamos qué es x + (a − 1), y como he supuesto que para empezar sabíamos qué es x + 1, podemos definir sucesivamente y «por recurrencia» las operaciones x + 2, x + 3, etc.

Esta definición merece un momento de atención; es de una naturaleza particular que ya la distingue de la definición puramente lógica; la igualdad (1) contiene una infinidad de definiciones distintas, cada una de las cuales solo tiene sentido cuando se conoce la precedente.

Propiedades de la suma.—Asociatividad.—Afirmo que a + (b + c) = (a + b) + c.

De hecho, el teorema es verdadero para c = 1; se escribe entonces a + (b + 1) = (a + b) + 1, lo cual, aparte de la diferencia de notación, no es otra cosa que la igualdad (1), mediante la cual acabo de definir la adición.

Suponiendo verdadero el teorema para c = γ, afirmo que lo será para c = γ + 1.

De hecho, suponiendo (a + b) + γ = a + (b + γ), se deduce que

[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1 o por definición (1)

(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)], lo que demuestra, mediante una serie de deducciones puramente analíticas, que el teorema es verdadero para γ + 1.

Siendo verdad para c = 1, vemos así sucesivamente que también lo es para c = 2, para c = 3, etc.

Conmutatividad.—1º Digo que a + 1 = 1 + a.

El teorema es evidentemente verdadero para a = 1; podemos verificar mediante un razonamiento puramente analítico que, si es verdadero para a = γ, lo será para a = γ + 1; pues entonces (γ + 1) + 1 = (1 + γ) + 1 = 1 + (γ + 1);

ahora bien, es verdad para a = 1, por lo tanto lo será para a = 2, para a = 3, etc., lo que se expresa diciendo que la proposición enunciada está demostrada por recurrencia.

2º Digo que a + b = b + a.

El teorema acaba de ser demostrado para b = 1; se puede verificar analíticamente que si es verdad para b = β, lo será para b = β + 1.

La proposición queda, por tanto, demostrada por recurrencia.

Definición de la multiplicación.—Definiremos la multiplicación mediante las igualdades.

(1) a × 1 = a.

(2) a × b = [a × (b − 1)] + a.

Al igual que la igualdad (1), la igualdad (2) contiene una infinidad de definiciones; habiendo definido a × 1, nos permite definir sucesivamente:

• a × 2, a × 3, etc.

Propiedades de la multiplicación.—Distributividad.—Afirmo que (a + b) × c = (a × c) + (b × c).

Verificamos analíticamente que la igualdad es verdadera para c = 1; luego, que si el teorema es verdadero para c = γ, lo será para c = γ + 1.

La proposición queda, por tanto, demostrada por recurrencia.

Conmutatividad.—1º Digo que a × 1 = 1 × a.

El teorema es evidente para a = 1.

Verificamos analíticamente que si es verdad para a = α, lo será para a = α + 1.

2º Digo que a × b = b × a.

El teorema acaba de ser demostrado para b = 1. Podríamos verificar analíticamente que si es verdad para b = β, lo será para b = β + 1.

IV

Aquí detengo esta monótona serie de razonamientos. Pero esta misma monotonía ha puesto mejor de relieve el procedimiento que es uniforme y se encuentra de nuevo en cada paso.

Este procedimiento es la demostración por recurrencia. Primero establecemos un teorema para n = 1; luego demostramos que si es verdad para n − 1, lo es para n, y de ahí concluimos que es verdad para todos los números enteros.

Acabamos de ver cómo puede emplearse para demostrar las reglas de la adición y de la multiplicación, es decir, las reglas del cálculo algebraico; este cálculo es un instrumento de transformación que se presta a combinaciones mucho más diversas que el simple silogismo; pero sigue siendo un instrumento puramente analítico, e incapaz de enseñarnos nada nuevo.

Si las matemáticas no tuvieran otro instrumento, se verían por tanto detenidas de inmediato en su desarrollo; pero recurren de nuevo al mismo procedimiento, es decir, al razonamiento por recurrencia, y así logran continuar su marcha hacia adelante.

Si miramos de cerca, a cada paso volvemos a encontrar este modo de razonamiento, ya sea en la forma simple que acabamos de darle, o bajo una forma más o menos modificada.

He aquí, pues, el razonamiento matemático por excelencia, y debemos examinarlo más de cerca.

V

La característica esencial del razonamiento por recurrencia es que contiene, condensada, por decirlo así, en una sola fórmula, una infinidad de silogismos.

Para que esto pueda verse mejor, expondré uno tras otro estos silogismos que están, si me permiten la expresión, dispuestos «en cascada».

Estos son, por supuesto, silogismos hipotéticos.

El teorema es verdadero para el número 1.

Ahora bien, si es verdad para 1, es verdad para 2.

