Secciones Cónicas

Cuando los geómetras griegos hubieron agotado, según creían, las propiedades más evidentes e interesantes de las figuras compuestas por líneas rectas y círculos, pasaron al estudio de otras curvas; y, con su instinto casi infalible para dar con cosas dignas de reflexión, se dedicaron principalmente a las cónicas, es decir, a las curvas en las que los planos cortan las superficies de los conos circulares.

El hombre a quien debe atribuirse el mérito de haber inventado este estudio es Menecmo (nacido en 375 y fallecido en 325 ); fue discípulo de Platón y uno de los tutores de Alejandro Magno.

Alejandro, a propósito, es un ejemplo conspicuo de las ventajas de una buena enseñanza, pues otro de sus tutores fue el filósofo Aristóteles. Podemos sospechar que

Alexander encontró a Menecmo como un maestro bastante aburrido, pues se cuenta que le pidió que acortara las demostraciones. Fue a esta petición a la que Menecmo respondió:

"En el campo hay caminos privados y hasta reales, pero en geometría hay un solo camino para todos".

Esta respuesta era sin duda lo suficientemente cierta en el sentido en el que Alejandro la habría entendido inmediatamente. Pero si Menecmo pensaba que sus demostraciones no podían acortarse, estaba gravemente equivocado; y la mayoría de los matemáticos modernos se aburrirían horriblemente si se vieran obligados a estudiar las demostraciones griegas de las propiedades de las secciones cónicas.

Nada ilustra mejor el aumento de poder que se obtiene mediante la introducción de ideas relevantes en una ciencia que observar el acortamiento progresivo de las demostraciones que acompaña al crecimiento de la riqueza conceptual. Hay un cierto tipo de matemático que siempre se muestra bastante impaciente por detenerse en las ideas de una asignatura: está deseando pasar de inmediato a las demostraciones de problemas "importantes".

La historia de la ciencia está completamente en su contra. Hay caminos reales en la ciencia; pero quienes los transitan por primera vez son hombres de genio y no reyes.

La forma en que las cónicas se presentaron por primera vez a los matemáticos fue la siguiente: piénsese en un cono (véase [fig.] 15), cuyo vértice (o punta) es $V$ , asentado sobre una base circular $S T U$ . Por ejemplo, una pantalla cónica para una luz eléctrica suele ser un ejemplo de dicha superficie.

Ahora bien, supóngase que todas las líneas «generatrices» que pasan por $V$ y yacen sobre la superficie se prolongan hacia atrás; el resultado es un cono doble, y $P Q R$ es otra sección transversal circular en el lado opuesto de $V$ respecto a la sección transversal $S T U$ . El eje del cono $C V C^{'}$ pasa por todos los centros de estos círculos y es perpendicular a sus planos, los cuales son paralelos entre sí.

En el diagrama, las partes de las curvas que se supone que yacen detrás del plano del papel se representan con líneas de puntos, y las partes que están sobre el plano o frente a él son líneas continuas. Supóngase ahora que este cono doble es cortado por un plano que no es perpendicular al eje $C V C^{'}$ , o al menos no necesariamente perpendicular a él. Entonces pueden presentarse tres casos:–

(1) El plano puede cortar el cono en una curva ovalada cerrada, tal como $A B A^{'} B^{'}$ , que se encuentra enteramente en uno de los dos medios conos. En este caso, el plano no intersectará en absoluto al otro medio cono. Dicha curva se llama elipse; es una curva ovalada. Un caso particular de tal sección del cono ocurre cuando el plano es perpendicular al eje $C V C^{'}$ , entonces la sección, tal como $S T U$ o $P Q R$ , es una circunferencia. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de la elipse.

(2) El plano puede compararse con un plano tangente que toca al cono a lo largo de una de sus líneas «generatrices», como por ejemplo el plano de la curva $D_{1} A_{1} D_{1}^{'}$ en el diagrama es paralelo al plano tangente que toca al cono a lo largo de la generatriz $V S$ ; la curva sigue estando confinada en uno de los semiconos, pero ahora no es una curva ovalada cerrada, sino que se extiende indefinidamente mientras las generatrices del semicono se prolonguen alejándose del vértice. Tal sección cónica se llama parábola.

