Dinámica
El mundo tuvo que esperar mil ochocientos años hasta que los físicos matemáticos griegos encontraron sucesores.
En los siglos XVI y XVII de nuestra era, grandes italianos, en particular el artista Leonardo da Vinci (nacido en 1452, fallecido en 1519) y Galileo (nacido en 1564, fallecido en 1642), redescubrieron el secreto, ya conocido por Arquímedes, de relacionar las ideas matemáticas abstractas con la investigación experimental de los fenómenos naturales.
Entre tanto, el lento avance de las matemáticas y la acumulación de conocimientos astronómicos precisos habían situado a los filósofos naturales en una posición mucho más ventajosa para la investigación.
Asimismo, la altanera autoafirmación de aquella época, su avidez de experiencia personal, llevó a sus pensadores a querer comprobar por sí mismos lo que sucedía; y el secreto de la relación entre la teoría matemática y el experimento en el razonamiento inductivo fue descubierto en la práctica.
Fue un acto eminentemente característico de la época que Galileo, un filósofo, dejara caer los pesos desde la torre inclinada de Pisa.
Siempre hay hombres de pensamiento y hombres de acción; la física matemática es el producto de una época que combinó en unos mismos hombres los impulsos hacia el pensamiento con los impulsos hacia la acción.
Este asunto de la caída de pesos desde la torre marca de forma pintoresca un paso esencial en el conocimiento, nada menos que el paso hacia la primera adquisición de ideas correctas sobre la ciencia de la dinámica, la ciencia fundamental de todo el tema.
El punto particular en disputa era si los cuerpos de diferentes pesos caerían desde la misma altura en el mismo tiempo. Según un dictamen de Aristóteles, universalmente seguido hasta esa época, el peso más pesado caería más rápido. Galileo afirmó que caerían en el mismo tiempo y demostró su punto dejando caer pesos desde lo alto de la torre inclinada.
Las aparente excepciones a la regla surgen todas cuando, por alguna razón, como una levedad extrema o una gran velocidad, la resistencia del aire es importante. Pero, prescindiendo del aire, la ley es exacta.
El exitoso experimento de Galileo no fue el resultado de una mera corazonada afortunada. Surgió de sus ideas correctas en relación con la inercia y la masa.
La primera ley del movimiento, tal como la enunciamos ahora siguiendo a Newton, es: todo cuerpo continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas impresas.
Esta ley es más que una fórmula seca: es también un peán de triunfo sobre los herejes vencidos. El punto en cuestión puede entenderse suprimiendo de la ley la frase «o de movimiento uniforme en línea recta». Obtenemos así lo que podría considerarse como la fórmula de oposición aristotélica: «Todo cuerpo continúa en su estado de reposo a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas impresas».
En esta última fórmula falsa se afirma que, aparte de la fuerza, un cuerpo continúa en un estado de reposo; y por consiguiente que, si un cuerpo se está moviendo, se requiere una fuerza para mantener el movimiento; de modo que cuando la fuerza cesa, el movimiento cesa.
La verdadera ley newtoniana adopta un punto de vista diametralmente opuesto. El estado de un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza es el de movimiento uniforme en línea recta, y no debe buscarse ninguna fuerza o influencia externa como causa, o, si se prefiere plantear así, como acompañamiento invariable de este movimiento rectilíneo uniforme. El reposo es meramente un caso particular de dicho movimiento, simplemente cuando la velocidad es y sigue siendo cero.
Por lo tanto, cuando un cuerpo se está moviendo, no buscamos ninguna influencia externa excepto para explicar los cambios en la tasa de velocidad o los cambios en su dirección. Mientras el cuerpo se mueva a la misma velocidad y en la misma dirección, no hay necesidad de invocar la ayuda de ninguna fuerza.
La diferencia entre los dos puntos de vista se ve claramente haciendo referencia a la teoría del movimiento de los planetas. Copérnico, a
Polaco, nacido en Thorn, en la Prusia Occidental (nacido en 1473, muerto en 1543), demostró cuán más sencillo era concebir que los planetas, incluida la 4 tierra, giraban alrededor del sol en órbitas casi circulares; y más tarde, Kepler, un matemático alemán, en el año 1609 probó que, en realidad, las órbitas son prácticamente elipses, es decir, un tipo especial de curvas ovaladas que consideraremos más adelante con más detalle.
Inmediatamente surgió la cuestión de cuáles son las fuerzas que mantienen a los planetas en este movimiento.
Según la vieja y falsa opinión, sostenida por Kepler, la velocidad real en sí misma requería preservación mediante fuerza. De este modo, buscó fuerzas tangenciales como en la figura adjunta ([fig:4]4).