Por lo tanto, es verdad para 2.

Ahora bien, si es verdad para el 2, es verdad para el 3.

Por lo tanto, es verdad para el 3, y así sucesivamente.

Vemos que la conclusión de cada silogismo sirve de premisa menor para el siguiente.

Furthermore the majors of all our syllogisms can be reduced to a single formula.

Si el teorema es verdadero para n − 1, también lo es para n.

Vemos, pues, que al razonar por recurrencia nos limitamos a enunciar la premisa menor del primer silogismo y la fórmula general que contiene como casos particulares a todas las mayores.

Esta serie interminable de silogismos se reduce así a una frase de pocas líneas.

Ahora es fácil comprender por qué cada consecuencia particular de un teorema puede, como he explicado más arriba, ser verificada mediante procedimientos puramente analíticos.

Si en vez de demostrar que nuestro teorema es verdadero para todos los números, solo deseamos demostrar que lo es para el número 6, por ejemplo, nos bastará con establecer los primeros 5 silogismos de nuestra cascada; serían necesarios 9 si deseáramos probar el teorema para el número 10; se necesitarían más para un número mayor; pero, por grande que pudiera ser este número, siempre acabaríamos por alcanzarlo, y la verificación analítica sería posible.

Y sin embargo, por muy lejos que de este modo pudiéramos llegar, jamás podríamos elevarnos al teorema general, aplicable a todos los números, que únicamente puede ser objeto de la ciencia. Para alcanzarlo, una infinidad de silogismos sería necesaria; sería necesario saltar por encima de un abismo que la paciencia del analista, limitada a los recursos de la lógica formal únicamente, jamás podría colmar.

Pregunté al principio por qué no se podía concebir una mente lo suficientemente poderosa como para percibir de un solo vistazo el conjunto de las verdades matemáticas.

La respuesta es ahora sencilla; un jugador de ajedrez es capaz de combinar cuatro jugadas, cinco jugadas, de antemano, pero, por extraordinario que sea, nunca preparará más que un número finito de ellas; si aplica sus facultades a la aritmética, no podrá percibir sus verdades generales mediante una única intuición directa; para llegar al más pequeño teorema no puede prescindir de la ayuda del razonamiento por recurrencia, pues este es un instrumento que nos permite pasar de lo finito a lo infinito.

Este instrumento es siempre útil, pues, al permitirnos saltar de un solo golpe tantas etapas como deseemos, nos ahorra verificaciones, largas, fastidiosas y monótonas, que pronto se volverían impracticables.

Pero se vuelve indispensable tan pronto como apuntamos al teorema general, al cual la verificación analítica nos acercaría continuamente sin jamás permitirnos alcanzarlo.

En este dominio de la aritmética, podemos creernos muy lejos del análisis infinitesimal, y sin embargo, como acabamos de ver, la idea del infinito matemático ya desempeña un papel preponderante, y sin ella no habría ciencia, porque no habría nada general.

VI

El juicio en que se apoya el razonamiento por recurrencia puede adoptar otras formas; podemos decir, por ejemplo, que en una colección infinita de números enteros diferentes siempre hay uno que es menor que todos los demás.

Podemos pasar fácilmente de una enunciación a la otra y obtener así la ilusión de haber demostrado la legitimidad del razonamiento por recurrencia. Pero siempre nos veremos detenidos, siempre llegaremos a un axioma indemonstrable que en realidad no será sino la proposición que debíamos demostrar traducida a otro idioma.

No podemos, por tanto, escapar de la conclusión de que la regla del razonamiento por recurrencia es irreductible al principio de contradicción.

Tampoco puede esta regla provenir de la experiencia; la experiencia podría enseñarnos que la regla es verdadera para los primeros diez o cien números; por ejemplo, no puede alcanzar la serie indefinida de números, sino solo a una porción de esta serie, más o menos larga pero siempre limitada.

Ahora bien, si se tratara solo de eso, el principio de contradicción bastaría; nos permitiría siempre desarrollar tantos silogismos como quisiéramos; solo cuando se trata de incluir una infinidad de ellos en una sola fórmula, solo ante lo infinito es que este principio falla, y allí también, la experiencia se vuelve impotente.

Esta regla, inaccesible a la demostración analítica y a la experiencia, es el tipo verídico del juicio sintético a priori. Por otra parte, no podemos pensar en ver en ella una convención, como en algunos de los postulados de la geometría.

¿Por qué entonces este juicio se nos impone con una evidencia irresistible? Es porque no es más que la afirmación del poder de la mente que se sabe capaz de concebir la repetición indefinida del mismo acto una vez que este acto es posible. La mente tiene una intuición directa de este poder, y la experiencia solo puede dar ocasión para usarlo y tomar así conciencia de él.