(3) El plano puede cortar a ambos semiconos, de modo que la curva completa consta de dos porciones separadas, o «ramas» como se les llama, y este caso se ilustra con las dos ramas $G_{2} A_{2} G_{2}^{'}$ y $L_{2} A_{2}^{'} L_{2}^{'}$ que juntas forman la curva. Ninguna de las ramas es cerrada; cada una de ellas se extiende indefinidamente a medida que los dos semiconos se prolongan alejándose del vértice. Dicha sección cónica se llama hipérbola.

Hay por lo tanto tres tipos de secciones cónicas, a saber, elipses, parábolas e hipérbolas.

Es fácil ver que, en cierto sentido, las parábolas son casos límite que se encuentran entre las elipses y las hipérbolas. Forman una clase más especial y deben satisfacer una condición más particular.

Estos tres nombres se deben aparentemente a Apolonio de Pérgamo (nacido hacia el 260 y muerto hacia el 200 a. C.), quien escribió un tratado sistemático sobre las secciones cónicas que siguió siendo la obra de referencia hasta el siglo XVI.

Debe resultar evidente de inmediato cuán engorrosa y difícil debió de ser para los geómetras griegos la investigación de las propiedades de estas curvas.

Las curvas son curvas planas, y sin embargo su investigación implica el dibujo en perspectiva de una figura sólida. Así, en el diagrama dado más arriba prácticamente no hemos trazado ninguna línea auxiliar y, sin embargo, la figura es bastante complicada.

Las curvas son curvas planas, y parece evidente que deberíamos poder definirlas sin necesidad de salir del plano hacia una figura sólida. Al mismo tiempo, así como en la definición «sólida» hay un método uniforme de definición —a saber, la sección de un cono por un plano— que produce tres casos, también en cualquier definición «plana» debería haber un método uniforme de procedimiento que se divida en tres casos.

Sus formas al ser dibujadas en sus planos son las de las líneas curvas en las tres figuras [fig:16]16, [fig:17]17 y [fig:18]18. Los puntos $A$ y $A^{'}$ en las figuras se llaman

18 los vértices y la línea $A A^{'}$ el eje mayor. Se observará que una parábola (v. [fig.] 17)

tiene un solo vértice. Apolonio demostróCf. Ball, loc. cit., para este relato de Apolonio y Pappus. que la razón de $P M^{2}$ a $A M \cdot M A^{'}$ $(es decir, \frac{P M^{2}}{A M \cdot M A^{'}})$ permanece constante tanto para la elipse como para la hipérbola (figs. [fig:16]16 y [fig:18]18), y que la razón de $P M^{2}$ a $A M$ es constante para la parábola de la [fig.]17; y basa la mayor parte de su obra en este hecho. Evidentemente estamos avanzando hacia la deseada definición uniforme que no sale del plano; pero aún no hemos alcanzado del todo la uniformidad.

En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán marcados dos puntos, $S$ y $S^{'}$ , y en el [diagrama]17 un punto, $S$ . Estos son los focos de las curvas y son puntos de la mayor importancia.

Apolonio sabía que para una elipse la suma de $S P$ y $S^{'} P$ (es decir, $S P + S^{'} P$ ) es constante a medida que $P$ se mueve sobre la curva, y es igual a $A A^{'}$ .

De manera similar, para una hipérbola, la diferencia $S^{'} P - S P$ es constante e igual a $A A^{'}$ cuando $P$ está en una rama, y la diferencia $S P^{'} - S^{'} P^{'}$ es constante e igual a $A A^{'}$ cuando $P^{'}$ está en la otra rama.

Pero ningún punto correspondiente parecía existir para la parábola.

