Números Imaginarios

Si las ideas matemáticas tratadas en el último capítulo han tenido un éxito popular, las del presente capítulo han suscitado casi la misma atención general.

Pero su éxito ha sido de distinta índole, ha sido lo que los franceses denominan un succès de scandale. No solo el hombre práctico, sino también los hombres de letras y los filósofos han expresado su desconcierto ante la devoción de los matemáticos por entidades misteriosas que, por su propio nombre, se confiesan imaginarias.

Llegados a este punto, tal vez sea útil observar que cierto tipo de intelecto se atormenta siempre a sí mismo y a los demás discutiendo sobre la aplicabilidad de los términos técnicos.

¿Se llaman propiamente números a los números inconmensurables?
¿Son realmente números los números positivos y negativos?
¿Son imaginarios los números imaginarios y son números?—son ejemplos de este tipo de preguntas fútiles.

Ahora bien, no se comprenderá nunca con demasiada claridad que, en la ciencia, los términos técnicos son nombres asignados arbitrariamente, como los nombres de pila a los niños.

No puede plantearse en absoluto si los nombres son correctos o incorrectos. Pueden ser acertados o desacertados; pues a veces se pueden disponer de modo que sean fáciles de recordar, o de modo que sugieran ideas relevantes e importantes.

Pero el principio esencial implicado fue enunciado con bastante claridad en el País de las Maravillas a Alicia por Humpty Dumpty, cuando le dijo, a propósito de su uso de las palabras: «Les pago un extra y hago que signifiquen lo que yo quiero».

Así pues, no nos molestaremos en averiguar si los números imaginarios son imaginarios, o si son números, sino que tomaremos la frase como el nombre arbitrario de cierta idea matemática, que ahora nos esforzaremos por aclarar.

El origen de la concepción es en todo similar al de los números positivos y negativos. Exactamente del mismo modo, se debe a las tres grandes ideas matemáticas de la variable, de la forma algebraica y de la generalización.

Los números positivos y negativos surgieron a partir de la consideración de ecuaciones como $x + 1 = 3$ , $x + 3 = 1$ , y la forma general $x + a = b$ .

De manera similar, el origen de los números imaginarios se debe a ecuaciones como $x^{2} + 1 = 3$ , $x^{2} + 3 = 1$ y $x^{2} + a = b$ . Se sigue exactamente el mismo proceso.

La ecuación $x^{2} + 1 = 3$ se convierte en $x^{2} = 2$ , y esta tiene dos soluciones, ya sea $x = + \sqrt{2}$ o $x = - \sqrt{2}$ . La afirmación de que existen estas soluciones alternativas se escribe habitualmente como $x = \pm \sqrt{2}$ .

Hasta aquí todo marcha sobre ruedas, al igual que en el caso anterior.

Pero ahora surge una dificultad análoga. Pues la ecuación $x^{2} + 3 = 1$ da $x^{2} = - 2$ y no hay ningún número positivo o negativo que, al ser multiplicado por sí mismo, dé un cuadrado negativo. Por lo tanto, si nuestros símbolos han de significar los números ordinarios positivos o negativos, no hay solución para $x^{2} = - 2$ , y la ecuación carece de sentido de hecho.

Así, tomando finalmente la forma general $x^{2} + a = b$ , hallamos el par de soluciones $x = \pm \sqrt{(b - a)}$ , si, y solo si, $b$ no es menor que $a$ .

En consecuencia, no podemos afirmar sin restricciones que las «constantes» $a$ y $b$ puedan ser cualesquiera números; es decir, las «constantes» $a$ y $b$ no son, como deberían ser, «variables» independientes y sin restricciones; y así, de nuevo, una multitud de limitaciones y restricciones se acumularán en torno a nuestro trabajo a medida que avancemos.

Por consiguiente, nos aguarda la misma tarea que antes: debemos dar una nueva interpretación a nuestros símbolos, de modo que las soluciones $\pm \sqrt{(b - a)}$ para la ecuación $x^{2} + a = b$ tengan siempre significado. En otras palabras, requerimos una interpretación de los símbolos para que $\sqrt{a}$ tenga siempre significado, ya sea $a$ positivo o negativo.