Pero, dirá alguien, si la experiencia bruta no puede legitimizar el razonamiento por recurrencia, ¿ocurre lo mismo con el experimento ayudado por la inducción?

Vemos sucesivamente que un teorema es verdadero para el número 1, para el número 2, para el número 3 y así sucesivamente; la ley es evidente, decimos, y tiene la misma garantía que toda ley física basada en observaciones, cuyo número es muy grande pero limitado.

He aquí, hay que reconocerlo, una analogía sorprendente con los procedimientos habituales de la inducción.

Pero existe una diferencia esencial.

La inducción aplicada a las ciencias físicas es siempre incierta, porque descansa en la creencia en un orden general del universo, un orden exterior a nosotros. La inducción matemática, es decir, la demostración por recurrencia, por el contrario, se impone necesariamente porque no es más que la afirmación de una propiedad de la mente misma.

VII

Los matemáticos, como ya he dicho antes, se empeñan siempre en generalizar las proposiciones que han obtenido y, por no buscar otro ejemplo, acabamos de demostrar la igualdad:

a + 1 = 1 + a y luego la usó para establecer la igualdad a + b = b + a, que es manifiestamente más general.

Las matemáticas pueden, por lo tanto, al igual que las demás ciencias, proceder de lo particular a lo general.

Este es un hecho que nos habría parecido incomprensible al comienzo de este estudio, pero que ya no nos resulta misterioso, desde que hemos comprobado las analogías entre la demostración por recurrencia y la inducción ordinaria.

Sin duda, el razonamiento recurrente en las matemáticas y el razonamiento inductivo en la física descansan sobre cimientos diferentes, pero su marcha es paralela, avanzan en el mismo sentido, es decir, de lo particular a lo general.

Examinemos el caso un poco más de cerca.

Para demostrar la igualdad a + 2 = 2 + a basta con aplicar dos veces la regla

(1) a + 1 = 1 + a y escribe

(2) a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a.

La igualdad (2), deducida así de manera puramente analítica a partir de la igualdad (1), no es, sin embargo, simplemente un caso particular de esta; es algo completamente diferente.

Por lo tanto, ni siquiera podemos decir que en la parte verdaderamente analítica y deductiva del razonamiento matemático procedemos de lo general a lo particular en el sentido ordinario de la palabra.

Los dos miembros de la igualdad (2) no son más que combinaciones más complicadas que los dos miembros de la igualdad (1), y el análisis solo sirve para separar los elementos que entran en estas combinaciones y para estudiar sus relaciones.

Los matemáticos proceden por lo tanto «por construcción», «construyen» combinaciones cada vez más complicadas. Volviendo entonces, por el análisis de estas combinaciones, de estos agregados, por decirlo así, a sus elementos primitivos, perciben las relaciones de estos elementos y deducen de ellas las relaciones de los agregados mismos.

Este es un procedimiento puramente analítico, pero no es, sin embargo, un procedimiento de lo general a lo particular, porque evidentemente los agregados no pueden considerarse más particulares que sus elementos.

Gran importancia, y con razón, se ha atribuido a este procedimiento de «construcción», y algunos han querido ver en él la condición necesaria y suficiente para el progreso de las ciencias exactas.

Necesario, sin duda; pero suficiente, no.

Para que una construcción sea útil y no una vanidad para la mente, para que pueda servir de peldaño a quien desea ascender, debe poseer ante todo una suerte de unidad que nos permita ver en ella algo más que la mera yuxtaposición de sus elementos.

O, más exactamente, debe haber alguna ventaja en considerar la construcción en lugar de los elementos en sí mismos.

¿Cuál puede ser esta ventaja?

¿Por qué razonar sobre un polígono, por ejemplo, que siempre es descomponible en triángulos, y no sobre los triángulos elementales?

Se debe a que existen propiedades pertenecientes a los polígonos de cualquier número de lados y que pueden aplicarse inmediatamente a cualquier polígono en particular.

Por lo general, por el contrario, solo a costa de los más prolongados esfuerzos se los podía encontrar estudiando directamente las relaciones de los triángulos elementales. El conocimiento del teorema general nos ahorra estos esfuerzos.

Una construcción, por tanto, solo resulta interesante cuando puede colocarse junto a otras construcciones análogas, formando especies del mismo género.

Si el cuadrilátero es algo más que la yuxtaposición de dos triángulos, esto se debe a que pertenece al género polígono.

Además, hay que ser capaz de demostrar las propiedades del género sin verse obligado a establecerlas sucesivamente para cada una de las especies.

Para lograrlo, debemos necesariamente subir de lo particular a lo general, ascendiendo uno o más peldaños.

El procedimiento analítico «por construcción» no nos obliga a descender, sino que nos deja en el mismo nivel.