Finalmente, $500$ años después, el último gran geómetra griego, Pappus de Alejandría, descubrió el secreto final que completaba esta línea de pensamiento. En los diagramas [fig:16]16 y [fig:18]18 se verán dos líneas, $X N$ y $X^{'} N^{'}$ , y en el [diagram]17 la única línea, $X N$ . Estas son las directrices de las curvas, dos cada una para la elipse y la hipérbola, y una para la parábola. Cada directriz corresponde a su foco más cercano.

La propiedad característica de un foco, $S$ , y su directriz correspondiente, $X N$ , para cualquiera de los tres tipos de curva, es que la razón

$S P$ a $P N$ $(es decir, \frac{S P}{P N})$ es constante, donde $P N$ es la perpendicular a la directriz desde $P$ , y $P$ es cualquier punto de la curva.

Aquí hemos encontrado por fin la propiedad deseada de las curvas que no requiere que abandonemos el plano, y se enuncia de manera uniforme para las tres curvas.

Para las elipses la razónCf. Nota B, noteB.136 es menor que $1$ , para las parábolas es igual a $1$ , y para las hipérbolas es mayor que $1$ .

Cuando Papo hubo terminado sus investigaciones, debió de sentir que, aparte de ampliaciones menores, el tema estaba prácticamente agotado; y si hubiera podido prever la historia de la ciencia durante más de mil años, eso habría confirmado su creencia.

Sin embargo, en verdad, las ideas realmente fructíferas en relación con esta rama de las matemáticas ni siquiera se habían rozado todavía, y nadie había intuido sus aplicaciones supremamente importantes en la naturaleza.

No se puede dar advertencia más impresionante a quienes confinan el conocimiento y la investigación a lo aparentemente útil que la reflexión de que las cónicas se estudiaron durante mil ochocientos años meramente como una ciencia abstracta, sin pensar en otra utilidad que la de satisfacer el anhelo de conocimiento por parte de los matemáticos, y que luego, al final de este largo periodo de estudio abstracto, se descubrió que eran la clave necesaria para alcanzar el conocimiento de una de las leyes más importantes de la naturaleza.

Mientras tanto, el estudio, completamente distinto, de la astronomía había estado avanzando. El gran astrónomo griego Ptolomeo (fallecido en 168 d. C.)

publicó su tratado estándar sobre el tema en la Universidad de Alejandría, explicando los movimientos aparentes entre las estrellas fijas del sol y los planetas mediante la concepción de la tierra en reposo y el sol y los planetas girando a su alrededor.

Durante los siguientes mil trecientos años, el número y la precisión de las observaciones astronómicas aumentaron, con el resultado de que la descripción de los movimientos de los planetas basada en la hipótesis de Ptolomeo tuvo que hacerse cada vez más complicada.

Copérnico (nacido

1473 y fallecido en 1543) señaló que los movimientos de estos cuerpos celestes podían explicarse de manera más sencilla si se suponía que el sol estaba inmóvil, y se concebía que la tierra y los planetas giraban a su alrededor. Sin embargo, todavía pensaba en estos movimientos como esencialmente circulares, aunque modificados por un conjunto de pequeñas correcciones superpuestas arbitrariamente a los movimientos circulares primarios.

Así estaban las cosas cuando Kepler nació en Stuttgart, Alemania, en 1571. Existían dos ciencias, la de la geometría de las secciones cónicas y la de la astronomía, ambas estudiadas desde la más remota antigüedad sin la menor sospecha de conexión entre ambas. Kepler era astrónomo, pero también era un hábil geómetra y, en el tema de las secciones cónicas, había llegado a ideas adelantadas a su tiempo.

Él es solo uno de los muchos ejemplos de la falsedad de la idea de que el éxito en la investigación científica exige una absorción exclusiva en una sola línea de estudio estrecha. Las ideas novedosas son más propensas a surgir de una combinación inusual de conocimientos—no necesariamente de un vasto conocimiento, sino de una comprensión profunda de los métodos y las ideas de líneas de pensamiento distintas.