Por supuesto, la interpretación debe ser tal que se cumplan todas las leyes formales ordinarias de la suma, la resta, la multiplicación y la división; y además no debe interferir con la generalidad que hemos alcanzado mediante el uso de los números positivos y negativos. De hecho, debe en cierto modo incluirlos como casos especiales.

Cuando $a$ es negativo, podemos escribir $- c^{2}$ en su lugar, de modo que $c^{2}$ sea positivo. Entonces

$\sqrt{a} & = \sqrt{(- c^{2})} = \sqrt{{(- 1) \times c^{2}}} & = \sqrt{(- 1)} \sqrt{c^{2}} = c \sqrt{(- 1)} .$

Por consiguiente, si podemos interpretar nuestros símbolos de tal modo que $\sqrt{(- 1)}$ tenga un significado, habremos alcanzado nuestro objetivo.

Así, $\sqrt{(- 1)}$ ha llegado a ser considerada como la cabeza y el frente de todas las cantidades imaginarias.

Este asunto de encontrar una interpretación para $\sqrt{(- 1)}$ es una tarea mucho más difícil que el análogo de interpretar el $- 1$ . De hecho, mientras que el problema más sencillo se resolvió casi instintivamente tan pronto como surgió, al principio apenas se le ocurrió, ni siquiera a los más grandes matemáticos, que aquí existía un problema que tal vez fuera susceptible de solución. Ecuaciones como $x^{2} = - 3$ , cuando aparecían, simplemente se descartaban por considerarlas un sinsentido.

Sin embargo, se fue percibiendo gradualmente durante el siglo XVIII, e incluso antes, lo sumamente conveniente que sería que pudiera asignarse una interpretación a estos símbolos sin sentido.

Se realizaba un razonamiento formal con estos símbolos, asumiendo simplemente que obedecían las leyes ordinarias de transformación algebraica; y se vio que se podía alcanzar todo un mundo de resultados interesantes, con tal de que estos símbolos pudieran usarse legítimamente.

Muchos matemáticos no tenían entonces muy clara la lógica de su procedimiento, y cundió la idea de que, de algún modo misterioso, unos símbolos que no significan nada pueden, mediante una manipulación adecuada, arrojar pruebas válidas de proposiciones.

Nada puede ser más erróneo. Un símbolo que no ha sido debidamente definido no es un símbolo en absoluto. Es meramente una mancha de tinta sobre el papel con una forma fácilmente reconocible. Nada puede demostrarse mediante una sucesión de manchas, excepto la existencia de una mala pluma o de un escritor descuidado.

Fue durante esta época que el epíteto "imaginario" pasó a aplicarse a $\sqrt{(- 1)}$ .

Lo que estos matemáticos habían logrado demostrar en realidad era una serie de proposiciones hipotéticas, de las cuales esta es la forma genérica:

Si existen interpretaciones para $\sqrt{(- 1)}$ y para la suma, la resta, la multiplicación y la división de $\sqrt{(- 1)}$ que hagan que se cumplan las reglas algebraicas ordinarias (por ejemplo, $x + y = y + x$ , etc.), entonces se sigue tal o cual resultado.

Era natural que los matemáticos no siempre valoraran el gran "Si" que debería haber precedido a los enunciados de sus resultados.

Como es de esperar, la interpretación, una vez hallada, resultó ser un asunto mucho más elaborado que el de los números negativos, y se debe pedir la atención del lector para realizar algunas explicaciones preliminares cuidadosas.

Ya nos hemos topado con la representación de un punto mediante dos números. Con la ayuda de los 8 números positivos y negativos, podemos ahora representar la posición de cualquier punto en un plano mediante un par de dichos números.

Así pues, tomamos el par de líneas rectas $X O X^{'}$ y $Y O Y^{'}$ , en ángulo recto, como los «ejes» a partir de los cuales iniciamos todas nuestras mediciones.

Las longitudes medidas a lo largo de $O X$ y $O Y$ son positivas, y las medidas hacia atrás a lo largo de $O X^{'}$ y $O Y^{'}$ son negativas.