Solo podemos ascender mediante la inducción matemática, que es la única capaz de enseñarnos algo nuevo. Sin el auxilio de esta inducción, distinta en ciertos aspectos de la inducción física, pero igualmente fecunda, la construcción sería impotente para crear ciencia.

Obsérvese por último que esta inducción solo es posible si la misma operación puede repetirse indefinidamente. Por eso la teoría del ajedrez nunca puede convertirse en una ciencia, pues los diferentes movimientos de una misma partida no se parecen entre sí.

# CAPÍTULO II

# Magnitud matemática y experiencia

Para saber qué entienden los matemáticos por un continuo, no hay que interrogar a la geometría. El geómetra siempre busca representarse a sí mismo más o menos las figuras que estudia, pero sus representaciones son para él solo instrumentos; al hacer geometría utiliza el espacio exactamente igual que la tiza; por eso no debe concedérsele demasiada importancia a lo no esencial, que a menudo no tiene mayor importancia que la blancura de la tiza.

El analista puro no tiene que temer esta roca. Ha desvinculado la ciencia de las matemáticas de todo elemento extraño, y puede responder a nuestra pregunta: «¿De qué trata exactamente este continuo sobre el cual razonan los matemáticos?». Muchos analistas que reflexionan sobre su arte ya han respondido; el señor Tannery, por ejemplo, en su Introduction à la théorie des fonctions d'une variable.

Partamos de la escala de los números enteros; entre dos grados consecutivos, intercalemos uno o varios grados intermediarios, luego entre estos nuevos grados otros aún, y así indefinidamente.

Así tendremos un número ilimitado de términos; estos serán los números llamados fraccionarios, racionales o conmensurables.

Pero esto aún no basta; entre estos términos, que, sin embargo, ya son infinitos en número, todavía es necesario intercalar otros llamados irracionales o inconmensurables.

Una observación antes de ir más lejos. El continuo así concebido no es más que una colección de individuos ordenados de cierta manera, infinitos en número, es verdad, pero exteriores unos a otros. Esta no es la concepción ordinaria, en la que se supone entre los elementos del continuo una suerte de vínculo íntimo que hace de ellos un todo, donde el punto no existe antes que la línea, sino la línea antes que el punto.

De la célebre fórmula, «el continuo es la unidad en la multiplicidad», solo queda la multiplicidad, la unidad ha desaparecido. Los analistas no dejan de tener razón al definir su continuo como lo hacen, pues siempre razonan sobre este mismo en cuanto se ufanan de su rigor. Pero esto basta para advertirnos que el verdadero continuo matemático es una cosa muy diferente del de los físicos y del de los metafísicos.

También se podrá decir tal vez que los matemáticos que se contentan con esta definición son engañados por las palabras, que es necesario decir con precisión cuál es cada uno de estos pasos intermedios, explicar cómo deben intercalarse y demostrar que es posible hacerlo; pero eso sería un error: la única propiedad de estos pasos que se utiliza en sus razonamientos²² es la de ser anteriores o posteriores a tal o cual paso; por tanto, solo esto debe figurar en la definición.

Así pues, cómo deban intercalarse los términos intermediarios no tiene por qué preocuparnos; por otra parte, nadie dudará de la posibilidad de esta operación, a menos que sea por olvidar que posible, en el lenguaje de los geómetras, significa simplemente libre de contradicción.

Nuestra definición, sin embargo, aún no está completa, y vuelvo a ella tras esta digresión demasiado larga.

Definición de inconmensurables.—Los matemáticos de la escuela de Berlín, Kronecker en particular, se han dedicado a construir esta escala continua de números fraccionarios e irracionales sin utilizar ningún material que no sea el número entero. El continuo matemático sería, según este punto de vista, una pura creación de la mente, en la que la experiencia no tendría arte ni parte.

La noción de número racional no pareciéndoles presentar ninguna dificultad, se han esforzado principalmente en definir el número incomensurable. Pero antes de exponer aquí su definición, debo hacer una observación para prevenir el asombro que seguramente suscitará en los lectores no familiarizados con las costumbres de los geómetras.

Los matemáticos no estudian objetos, sino relaciones entre objetos; la sustitución de estos objetos por otros les es, por tanto, indiferente, siempre que las relaciones no cambien. La materia les es indiferente, solo les interesa la forma.

Sin recordar esto, apenas sería comprensible que Dedekind designara con el nombre de número incomensurable a un mero símbolo, es decir, a algo muy diferente de la idea ordinaria de una cantidad, que debería ser medible y casi tangible.

Veamos ahora cuál es la definición de Dedekind:

Los números inconmensurables pueden ser divididos de infinitas maneras en dos clases, tales que cualquier número de la primera clase sea mayor que cualquier número de la segunda clase.