Se recordará que a Charles Darwin le ayudó a llegar a su concepción de la ley de la evolución la lectura del famoso ensayo sobre la población de Malthus, una obra que trataba sobre un tema diferente—al menos, así se pensaba entonces.

Kepler enunció tres leyes del movimiento planetario, las dos primeras en 1609, y la tercera diez años más tarde. Son las siguientes:

(1) Las órbitas de los planetas son elipses, estando el Sol en el foco.

(2) A medida que un planeta se mueve en su órbita, el vector de posición desde el Sol hasta el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.

(3) Los cuadrados de los tiempos periódicos de los diversos planetas son proporcionales a los cubos de sus ejes mayores.

Estas leyes demostraron ser solo una etapa hacia un desarrollo más fundamental de las ideas.

Newton (nacido en 1642 y muerto

1727 ) concibió la idea de la gravitación universal, a saber, que dos porciones cualesquiera de materia se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta amplia ley general, unida a las tres leyes del movimiento que él configuró en su forma general definitiva, demostró ser adecuada para explicar todos los fenómenos astronómicos, incluidas las leyes de Kepler, y ha constituido la base de la física moderna.

Entre otras cosas, demostró que los cometas podían describir órbitas elípticas muy alargadas, o parábolas, o hipérbolas que son casi parábolas. Los cometas que regresan —como el cometa Halley— deben, por supuesto, moverse en elipses. Pero el paso fundamental en la demostración de la ley de la gravitación, e incluso en la sugerencia de su concepción inicial, fue la verificación de las leyes de Kepler que relacionan los movimientos de los planetas con la teoría de las secciones cónicas.

Desde el siglo XVII en adelante, la teoría abstracta de las curvas ha participado en el doble renacimiento de la geometría debido a la introducción de la geometría coordenadas y de la geometría proyectiva.

En geometría proyectiva, las ideas fundamentales giran en torno a la consideración de conjuntos (o haces, como se les llama) de líneas que pasan por un punto común (el vértice del «haz»).

Ahora bien (v. [fig.] 19), si $A$ , $B$ , $C$ , $D$ son cuatro puntos fijos cualesquiera en una sección cónica y $P$ es un punto variable sobre la curva, el haz de líneas $P A$ , $19$ $P B$ , $P C$ y $P D$ tiene una propiedad especial, conocida como la constancia de su razón doble. Bastará con decir aquí que la razón doble es una idea fundamental en geometría proyectiva.

Para la geometría proyectiva, esta es en realidad la definición de las curvas, o alguna propiedad análoga que le sea verdaderamente equivalente. Se verá cuán lejos nos hemos apartado, en el transcurso de las edades de estudio, de la antigua idea original de las secciones de un cono circular. Sabemos ahora que los griegos se habían aferrado a una propiedad menor de importancia comparativamente leve; aunque, por alguna divina fortuna, las curvas en sí mismas merecían toda la atención que se les prestaba.

Esta insignificancia de la idea de «sección» queda señalada hoy en la fraseología matemática ordinaria al omitir dicha palabra de sus nombres. Con frecuencia se les llama simplemente «cónicas» en lugar de «secciones cónicas».

Por fin, volvemos al punto en el que dejamos la geometría analítica en el capítulo anterior. Nos habíamos preguntado cuál era el tipo de lugares geométricos correspondientes a la forma algebraica general $a x + b y = c$ , y habíamos descubierto que era la clase de las líneas rectas en el plano. Habíamos visto que toda línea recta posee una ecuación de esta forma, y que toda ecuación de esta forma corresponde a una línea recta.

Ahora deseamos avanzar hacia el siguiente tipo general de formas algebraicas. Este se obtiene evidentemente introduciendo términos que contienen $x^{2}$ , $x y$ y $y^{2}$ . Por lo tanto, la nueva forma general debe escribirse:–-

$a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0 .$

¿Qué representa esto? La respuesta es que (cuando representa algún lugar geométrico) siempre representa una sección cónica y, además, que la ecuación de cualquier sección cónica siempre puede adoptar esta forma.