Supongamos que un par de números, escritos en orden, por ejemplo $(+ 3, + 1)$ , de modo que hay un primer número ( $+ 3$ en el ejemplo anterior) y un segundo número ( $+ 1$ en el ejemplo anterior), representa mediciones desde $O$ a lo largo de $X O X^{'}$ para el primer número, y a lo largo de $Y O Y^{'}$ para el segundo número.

Así (véase la [fig.] 9) en $(+ 3, + 1)$ debe medirse una longitud de $3$ unidades a lo largo de $X O X^{'}$ en dirección positiva, es decir, de $O$ hacia $X$ , y una longitud $+ 1$ medida a lo largo de $Y O Y^{'}$ en dirección positiva, es decir, de $O$ hacia $Y$ .

De manera similar, en $(- 3, + 1)$ la longitud de $3$ unidades debe medirse desde $O$ hacia $X^{'}$ , y la de $1$ unidad desde $O$ hacia $Y$ .

Asimismo, en $(- 3, - 1)$ las dos longitudes deben medirse a lo largo de $O X^{'}$ y $O Y^{'}$ respectivamente, y en $(+ 3, - 1)$ a lo largo de $O X$ y $O Y^{'}$ respectivamente.

Llamemos por el momento a tal par de números un «par ordenado». Entonces, a partir de los dos números $1$ y $3$ , se pueden generar ocho pares ordenados, a saber

Cada uno de estos ocho «pares ordenados» dirige un proceso de medición a lo largo de $X O X^{'}$ y $Y O Y^{'}$ que es diferente del dirigido por cualquiera de los otros.

Los procesos de medición representados por los últimos cuatro pares ordenados, mencionados anteriormente, se muestran gráficamente en la figura.

Las longitudes $O M$ y $O N$ juntas corresponden a $(+ 3, + 1)$ , las longitudes $O M^{'}$ y $O N$ juntas corresponden a $(- 3, + 1)$ , $O M^{'}$ y $O N^{'}$ juntas a $(- 3, - 1)$ , y $O M$ y $O N^{'}$ juntas a $(+ 3, - 1)$ . Pero completando los diversos rectángulos, es fácil ver que el punto $P$ determina por completo y está determinado por el par ordenado 9 $(+ 3, + 1)$ , el punto $P^{'}$ por $(- 3, + 1)$ , el punto $P^{″}$ por $(- 3, - 1)$ y el punto $P^{‴}$ por $(+ 3, - 1)$ .

Más generalmente en la figura anterior ([fig:8]8), el punto $P$ corresponde al par ordenado $(x, y)$ , donde se supone que $x$ e $y$ en la figura son ambos positivos, el punto $P^{'}$ corresponde a $(x^{'}, y)$ , donde se supone que $x^{'}$ en la figura es negativo, $P^{″}$ a $(x^{'} y^{'})$ , y $P^{‴}$ a $(x, y^{'})$ . Así, un par ordenado $(x, y)$ , donde $x$ e $y$ son números cualesquiera positivos o negativos, y el punto correspondiente se determinan recíprocamente el uno al otro.

Es conveniente introducir algunos nombres en este momento. En el par ordenado $(x, y)$ el primer número $x$ se llama la «abscisa» del punto correspondiente, y el segundo número $y$ se llama la «ordenada» del punto, y los dos números juntos se llaman las «coordenadas»

del punto. La idea de determinar la posición de un punto por sus «coordenadas» no era en absoluto nueva cuando se estaba formando la teoría de los «imaginarios». Se debía a Descartes, el gran matemático y filósofo francés, y aparece en su Discours, publicado en Leiden en 1637. La idea del par ordenado como una entidad por derecho propio es de desarrollo posterior y es el resultado de los esfuerzos por interpretar los imaginarios de la manera más abstracta posible.

Puede observarse como una ilustración adicional de esta idea del par ordenado que el punto $M$ en la [fig.] 9 es el par $(+ 3, 0)$ , el punto $N$ es el par $(0, + 1)$ , el punto $M^{'}$ el par $(- 3, 0)$ , el punto $N^{'}$ el par $(0, - 1)$ , el punto $O$ el par $(0, 0)$ .