Puede suceder que entre los números de la primera clase haya uno menor que todos los demás; si, por ejemplo, ordenamos en la primera clase todos los números mayores que 2, y el 2 mismo, y en la segunda clase todos los números menores que 2, es evidente que el 2 será el menor de todos los números de la primera clase. El número 2 puede ser elegido como símbolo de esta partición.

Puede suceder, por el contrario, que entre los números de la segunda clase haya uno mayor que todos los demás; este es el caso, por ejemplo, si la primera clase comprende todos los números mayores que 2, y la segunda todos los números menores que 2, y el 2 mismo. Aquí también el número 2 puede ser elegido como símbolo de esta partición.

Pero puede suceder igualmente que ni haya en la primera clase un número menor que todos los demás, ni en la segunda clase un número mayor que todos los demás.

Supongamos, por ejemplo, que ponemos en la primera clase todos los números conmensurables cuyos cuadrados son mayores que 2 y en la segunda todos cuyos cuadrados son menores que 2. No hay ninguno cuyo cuadrado sea precisamente 2.

Evidentemente, no hay en la primera clase un número menor que todos los demás, pues, por muy cerca que el cuadrado de un número pueda estar de 2, siempre podemos encontrar un número conmensurable cuyo cuadrado esté todavía más cerca de 2.

En la opinión de Dedekind, el número incommensurable

√2 o (2)^½

no es más que el símbolo de este modo particular de partición de números conmensurables; y a cada modo de partición corresponde así un número, conmensurable o no, que sirve como su símbolo.

Pero conformarse con esto sería olvidar demasiado el origen de estos símbolos; falta explicar cómo nos ha llevado a atribuirles una especie de existencia concreta y, además, ¿no empieza la dificultad ya para los propios números fraccionarios? ¿Tendríamos la noción de estos números si no hubiéramos conocido previamente una materia que concebimos como infinitamente divisible, es decir, un continuo?

El Continuo Físico.—Nos preguntamos entonces si la noción de continuo matemático no se deriva simplemente de la experiencia. Si así fuera, los datos brutos de la experiencia, que son nuestras sensaciones, serían susceptibles de medición. Podríamos sentirnos tentados a creer que realmente lo son, ya que en estos últimos días se ha intentado medirlas e incluso se ha formulado una ley, conocida como la ley de Fechner, según la cual la sensación es proporcional al logaritmo del estímulo.

Pero si examinamos más de cerca los experimentos mediante los cuales se ha tratado de establecer esta ley, seremos conducidos a una conclusión diametralmente opuesta. Se ha observado, por ejemplo, que un peso A de 10 gramos y un peso B de 11 gramos producen sensaciones idénticas, que el peso B es tan indistinguible de un peso C de 12 gramos, pero que el peso A se distingue fácilmente del peso C. Así, los resultados brutos de la experiencia pueden expresarse mediante las siguientes relaciones:

A = B, B = C, A < C, que puede considerarse como la fórmula del continuo físico.

Pero aquí hay una discordancia intolerable con el principio de contradicción, y la necesidad de detener esto nos ha obligado a inventar el continuo matemático.

Nos vemos, por tanto, obligados a concluir que esta noción ha sido creada enteramente por la mente, pero que la experiencia le ha dado la ocasión.

No podemos creer que dos cantidades iguales a una tercera no sean iguales entre sí, y así somos conducidos a suponer que A es diferente de B y B de C, pero que la imperfección de nuestros sentidos no ha permitido distinguirlas.

Creación del continuo matemático.—Primera etapa.

Hasta aquí bastaría, para dar cuenta de los hechos, con intercalar entre A y B algunos términos, que permanecerían discretos.

¿Qué sucede ahora si recurrimos a algún instrumento para suplir la debilidad de nuestros sentidos, si, por ejemplo, hacemos uso de un microscopio? Términos como A y B, antes indistinguibles, aparecen ahora distintos; pero entre A y B, ahora convertidos en distintos, se intercalará un nuevo término, D, que no podremos distinguir ni de A ni de B. A pesar del empleo de los métodos más altamente perfeccionados, los resultados brutos de nuestra experiencia presentarán siempre las características del continuo físico con la contradicción que le es inherente.

Solo lo eludiremos intercalando incesantemente nuevos términos entre los términos ya distinguidos, y esta operación debe continuarse indefinidamente.

Podríamos concebir la detención de esta operación si pudiéramos imaginar algún instrumento suficientemente potente como para descomponer el continuo físico en elementos discretos, tal como el telescopio resuelve la vía láctea en estrellas.

Pero esto no podemos imaginarlo; de hecho, es con el ojo como observamos la imagen magnificada por el microscopio, y consecuentemente esta imagen debe conservar siempre las características de la sensación visual y consecuentemente las del continuo físico.