La discriminación de los tipos particulares de cónicas dados por esta forma de ecuación es muy sencilla. Depende enteramente de la consideración de $a b - h^{2}$ , donde $a$ , $b$ y $h$ son las "constantes" tal como se escribieron arriba.

Si $a b - h^{2}$ es un número positivo, la curva es una elipse;
si $a b - h^{2} = 0$ , la curva es una parábola;
y si $a b - h^{2}$ es un número negativo, la curva es una hipérbola.

Por ejemplo, hagamos $a = b = 1$ , $h = g = f = 0$ , $c = - 4$ . Obtenemos entonces la ecuación $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ . Es fácil demostrar que esta es la ecuación de una circunferencia, cuyo centro está en el origen y su radio es de $2$ unidades de longitud.

Ahora $a b - h^{2}$ se convierte en $1 \times 1 - 0^{2}$ , es decir, $1$ , y por lo tanto es positivo. De ahí que la circunferencia sea un caso particular de una elipse, como debe ser.

Generalizando, la ecuación de cualquier circunferencia puede ponerse en la forma $a (x^{2} + y^{2}) + 2 g x + 2 f y + c = 0$ . Por lo tanto, $a b - h^{2}$ se convierte en $a^{2} - 0$ , es decir, $a^{2}$ , que es necesariamente positivo. En consecuencia, todas las circunferencias satisfacen la condición para las elipses.

La forma general de la ecuación de una parábola es $(d x + e y)^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ , de modo que los términos de segundo grado, como se les llama, pueden escribirse como un cuadrado perfecto. Al desarrollar el cuadrado, obtenemos $d^{2} x^{2} + 2 d e x y + e^{2} y^{2} + 2 g x + 2 f y + c$ ; de modo que, por comparación, $a = d^{2}$ , $h = d e$ , $b = e^{2}$ y, por lo tanto, $a b - h^{2} = d^{2} e^{2} - (d e)^{2} = 0$ . De este modo, la condición necesaria se satisface automáticamente.

La ecuación $2 x y - 4 = 0$ , donde $a = b = g = f = 0$ , $h = 1$ , $c = - 4$ , representa una hipérbola. Pues la condición $a b - h^{2}$ se convierte en $0 - 1^{2}$ , es decir, $- 1$ , que es negativa.

plus 0.75em minus 0.25em

La limitación, introducida al decir que, cuando la ecuación general representa cualquier lugar geométrico, representa una sección cónica, es necesaria, porque algunos casos particulares de la ecuación general no representan ningún lugar geométrico real. Por ejemplo, $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ no puede ser satisfecha por ningún valor real de $x$ e $y$ . Es habitual decir que el lugar geométrico está compuesto ahora por puntos imaginarios. Pero esta idea de los puntos imaginarios en geometría es en realidad de una gran complejidad, en la que no entraremos ahora.

Se incluyen en la forma general de la ecuación algunos casos excepcionales que tal vez no se reconozcan inmediatamente como secciones cónicas. Eligiendo adecuadamente las constantes, se puede hacer que la ecuación represente dos líneas rectas.

Ahora bien, se puede afirmar con justicia que dos líneas rectas que se cortan entran dentro de la idea griega de sección cónica. Pues, si se consulta la imagen del cono doble anterior, se verá que algunos planos que pasan por el vértice, $V$ , cortarán el cono en un par de líneas rectas que se cortan en $V$ .

El caso de dos líneas rectas paralelas puede incluirse considerando un cilindro circular como un caso particular de cono. Entonces, un plano que lo corte y sea paralelo a su eje lo cortará en dos líneas rectas paralelas.

De cualquier modo, ya sea que los antiguos griegos hubieran permitido o no que estos casos especiales fueran llamados secciones cónicas, ciertamente están incluidos entre las curvas representadas por la forma algebraica general de segundo grado. Este hecho es digno de mención; pues es característico de las matemáticas modernas incluir entre las formas generales todo tipo de casos particulares que antiguamente habrían recibido un tratamiento especial. Esto se debe a su búsqueda de generalidad.