Otra forma de representar el par ordenado $(x, y)$ es considerarlo como la representación de la línea punteada $O P$ (véase la [fig.] 8), en lugar del punto $P$ .

Así, el par ordenado representa una línea trazada desde un «origen», $O$ , de cierta longitud y en cierta dirección. La línea $O P$ puede llamarse la línea vectorial de $O$ a $P$ , o el paso de $O$ a $P$ .

Vemos, por lo tanto, que en este capítulo no hemos hecho más que ampliar la interpretación que dimos anteriormente de los números positivos y negativos. Este método de representación por vectores es muy útil cuando consideramos el significado que debe atribuirse a las operaciones de suma y multiplicación de pares ordenados.

plus 0.75em minus 0.25em

Pasaremos ahora a esta cuestión y preguntaremos qué significado nos resultará conveniente asignar a la suma de los dos pares ordenados $(x, y)$ y $(x^{'}, y^{'})$ . La interpretación debe:

(a) hacer que el resultado de la suma sea otro par ordenado,

(b) hacer que la operación sea conmutativa, de modo que $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) + (x, y)$ ,

(c) hacer que la operación sea asociativa, de modo que ${(x, y) + (x^{'}, y^{'})} + (u, v) = (x, y) + {(x^{'}, y^{'}) + (u, v)},$

(d) hacer que el resultado de la resta sea único, de modo que cuando busquemos determinar el par ordenado desconocido $(x, y)$ para satisfacer la ecuación $(x, y) + (a, b) = (c, d),$ exista una y sólo una respuesta que podamos representar mediante $(x, y) = (c, d) - (a, b) .$

Todos estos requisitos se satisfacen haciendo que $(x, y) + (x^{'}, y^{'})$ signifique el par ordenado $(x + x^{'}, y + y^{'})$ .

En consecuencia, por definición ponemos $(x, y) + (x^{'}, y^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'}) .$

Nótese que aquí hemos adoptado la costumbre matemática de usar el mismo símbolo $+$ en diferentes sentidos. El $+$ del lado izquierdo de la ecuación tiene el nuevo significado de $+$ que acabamos de definir; mientras que los dos $+$ del lado derecho tienen el significado de la suma de números positivos y negativos (operaciones) que se definió en el capítulo anterior. De este doble uso no se deriva ninguna confusión práctica.

Como ejemplos de suma tenemos

El significado de la sustracción ya está determinado para nosotros. Encontramos que $(x, y) - (u, v) = (x - u, y - v) .$

Por lo tanto, $(+ 3, + 2) - (+ 1, + 1) = (+ 2, + 1),$ y $(+ 1, - 2) - (+ 2, - 4) = (- 1, + 2),$ y $(- 1, - 2) - (+ 2, + 3) = (- 3, - 5) .$

Es fácil ver que $(x, y) - (u, v) = (x, y) + (- u, - v) .$ También $(x, y) - (x, y) = (0, 0) .$ De aquí que $(0, 0)$ deba considerarse como el par ordenado cero. Por ejemplo $(x, y) + (0, 0) = (x, y) .$

La representación gráfica de la suma de pares ordenados es sorprendentemente sencilla.

10 plus 0.75em minus 0.25em Sean $O P$ la representación de $(x, y)$ de modo que $O M = x$ y $P M = y$ ; y $O Q$ la representación de $(x_{1}, y_{1})$ de modo que $O M_{1} = x_{1}$ y $Q M_{1} = y_{1}$ .

Complete el paralelogramo $O P R Q$ mediante las líneas punteadas $P R$ y $Q R$ ; entonces la diagonal $O R$ es el par ordenado $(x + x_{1}, y + y_{1})$ .

Pues tracemos $P S$ paralelo a $O X$ ; entonces es evidente que los triángulos $O Q M_{1}$ y $P R S$ son en todos sus aspectos iguales. De ahí que $M M^{'} = P S = x_{1}$ , y $R S = Q M_{1}$ y por consiguiente

$O M^{'} = O M + M M^{'} = x + x_{1}, R M^{'} = S M^{'} + R S = y + y_{1} .$

Así $O R$ representa el par ordenado según se requiere.