Pero según la ley newtoniana, aparte de alguna fuerza, el planeta se movería para siempre con su velocidad existente en línea recta, y por lo tanto se apartaría por completo del sol. Newton, por lo tanto, tuvo que buscar una fuerza que curvara el movimiento 5 para introducirlo en su órbita elíptica. Esto demostró que debía ser una fuerza dirigida hacia el sol como en la figura siguiente ([fig:5]5).
De hecho, la fuerza es la atracción gravitacional del sol que actúa según la ley del inverso del cuadrado de la distancia, la cual ha sido enunciada anteriormente.
La ciencia de la mecánica surgió entre los
griegos a partir del estudio de la teoría de la ventaja mecánica obtenida mediante el uso de una palanca, y también a partir del examen de varios problemas relacionados con los pesos de los cuerpos. Finalmente se asentó sobre sus bases verdaderas a finales del siglo XVI y durante el siglo XVII, como muestra el relato precedente, en parte con el propósito de explicar la teoría de los cuerpos en caída libre, pero principalmente con el fin de proporcionar una teoría científica de los movimientos planetarios.
Pero desde aquellos días la dinámica ha asumido una tarea más ambiciosa, y ahora pretende ser la ciencia última de la cual las demás no son sino ramas. La pretensión se reduce a lo siguiente: a saber, que las diversas cualidades de las cosas perceptibles a los sentidos son meramente nuestro modo peculiar de apreciar los cambios de posición por parte de las cosas que existen en el espacio.
Por ejemplo, supongamos que miramos la Abadía de Westminster. Ha estado ahí, gris e inamovible, durante siglos. Pero, según la teoría científica moderna, esa negrura, que realza tanto nuestra sensación de la inmovilidad del edificio, no es en sí misma más que nuestra manera de apreciar los rápidos movimientos de las moléculas últimas que forman la superficie exterior del edificio y comunican vibraciones a una sustancia llamada éter.
Nuevamente ponemos las manos sobre sus piedras y notamos su temperatura fresca y uniforme, tan emblemática del sereno reposo del edificio. Pero esta sensación de temperatura simplemente marca nuestra percepción de la transferencia de calor de la mano a la piedra, o de la piedra a la mano; y, según la ciencia moderna, el calor no es más que la agitación de las moléculas de un cuerpo.
Por fin, el órgano comienza a tocar, y de nuevo el sonido no es más que el resultado de los movimientos del aire al golpear el tímpano del oído.
Así, el esfuerzo por dar una explicación dinámica de los fenómenos es el intento de explicarlos mediante afirmaciones de la forma general: tal y tal sustancia o cuerpo estaba en este lugar y ahora está en aquel otro.
Así llegamos a la gran idea fundamental de la ciencia moderna: que todas nuestras sensaciones son el resultado de comparaciones de las configuraciones cambiantes de las cosas en el espacio en varios momentos.
De ello se deduce, por tanto, que las leyes del movimiento, es decir, las leyes de los cambios de las configuraciones de las cosas, son las leyes últimas de la ciencia física.
En la aplicación de las matemáticas a la investigación de la filosofía natural, la ciencia hace sistemáticamente lo que el pensamiento ordinario hace de manera casual.
Cuando hablamos de una silla, por lo general nos referimos a algo que hemos estado viendo o sintiendo de algún modo; aunque la mayor parte de nuestro lenguaje presupondrá que hay algo que existe independientemente de nuestra visión o tacto.
Ahora bien, en la física matemática se sigue el camino contrario. La silla se concibe sin ninguna referencia a nadie en particular, ni a ningún modo especial de percepción. El resultado es que la silla se convierte, en el pensamiento, en un conjunto de moléculas en el espacio, o en un grupo de electrones, una porción de éter en movimiento, o como quiera que las ideas científicas actuales la describan. Pero el punto es que la ciencia reduce la silla a cosas que se mueven en el espacio y que influyen en los movimientos mutuos.
Entonces los diversos elementos o factores que intervienen en un conjunto de circunstancias, así concebido, son meramente las cosas, como longitudes de líneas, tamaños de ángulos, áreas y volúmenes, mediante las cuales se pueden fijar las posiciones de los cuerpos en el espacio.
Por supuesto, además de estos elementos geométricos, el hecho del movimiento y el cambio hace necesaria la introducción de las tasas de cambio de dichos elementos, es decir, velocidades, velocidades angulares, aceleraciones y cosas por el estilo.
En consecuencia, la física matemática trata sobre las correlaciones entre números variables que se supone representan las correlaciones que existen en la naturaleza entre las medidas de estos elementos geométricos y sus tasas de cambio.