Nada distingue una longitud observada directamente de la mitad de esta longitud duplicada por el microscopio. El todo es homogéneo con la parte; esta es una nueva contradicción, o más bien lo sería si se supusiera que el número de términos es finito; de hecho, es evidente que la parte que contiene menos términos que el todo no podría ser semejante al todo.

La contradicción cesa cuando el número de términos se considera infinito; nada impide, por ejemplo, considerar el agregado de los números enteros como semejante al agregado de los números pares, que, sin embargo, solo es una parte de aquel; y, de hecho, a cada número entero le corresponde un número par, su doble.

Pero no es solo para escapar de esta contradicción contenida en los datos empíricos que la mente es conducida a crear el concepto de un continuo, formado por un número indefinido de términos.

Todo ocurre como en la sucesión de los números enteros. Tenemos la facultad de concebir que una unidad puede añadirse a una colección de unidades; gracias a la experiencia, tenemos ocasión de ejercer esta facultad y cobramos conciencia de ello; pero a partir de este momento sentimos que nuestro poder no tiene límite y que podemos contar indefinidamente, aunque nunca hayamos tenido que contar más que un número finito de objetos.

Del mismo modo, tan pronto como nos hemos visto conducidos a intercalar medios entre dos términos consecutivos de una serie, sentimos que esta operación puede continuarse más allá de todo límite y que no hay, por decirlo así, ninguna razón intrínseca para detenerse.

Como abreviatura, llamaré continuo matemático de primer orden a todo agregado de términos formado según la misma ley que la escala de los números commensurables.

Si después intercalamos nuevos pasos según la ley de formación de los números incommensurables, obtendremos lo que llamaremos un continuo de segundo orden.

Second Stage.—We have made hitherto only the first stride; we have explained the origin of continua of the first order; but it is necessary to see why even they are not sufficient and why the incommensurable numbers had to be invented.

Si tratamos de imaginar una línea, esta debe tener las características del continuo físico, es decir, no podremos representarla sino con cierta anchura.

Dos líneas, pues, se nos aparecerán bajo la forma de dos bandas estrechas y, si nos conformamos con esta imagen burda, es evidente que si las dos líneas se cruzan tendrán una parte común.

Pero el geómetra puro hace un esfuerzo adicional; sin renunciar por completo al auxilio de los sentidos, intenta alcanzar el concepto de la línea sin anchura, del punto sin extensión.

Esto solo puede lograrlo considerando la línea como el límite hacia el que tiende una banda cada vez más estrecha, y el punto como el límite hacia el que tiende un área cada vez menor.

Y entonces, nuestras dos bandas, por estrechas que sean, tendrán siempre un área común, tanto menor cuanto más estrechas sean, y cuyo límite será lo que el geómetra puro llama un punto.

Por esto se dice que dos líneas que se cruzan tienen un punto en común, y esta verdad parece intuitiva.

Pero implicaría una contradicción si las líneas fueran concebidas como continuas de primer orden, es decir, si en las líneas trazadas por el geómetra solo se encontraran puntos que tuvieran por coordenadas números racionales. La contradicción se manifestaría tan pronto como uno afirmara, por ejemplo, la existencia de rectas y círculos.

Es evidente, en efecto, de que si solo se consideraran reales los puntos cuyas coordenadas son conmensurables, el círculo inscrito en un cuadrado y la diagonal de dicho cuadrado no se cortarían, ya que las coordenadas del punto de intersección son inconmensurables.

Eso no sería aún suficiente, porque obtendríamos de este modo solamente ciertos números inconmensurables y no todos esos números.

Pero concíbase una línea recta dividida en dos semirrectas. Cada una de estas semirrectas se nos aparecerá en la imaginación como una banda de cierta anchura; estas bandas, además, se invadirán la una a la otra, puesto que no debe haber ningún intervalo entre ellas. La parte común se nos aparecerá como un punto que permanecerá siempre cuando tratemos de imaginar nuestras bandas cada vez más estrechas, de modo que admitimos como una verdad intuitiva que si una recta es cortada en dos semirrectas, su frontera común es un punto; reconocemos aquí la concepción de Dedekind, en la cual un número incomunicable —perdón, inescrutable— [Nota: "incommensurable" se traduce como "inconmensurable"] se consideraba como la frontera común de dos clases de números racionales.

Tal es el origen del continuo de segundo orden, que es el continuo matemático propiamente dicho.

Résumé.—En recapitulación, la mente tiene la facultad de crear símbolos, y es así como ha construido el continuo matemático, que no es sino un sistema particular de símbolos.

Su poder está limitado únicamente por la necesidad de evitar toda contradicción; pero la mente solo hace uso de esta facultad si la experiencia le proporciona un estímulo para ello.

En el caso considerado, este estímulo fue la noción de continuo físico, extraída de los datos burdos de los sentidos.