Esta figura también se puede dibujar con $O P$ y $O Q$ en otros cuadrantes.

Es a la vez evidente que hemos vuelto aquí a la ley del paralelogramo, la cual fue mencionada en el capítulo VI, sobre las leyes del movimiento, como aplicable a las velocidades y a las fuerzas.

Se recordará que, si $O P$ y $O Q$ representan dos velocidades, se dice que una partícula se mueve con una velocidad igual a las dos velocidades sumadas si se mueve con la velocidad $O R$ .

En otras palabras, se dice que $O R$ es la resultante de las dos velocidades $O P$ y $O Q$ .

A su vez, las fuerzas que actúan en un punto de un cuerpo pueden representarse mediante líneas tal como pueden hacerlo las velocidades; y se cumple la misma ley del paralelogramo, a saber, que la resultante de las dos fuerzas $O P$ y $O Q$ es la fuerza representada por la diagonal $O R$ .

De ello se deduce que podemos considerar que un par ordenado representa una velocidad o una fuerza, y la regla que acabamos de dar para la suma de pares ordenados representa entonces las leyes fundamentales de la mecánica para la suma de fuerzas y velocidades.

Una de las características más fascinantes de las matemáticas es la sorprendente manera en que las ideas y los resultados de diferentes partes de la disciplina encajan entre sí.

Durante las discusiones de este y el capítulo anterior nos hemos guiado meramente por las más abstractas de las consideraciones matemáticas puras; y, sin embargo, al final de ellas hemos sido conducidos de regreso a la más fundamental de todas las leyes de la naturaleza, leyes que deben estar en la mente de cada ingeniero cuando diseña una máquina, y de cada arquitecto naval cuando calcula la estabilidad de un barco.

No es una paradoja decir que en nuestros estados de ánimo más teóricos podemos estar más cerca de nuestras aplicaciones más prácticas.

[Números Imaginarios] VIIIImageneros Imaginarios (Continuación)

La definición de la multiplicación de pares ordenados se rige exactamente por las mismas consideraciones que la de su adición. La interpretación de la multiplicación debe ser tal que

() el resultado es otro par ordenado,

() la operación es conmutativa, de modo que $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = (x^{'}, y^{'}) \times (x, y),$

() la operación es asociativa, de modo que ${(x, y) \times (x^{'}, y^{'})} \times (u, v) = (x, y) \times {(x^{'}, y^{'}) \times (u, v)},$

() debe hacer que el resultado de la división sea único [con una excepción para el caso de la pareja cero $(0, 0)$ ], de modo que cuando busquemos determinar la pareja incógnita $(x, y)$ para satisfacer la ecuación $(x, y) \times (a, b) = (c, d),$ haya una y solo una respuesta, que podemos representar mediante $(x, y) = (c, d) \div (a, b), o mediante (x, y) = \frac{(c, d)}{(a, b)} .$

() Además, debe cumplirse la ley que involucra tanto la suma como la multiplicación, llamada ley distributiva, a saber

Todas estas condiciones (), (), (), (), () pueden ser satisfechas por una interpretación que, aunque a primera vista parezca complicada, es susceptible de una interpretación geométrica sencilla.

Por definición, establecemos que $(x, y) \times (x^{'}, y^{'}) = {(x x^{'} - y y^{'}), (x y^{'} + x^{'} y)} . \quad\ensuremath{(A)}$

Esta es la definición del significado del símbolo $\times$ cuando se escribe entre dos pares ordenados. Se sigue evidentemente de esta definición que el resultado de la multiplicación es otro par ordenado, y que el valor del segundo miembro de la ecuación (A) no se altera si se intercambian simultáneamente $x$ con $x^{'}$ , e $y$ con $y^{'}$ .

De ahí que las condiciones () y () queden evidentemente satisfechas. La demostración de que se satisfacen (), (), () es igualmente sencilla una vez que hayamos dado la interpretación geométrica, lo cual procederemos a hacer en un momento. Pero antes de hacer esto será interesante detenernos a ver si hemos alcanzado el objetivo para el cual se inició toda esta elaboración.