Pero las leyes matemáticas siempre tratan con variables, y solo en la comprobación ocasional de las leyes mediante referencias a experimentos, o en el uso de las leyes para predicciones especiales, se sustituyen números definidos.
El punto interesante sobre el mundo así concebido de esta manera abstracta a lo largo del estudio de la física matemática, donde solo se consideran las posiciones y formas de las cosas junto con sus cambios, es que los acontecimientos de un mundo tan abstracto son suficientes para «explicar» nuestras sensaciones.
Cuando oímos un sonido, las moléculas del aire han sido agitadas de cierta manera: dada la agitación, o las ondas de aire como se las llama, toda la gente normal oye sonido; y si no hay ondas de aire, no hay sonido.
Y, de manera similar, una causa u origen físico, o un acontecimiento paralelo (según a diferentes personas les pueda gustar expresarlo) subyace a nuestras otras sensaciones. Nuestros propios pensamientos parecen corresponderse con conformaciones y movimientos del cerebro; lesionad el cerebro y lesionaréis los pensamientos.
Entre tanto, los acontecimientos de este universo físico se suceden unos a otros de acuerdo con las leyes matemáticas que ignoran todas las sensaciones, pensamientos y emociones especiales.
Ahora bien, sin duda, este es el aspecto general de la relación del mundo de la física matemática con nuestras emociones, sensaciones y pensamientos; y esto ha suscitado una gran controversia y se ha vertido mucha tinta al respecto.
Solo necesitamos hacer una observación. Toda la situación ha surgido, como hemos visto, del esfuerzo por describir un mundo externo "explicativo" de nuestras diversas sensaciones y emociones individuales, pero un mundo que tampoco depende esencialmente de ninguna sensación en particular ni de ningún individuo en particular.
¿Es semejante mundo meramente un enorme cuento de hadas? Pero los cuentos de hadas son fantásticos y arbitrarios: si en verdad existe tal mundo, debería someterse a una descripción exacta, que determine con precisión sus diversas partes y sus relaciones mutuas.
Ahora bien, en gran medida, este mundo científico sí se somete a esta prueba y permite que sus acontecimientos sean explorados y predichos mediante el aparato de las ideas matemáticas abstractas. Ciertamente parece que aquí tenemos una verificación inductiva de nuestra suposición inicial.
Hay que admitir que ninguna prueba inductiva es concluyente; pero si toda la idea de un mundo que existe independientemente de nuestras percepciones particulares de este fuera errónea, se requeriría una explicación cuidadosa de por qué el intento de caracterizarlo, en términos de ese remanente matemático de nuestras ideas que se le aplicaría, desemboca en un éxito tan notable.
Nos llevaría demasiado lejos entrar en una explicación detallada de las otras leyes del movimiento.
El resto de este capítulo debe dedicarse a la explicación de ideas notables que son fundamentales, tanto para la física matemática como para las matemáticas puras: estas son las ideas de las magnitudes vectoriales y la ley del paralelogramo para la suma de vectores.
Hemos visto que la esencia del movimiento es que un cuerpo estaba en y ahora está en . Esta transferencia de a requiere que se establezcan dos elementos distintos antes de quedar completamente determinada, a saber, su magnitud (es decir, la longitud ) y su dirección. Ahora bien, cualquier cosa, como esta transferencia, que viene dada por completo mediante la determinación de una magnitud y una dirección, se denomina vector.
Por ejemplo, una velocidad requiere para su definición la asignación de una magnitud y de una dirección. Debe ser de tantas millas por hora en tal o cual dirección.
La existencia y la independencia de estos dos elementos en la determinación de una velocidad quedan bien ilustradas por la acción del capitán de un barco, quien se comunica con diferentes subordinados respecto a ellos:
- le indica al jefe de máquinas el número de nudos a los que debe navegar,
- y al timonel el rumbo de la brújula que debe mantener.
Nuevamente, la tasa de cambio de la velocidad, es decir, la velocidad añadida por unidad de tiempo, es también una cantidad vectorial: se denomina aceleración.
Del mismo modo, una fuerza en el sentido dinámico es otra cantidad vectorial. Ciertamente, la naturaleza vectorial de las fuerzas se deduce inmediatamente, según los principios dinámicos, de la de las velocidades y aceleraciones; pero este es un punto en el que no necesitamos profundizar. Basta con decir aquí que una fuerza actúa sobre un cuerpo con una cierta magnitud en una cierta dirección.
Ahora todos los vectores pueden representarse gráficamente mediante líneas rectas. Todo lo que hay que hacer es disponer:
- (i) una escala según la cual las unidades de longitud correspondan a las unidades de magnitud del vector; por ejemplo, una pulgada a una velocidad de millas por hora en el caso de las velocidades, y una pulgada a una fuerza de toneladas de peso en el caso de las fuerzas; y
- (ii) una dirección de la línea en el diagrama que corresponda a la dirección del vector.