Pero esta noción conduce a una serie de contradicciones de las cuales es necesario librarnos sucesivamente. Así, nos vemos obligados a imaginar un sistema de símbolos cada vez más complicado.

Aquello en lo que nos detenemos no solo está exento de contradicción interna (ya lo estaba en todas las etapas que hemos recorrido), sino que tampoco está en contradicción con diversas proposiciones llamadas intuitivas, que se derivan de nociones empíricas más o menos elaboradas.

Magnitud mensurable.—Las magnitudes que hemos estudiado hasta ahora no son mensurables; en verdad podemos decir si una dada de estas magnitudes es mayor que otra, pero no si es dos o tres veces mayor.

Hasta ahora, solo he considerado el orden en que se disponen nuestros términos. Pero para la mayoría de las aplicaciones eso no basta. Debemos aprender a comparar el intervalo que separa a dos términos cualesquiera. Solo bajo esta condición el continuo se convierte en una magnitud mensurable y las operaciones de la aritmética son aplicables.

Esto solo puede hacerse con la ayuda de una nueva y especial convención.

Convendremos en que en tal o cual caso el intervalo comprendido entre los términos A y B es igual al intervalo que separa C y D. Por ejemplo, al comienzo de nuestro trabajo hemos partido de la escala de los números enteros y hemos supuesto intercalados entre dos grados consecutivos n grados intermediarios; pues bien, estos nuevos grados serán considerados por convención como equidistantes.

Esta es una manera de definir la adición de dos magnitudes, pues si el intervalo AB es por definición igual al intervalo CD, el intervalo AD será por definición la suma de los intervalos AB y AC.

Esta definición es arbitraria en muy gran medida. No lo es completamente, sin embargo. Está sujeta a ciertas condiciones y, por ejemplo, a las reglas de conmutatividad y asociatividad de la suma. Pero siempre que la definición elegida satisfaga estas reglas, la elección es indiferente, y es inútil particularizarla.

Varias observaciones.—Ahora podemos discutir varias cuestiones importantes:

1º ¿Acaso el poder creador de la mente se agota con la creación del continuo matemático?

No: las obras de Du Bois-Reymond lo demuestran de un modo llamativo.

Sabemos que los matemáticos distinguen entre infinitésimos de diferentes órdenes y que los de segundo orden son infinitesimales, no solo de manera absoluta, sino también en relación con los de primer orden.

No es difícil imaginar infinitésimos de orden fraccionario o incluso irracional, y así volvemos a encontrar esa escala del continuo matemático de la que se ha tratado en las páginas precedentes.

Además, hay infinitésimos que son infinitamente pequeños en relación con los del primer orden y, por el contrario, infinitamente grandes en relación con los del orden 1 + ε, y ello por muy pequeño que sea ε.

He aquí, pues, nuevos términos intercalados en nuestra serie, y si se me permite volver a la fraseología empleada hace poco, que resulta muy cómoda aunque no esté consagrada por el uso, diré que de este modo se ha creado una especie de continuo del tercer orden.

Sería fácil ir más lejos, pero eso sería ocioso; uno no haría más que imaginar símbolos sin posible aplicación, y a nadie se le ocurrirá hacer eso.

El continuo de tercer orden, al que conduce la consideración de los diferentes órdenes de infinitésimos, no es lo suficientemente útil como para haber ganado carta de naturaleza, y los geómetras lo consideran tan solo como una mera curiosidad.

La mente solo utiliza su facultad creadora cuando la experiencia se lo exige.

2º Una vez en posesión del concepto de continuo matemático, ¿está uno a salvo de contradicciones análogas a aquellas que le dieron nacimiento?

No, y pondré un ejemplo.

Hay que ser muy sabio para no considerar evidente que toda curva tiene una tangente; y de hecho, si imaginamos esta curva y una recta como dos bandas estrechas, siempre podemos disponerlas de tal modo que tengan una parte en común sin cruzarse. Si imaginamos entonces que la anchura de estas dos bandas disminuye indefinidamente, esta parte común subsistirá siempre y, en el límite, por decirlo así, las dos líneas tendrán un punto en común sin cruzarse, es decir, serán tangentes.

El geómetra que razona de este modo, consciente o inconscientemente, no hace sino lo que nosotros hemos hecho más arriba para probar que dos líneas que se cortan tienen un punto en común, y su intuición podría parecer igual de legítima.

Sin embargo, aquello lo engañaría. Podemos demostrar que existen curvas que no tienen tangente, si dicha curva se define como un continuo analítico de segundo orden.

Sin duda algún artificio análogo a los que hemos discutido más arriba habría bastado para eliminar la contradicción; pero, como este se encuentra solo en casos muy excepcionales, no ha recibido mayor atención.