Nos tropezamos con ecuaciones de la forma $x^{2} = - 3$ , a las cuales no se les podían asignar soluciones en términos de números reales positivos y negativos. Encontramos entonces que todas nuestras dificultades desaparecerían si pudiéramos interpretar la ecuación $x^{2} = - 1$ , es decir, si pudiéramos definir $\sqrt{(- 1)}$ de tal modo que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ .

Now let us consider the three special ordered couplesFor the future we follow the custom of omitting the $+$ sign wherever possible, thus $(1, 0)$ stands for $(+ 1, 0)$ and $(0, 1)$ for $(0, + 1)$ . $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , and $(0, 1)$ .

Ya hemos demostrado que $(x, y) + (0, 0) = (x, y) .$

Además, ahora tenemos $(x, y) \times (0, 0) = (0, 0) .$

Por tanto, tanto para la adición como para la multiplicación, el par $(0, 0)$ desempeña el papel de cero en la aritmética elemental y en el álgebra; compárense las ecuaciones anteriores con $x + 0 = x$ y $x \times 0 = 0$ .

Consideremos de nuevo $(1, 0)$ : esto hace el papel de $1$ en la aritmética y el álgebra elementales. En estas ciencias elementales, la característica especial de $1$ es que $x \times 1 = x$ , para todos los valores de $x$ .

Ahora, según nuestra ley de multiplicación, $(x, y) \times (1, 0) = {(x - 0), (y + 0)} = (x, y) .$

Por lo tanto, $(1, 0)$ es el par unitario.

Finalmente consideremos $(0, 1)$ : este nos interpretará el símbolo $\sqrt{(- 1)}$ . Por lo tanto, el símbolo debe poseer la propiedad característica de que $\sqrt{(- 1)} \times \sqrt{(- 1)} = - 1$ . Ahora bien, según la ley de multiplicación para pares ordenados $(0, 1) \times (0, 1) = {(0 - 1), (0 + 0)} = (- 1, 0) .$

Pero $(1, 0)$ es el par unidad, y $(- 1, 0)$ es el par unidad negativo; de modo que $(0, 1)$ tiene la propiedad deseada. Hay, sin embargo, dos raíces de $- 1$ que deben proporcionarse, a saber $\pm \sqrt{(- 1)}$ .

Consideremos $(0, - 1)$ ; recordando aquí nuevamente que $(- 1)^{2} = 1$ , hallamos, $(0, - 1) \times (0, - 1) = (- 1, 0)$ .

Por lo tanto, $(0, - 1)$ es la otra raíz cuadrada de $- 1$ .

En consecuencia, los pares ordenados $(0, 1)$ y $(0, - 1)$ son las interpretaciones de $\pm \sqrt{(- 1)}$ en términos de pares ordenados.

Pero ¿cuál corresponde a cuál? ¿Corresponde $(0, 1)$ a $+ \sqrt{(- 1)}$ y $(0, - 1)$ a $- \sqrt{(- 1)}$ , o $(0, 1)$ a $- \sqrt{(- 1)}$ y $(0, - 1)$ a $+ \sqrt{(- 1)}$ ?

La respuesta es que resulta totalmente indiferente qué simbolismo adoptemos.

Los pares ordenados pueden dividirse en tres tipos,

(i) el tipo «imaginario complejo» $(x, y)$ , en el cual ni $x$ ni $y$ son cero;
(ii) el tipo «real» $(x, 0)$ ;
(iii) el tipo «imaginario puro» $(0, y)$ .

Consideremos las relaciones de estos tipos entre sí. Multipliquemos primero entre sí el «imaginario complejo»

pareja $(x, y)$ y la pareja «real» $(a, 0)$ , hallamos $(a, 0) \times (x, y) = (a x, a y) .$

Así, el efecto es meramente multiplicar cada término del par $(x, y)$ por el número real positivo o negativo $a$ .

En segundo lugar, si multiplicamos el par «imaginario complejo» $(x, y)$ por el par «imaginario puro» $(0, b)$ , obtenemos $(0, b) \times (x, y) = (- b y, b x) .$

Aquí el efecto es más complicado, y se comprende mejor en la interpretación geométrica a la que pasamos después de señalar tres casos aún más especiales.