Entonces, una línea trazada con el número adecuado de pulgadas de longitud en la dirección adecuada representa el vector requerido en la escala de magnitud asignada arbitrariamente. Esta representación diagramática de vectores es de la máxima importancia. Con su ayuda podemos enunciar la famosa «ley del paralelogramo» para la suma de vectores del mismo tipo pero de diferentes direcciones.
Consideremos el vector de la [figura] 6 como representante de la posición modificada de un cuerpo desde hasta : lo denominaremos vector de traslación. Se observará que, si la reducción de los fenómenos físicos a meros cambios de posición, tal como se ha explicado anteriormente, es correcta, todos los demás tipos de vectores físicos son en realidad reductibles de una u otra forma a este único tipo.
Ahora el transporte final de a se efectúa igualmente bien mediante un transporte de a y un transporte de a , o, completando el paralelogramo , mediante un transporte de a y un transporte de a .
Se dice que estos transportes, aplicados sucesivamente de este modo, se suman. Esto es simplemente una definición de lo que entendemos por la suma de transportes.
Nótese además que, considerando las líneas paralelas como líneas trazadas en la misma dirección, las traslaciones de a y de a pueden concebirse como la misma traslación aplicada a cuerpos en las dos posiciones iniciales y .
Con esta concepción podemos hablar de la traslación de a aplicada a un cuerpo en cualquier posición, por ejemplo en . Así podemos decir que la traslación de a puede concebirse como la suma de las dos traslaciones de a y de a aplicadas en cualquier orden.
Aquí tenemos la ley del paralelogramo para la suma de transportaciones: a saber, si las transportaciones son de a y de a , complete el paralelogramo , y entonces la suma de las dos es la diagonal .
Todo esto a primera vista puede parecer muy artificial. Pero debe observarse que la naturaleza misma nos presenta la idea.
Por ejemplo, un vapor se mueve en la dirección (véase la [fig.] 6) y un hombre camina por su cubierta. Si el vapor estuviera parado, en un minuto llegaría a ; pero durante ese minuto su punto de partida en la cubierta se ha movido a , y su trayectoria en la cubierta se ha movido de a .
De modo que, de hecho, su transporte ha sido de a sobre la superficie del mar. Se nos presenta, sin embargo, analizado como la suma de dos transportes, a saber, uno de a relativamente al vapor, y otro de a que es el transporte del vapor.
Al tomar en cuenta el elemento del tiempo, a saber, un minuto, este diagrama del desplazamiento del hombre representa su velocidad. Pues si representaba tantos pies de desplazamiento, ahora representa un desplazamiento de tantos pies por minuto, es decir, representa la velocidad del hombre.
Entonces y representan dos velocidades, a saber, su velocidad relativa al vapor y la velocidad del vapor, cuya "suma" compone su velocidad completa.
Es evidente que los diagramas y las definiciones relativos a los desplazamientos se convierten en diagramas y definiciones relativos a las velocidades al concebir los diagramas como representaciones de desplazamientos por unidad de tiempo.
Asimismo, los diagramas y las definiciones relativos a las velocidades se convierten en diagramas y definiciones relativos a las aceleraciones al concebir los diagramas como representaciones de velocidades añadidas por unidad de tiempo.
Por consiguiente, por la suma de velocidades vectoriales y de aceleraciones vectoriales, entendemos la suma de acuerdo con la ley del paralelogramo.
Asimismo, según las leyes del movimiento, una fuerza queda plenamente representada por la aceleración vectorial que produce en un cuerpo de masa dada.
En consecuencia, se dirá que las fuerzas se suman cuando su efecto conjunto deba calcularse según la ley del paralelogramo.
Por consiguiente, para los vectores fundamentales de la ciencia, a saber, transportes, velocidades y fuerzas, la suma de dos cualesquiera de la misma especie es la producción de un vector «resultante» según la regla de la ley del paralelogramo.
Con mucho, el tipo más simple de paralelogramo es el rectángulo, y en matemáticas puras es la relación del vector único con los dos vectores componentes, y , en ángulo recto (véase la [fig.] 7), la que continuamente se repite.
Sean , y unidades las que representan las longitudes de , y , y sean unidades de ángulo las que representan la magnitud del ángulo .
Entonces, las relaciones entre , , y , en todos sus múltiples aspectos, constituyen el tema de continua reaparición en las matemáticas puras; y los resultados son del tipo requerido para su aplicación a los vectores fundamentales de la física matemática.
Este diagrama es el puente principal a través del cual los resultados de las matemáticas puras pasan para lograr su aplicación a los hechos de la naturaleza.