En lugar de buscar reconciliar la intuición con el análisis, nos hemos conformado con sacrificar una de las dos, y como el análisis debe seguir siendo impecable, hemos decidido en contra de la intuición.

El continuo físico de varias dimensiones.—Hemos discutido más arriba el continuo físico tal como se deriva de los datos inmediatos de nuestros sentidos, o, si se quiere, de los resultados groseros de los experimentos de Fechner; he mostrado que estos resultados se resumen en las fórmulas contradictorias

A = B,       B = C,       A < C.

Veamos ahora cómo se ha generalizado esta noción y cómo de ella ha surgido el concepto de continentes de muchas dimensiones.

Considérense dos agregados cualesquiera de sensaciones. O bien podemos discriminarlos el uno del otro, o bien no podemos, tal como en los experimentos de Fechner un peso de 10 gramos puede distinguirse de un peso de 12 gramos, pero no de un peso de 11 gramos.

Esto es todo lo que se requiere para construir el continuo de varias dimensiones.

Llamemos elemento a uno de estos agregados de sensaciones. Eso será algo análogo al punto de los matemáticos; sin embargo, no será exactamente la misma cosa.

No podemos decir que nuestro elemento carece de extensión, puesto que no podemos distinguirlo de los elementos vecinos y, por lo tanto, se encuentra rodeado por una especie de neblina. Si se permite la comparación astronómica, nuestros «elementos» serían como nebulosas, mientras que los puntos matemáticos serían como estrellas.

Concedido esto, un sistema de elementos formará un continuo si podemos pasar de cualquiera de ellos a cualquier otro mediante una serie de elementos consecutivos tales que cada uno sea indistinguible del precedente. Esta serie lineal es a la línea del matemático lo que un elemento aislado era al punto.

Antes de ir más lejos, debo explicar qué se entiende por un corte. Considérese un continuo C y retírense de él ciertos elementos suyos que por un instante consideraremos como si ya no pertenecieran a este continuo. El agregado de los elementos así retirados se llamará un corte. Puede ocurrir que, gracias a este corte, C se subdivida en varios continuos distintos, y el agregado de los elementos restantes deje de formar un único continuo.

Habrá entonces en C dos elementos, A y B, que deben considerarse como pertenecientes a dos continuos distintos, y esto se reconocerá porque será imposible encontrar una serie lineal de elementos consecutivos de C, siendo cada uno de estos elementos indistinguible del precedente, el primero A y el último B, sin que uno de los elementos de esta serie sea indistinguible de uno de los elementos del corte.

Por el contrario, puede ocurrir que el corte hecho sea insuficiente para subdividir el continuo C. Para clasificar los continuos físicos, examinaremos con precisión cuáles son los cortes que deben hacerse para subdividirlos.

Si un continuo físico C puede subdividirse mediante un corte que se reduce a un número finito de elementos, todos distinguibles entre sí (y que por consiguiente no forman ni un continuo ni varios continuos), diremos que C es un continuo unidimensional.

Si, por el contrario, C puede subdividirse únicamente mediante cortes que son a su vez continuos, diremos que C tiene varias dimensiones.

Si bastan cortes que sean continuos de una dimensión, diremos que C tiene dos dimensiones; si bastan cortes de dos dimensiones, diremos que C tiene tres dimensiones, y así sucesivamente.

Así queda definida la noción del continuo físico de varias dimensiones, gracias a este hecho tan sencillo de que dos agregados de sensaciones son distinguibles o indistinguibles.

El continuo matemático de varias dimensiones.—De ahí ha surgido de manera muy natural la noción del continuo matemático de n dimensiones, mediante un proceso muy similar al que discutimos al principio de este capítulo. Un punto de dicho continuo, como saben, se nos presenta definido por un sistema de n magnitudes distintas llamadas sus coordenadas.

Estas magnitudes no necesitan ser siempre mensurables; hay, por ejemplo, una rama de la geometría independiente de la medida de dichas magnitudes, en la que solo se trata de saber, por ejemplo, si en una curva ABC, el punto B está entre los puntos A y C, y no de saber si el arco AB es igual al arco BC o dos veces mayor. Esto es lo que se llama Analysis Situs.

Este es todo un cuerpo de doctrina que ha atraído la atención de los más grandes geómetras y en el que vemos fluir unos de otros una serie de teoremas notables.

Lo que distingue a estos teoremas de los de la geometría ordinaria es que son puramente cualitativos y que seguirían siendo verdaderos si las figuras fueran copiadas por un dibujante tan torpe como para distorsionar groseramente las proporciones y reemplazar las líneas rectas por trazos más o menos curvados.

Mediante el deseo de introducir a continuación la medida en el continuo recién definido, este continuo se convierte en espacio, y nace la geometría. Pero la discusión de esto queda reservada para la Segunda Parte.