En tercer lugar, multiplicamos la pareja «real» $(a, 0)$ por la imaginaria $(0, b)$ y obtenemos $(a, 0) \times (0, b) = (0, a b) .$

En cuarto lugar, multiplicamos las dos parejas «reales» $(a, 0)$ y $(a^{'}, 0)$ y obtenemos $(a, 0) \times (a^{'}, 0) = (a a^{'}, 0) .$

En quinto lugar, multiplicamos las dos «parejas imaginarias» $(0, b)$ y $(0, b^{'})$ y obtenemos $(0, b) \times (0, b^{'}) = (- b b^{'}, 0) .$

Pasamos ahora a la interpretación geométrica, comenzando primero con algunos casos especiales.

Toma las parejas $(1, 3)$ y $(2, 0)$ y considera la ecuación $(2, 0) \times (1, 3) = (2, 6) .$ 11

En el diagrama ([fig.]11) el vector $O P$ representa $(1, 3)$ , y el vector $O N$ representa $(2, 0)$ , y el vector $O Q$ representa $(2, 6)$ . Así, el producto $(2, 0) \times (1, 3)$ se halla geométricamente tomando la longitud del vector $O Q$ como el producto de las longitudes de los vectores $O P$ y $O N$ , y (en este caso) prolongando $O P$ hasta $Q$ para que tenga la longitud requerida. De nuevo, consideremos el producto $(0, 2) \times (1, 3)$ , tenemos $(0, 2) \times (1, 3) = (- 6, 2) .$

El vector $O N_{1}$ corresponde a $(0, 2)$ y el vector $O R$ a $(- 6, 2)$ . Por lo tanto, $O R$ , que representa al nuevo producto, es perpendicular a $O Q$ y tiene la misma longitud.

Nótese que tenemos la misma ley que regula la longitud de $O Q$ que en el caso anterior, a saber, que su longitud es el producto de las longitudes de los dos vectores que se multiplican juntos; pero ahora que tenemos $O N_{1}$ a lo largo del eje de "ordenadas" $O Y$ , en lugar de $O N$ a lo largo del eje de "abscisas" $O X$ , la dirección de $O P$ ha girado un ángulo recto.

Hasta ahora, en estos ejemplos de multiplicación hemos considerado al vector $O P$ como modificado por los vectores $O N$ y $O N_{1}$ . Obtendremos una pista sobre la ley general de la dirección si invertimos la forma de pensar y consideramos a los vectores $O N$ y $O N_{1}$ como modificados por el vector $O P$ .

La ley para la longitud permanece inalterada; la longitud resultante es la longitud del producto de los dos vectores.

La nueva dirección para el $O N$ ampliado (es decir, $O Q$ ) se encuentra girándolo en la dirección de rotación (antihoraria) desde $O X$ hacia $O Y$ un ángulo igual al ángulo $X O P$ : es una coincidencia de este caso particular que esta rotación haga que $O Q$ se encuentre a lo largo de la línea $O P$ .

Consideremos de nuevo el producto de $O N_{1}$ y $O P$ ; la nueva dirección para el $O N_{1}$ ampliado (es decir, $O R$ ) se encuentra girando $O N$ en la dirección de rotación antihoraria un ángulo igual al ángulo $X O P$ , es decir, el ángulo $N_{1} O R$ es igual al ángulo $X O P$ .

La regla general para la representación geométrica de la multiplicación puede enunciarse ahora así:

El producto de los dos vectores $O P$ y $O Q$ es un vector $O R$ , cuya longitud es el producto de las longitudes de $O P$ y $O Q$ y cuya dirección $O R$ es tal que el ángulo $X O R$ es igual a la suma de los ángulos $X O P$ y $X O Q$ .

De ahí que podamos concebir el vector $O P$ como haciendo girar el vector $O Q$ un ángulo $X O P$ (es decir, $el ángulo Q O R = el ángulo X O P$ ), o el vector $O Q$ como haciendo girar el vector $O P$ un ángulo $X O Q$ (es decir, $el ángulo P O R = el ángulo X O Q$ ).

No demostramos esta ley general, ya que con ello nos veríamos arrastrados a procesos matemáticos más técnicos de los que entran dentro del propósito de este libro.

Pero ahora podemos ver inmediatamente que se cumple la ley asociativa [numerada como () arriba] para la multiplicación. Consideremos primero la longitud del vector resultante; esta se obtiene mediante el proceso ordinario de multiplicación para números reales; y, por tanto, la ley asociativa se cumple para ella.

De nuevo, la dirección del vector resultante se obtiene mediante la mera adición de ángulos, y la ley asociativa también se cumple para este proceso.

Y tanto por lo que respecta a la multiplicación. Hemos indicado ahora rápidamente, al considerar la adición y la multiplicación, cómo se puede construir un álgebra o «cálculo» de vectores en un plano, tal que cualesquiera dos vectores en el plano puedan sumarse, o restarse, y puedan multiplicarse, o dividirse el uno por el otro.

No hemos considerado los detalles técnicos de todos estos procesos porque nos llevaría demasiado lejos en los detalles matemáticos; pero hemos mostrado el modo general de proceder.

Cuando interpretamos nuestros símbolos algebraicos de esta manera, se dice que estamos empleando «cantidades imaginarias» o «cantidades complejas». Estos términos son meros detalles, y tenemos demasiado en qué pensar como para detenernos a averiguar si han sido o no muy afortunadamente elegidos.

El resultado neto de nuestras investigaciones es que cualquier ecuación como $x + 3 = 2$ o $(x + 3)^{2} = - 2$ puede ahora interpretarse siempre en términos de vectores, y hallarse soluciones para ellas. Al buscar tales interpretaciones es conveniente observar que $3$ se convierte en $(3, 0)$ , y $- 2$ en $(- 2, 0)$ , y $x$ se convierte en el par «desconocido» $(u, v)$ : de modo que las dos ecuaciones se transforman respectivamente en $(u, v) + (3, 0) = (2, 0)$ y ${(u, v) + (3, 0)}^{2} = (- 2, 0)$ .

Hemos resuelto ya por completo las dificultades iniciales que nos llamaron la atención tan pronto como consideramos aun los elementos del álgebra.

La ciencia, tal como surge de la solución, es mucho más compleja en sus ideas que aquella con la que comenzamos. De hecho, hemos creado una ciencia nueva y totalmente diferente, que servirá para todos los propósitos para los que se inventó la antigua y para muchos más además.

Pero, antes de que podamos felicitarnos por este resultado de nuestras labores, debemos disipar una sospecha que a estas alturas debería haber surgido en la mente del estudiante. La pregunta que el lector debería hacerse es: ¿Dónde va a parar toda esta invención de nuevas interpretaciones?

Es verdad que hemos logrado interpretar el álgebra de modo que siempre somos capaces de resolver una ecuación de segundo grado como $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ ; pero hay un número interminable de otras ecuaciones, por ejemplo, $x^{3} - 2 x + 4 = 0$ , $x^{4} + x^{3} + 2 = 0$ , y así sucesivamente sin límite. ¿Tenemos que crear una nueva ciencia cada vez que aparece una nueva ecuación?

Ahora bien, si este fuera el caso, el conjunto de nuestras investigaciones precedentes, aunque para ciertas mentes pudieran resultar divertidas, carecería en verdad de muy insignificante importancia.

Pero el gran hecho, que ha hecho posible el análisis moderno, es que, con la ayuda de este cálculo de vectores, cada fórmula que surge puede recibir su adecuada interpretación; y se puede demostrar que la cantidad "desconocida" en cada ecuación indica algún vector.

Así, la ciencia está hoy completa en sí misma en lo que concierne a sus ideas fundamentales. Estaba recibiendo su forma definitiva aproximadamente al mismo tiempo en que la máquina de vapor estaba siendo perfeccionada, y seguirá siendo un arma grande y poderosa para la consecución de la victoria del pensamiento sobre las cosas cuando curiosos especímenes de dicha máquina reposen en los museos en compañía de los yelmos y corazas de una época un poco anterior.