Geometría

La geometría, como el resto de las matemáticas, es abstracta. En ella se estudian las propiedades de las formas y las posiciones relativas de las cosas. Pero no necesitamos considerar quién observa las cosas, ni si llega a conocerlas por la vista, el tacto o el oído.

En resumen, ignoramos todas las sensaciones particulares. Además, se ignoran las cosas particulares, como las Casas del Parlamento o el globo terráqueo. Cada proposición se refiere a cualesquiera cosas que posean tales o cuales propiedades geométricas.

Por supuesto, ayuda a nuestra imaginación mirar ejemplos particulares de esferas, conos, triángulos y cuadrados. Pero las proposiciones no se aplican meramente a las figuras reales impresas en el libro, sino a cualquier figura de ese tipo.

Así, la geometría, al igual que el álgebra, está dominada por las ideas de cosas "cualesquiera" y "algunas" cosas.

Asimismo, del mismo modo estudia las interrelaciones entre conjuntos de cosas. Por ejemplo, consideremos dos triángulos cualesquiera $A B C$ y $D E F$ .

¿Qué relaciones deben existir entre algunas de las partes de estos triángulos, para que los triángulos puedan ser en todos sus aspectos iguales?

Esta es una de las primeras investigaciones emprendidas en todas las geometrías elementales. Es un estudio 33 de cierto conjunto de correlaciones posibles entre los dos triángulos.

La respuesta es que los triángulos son en todos sus aspectos iguales, si:––

O bien,
- (a) Dos lados del uno y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados del otro y el ángulo comprendido:

O, (b) Dos ángulos de uno y el lado adyacente a ellos son respectivamente iguales a dos ángulos del otro y el lado adyacente a ellos:

Esta respuesta sugiere inmediatamente una nueva investigación. ¿Cuál es la naturaleza de la correlación entre los triángulos cuando los tres ángulos del uno son respectivamente iguales a los tres ángulos del otro? Esta investigación adicional nos conduce a toda la teoría de la semejanza (véase el cap. XIII.), que es otro tipo de correlación.

Nuevamente, para tomar otro ejemplo, consideremos la estructura interna del triángulo $A B C$ . Sus lados y ángulos están interrelacionados: el ángulo mayor se opone al lado mayor, y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si pasamos a la trigonometría, esta correlación recibe una determinación más exacta en la forma familiar $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c},$ $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ , con otras dos fórmulas similares.

También existe la correlación aún más simple entre los ángulos del triángulo, a saber, que su suma es igual a dos ángulos rectos; y entre los tres lados, a saber, que la suma de las longitudes de cualesquiera dos es mayor que la longitud del tercero.

Así, el verdadero método para estudiar geometría es pensar en figuras simples e interesantes, como el triángulo, el paralelogramo y el círculo, e investigar las correlaciones entre sus diversas partes.

El geómetra tiene en su mente no una proposición aislada, sino una figura cuyas diversas partes son mutuamente interdependientes. Así como en álgebra, generaliza el triángulo en el polígono, y el lado en la sección cónica.

O bien, siguiendo una ruta inversa, clasifica los triángulos según sean equiláteros, isósceles o escalenos, los polígonos según su número de lados, y las secciones cónicas según sean hipérboles, elipses o parábolas.

Los ejemplos precedentes ilustran cómo las ideas fundamentales de la geometría son exactamente las mismas que las del álgebra; excepto que el álgebra trata con números y la geometría con líneas, ángulos, áreas y otras entidades geométricas.

Esta identidad fundamental es una de las razones por las cuales tantas verdades geométricas pueden vestirse de álgebra.

Así, si $A$ , $B$ y $C$ son los números de grados, respectivamente, en los ángulos del triángulo $A B C$ , la correlación entre los ángulos está representada por la ecuación $A + B + C = 180 °;$ y si $a$ , $b$ , $c$ son los números de pies, respectivamente, en los tres lados, la correlación entre los lados está representada por $a < b + c$ , $b < c + a$ , $c < a + b$ .

Asimismo, las fórmulas trigonométricas citadas anteriormente son otros ejemplos del mismo hecho. Por lo tanto, la noción de variable y la correlación de variables es tan esencial en la geometría como lo es en el álgebra.

Pero el paralelismo entre la geometría y el álgebra puede llevarse todavía más lejos, debido a que las longitudes, áreas, volúmenes y ángulos son todos medibles; de modo que, por ejemplo, el tamaño de cualquier longitud puede ser determinado por el número (no necesariamente entero) de veces que contiene alguna unidad conocida arbitrariamente, y de manera similar para áreas, volúmenes y ángulos.

Las fórmulas trigonométricas dadas anteriormente son ejemplos de este hecho. Pero recibe su aplicación culminante en la geometría analítica. Este gran tema suele ser mal llamado Secciones Cónicas Analíticas, fijando así la atención en meramente una de sus subdivisiones. Es como si la gran ciencia de la antropología fuera llamada el Estudio de las Narices, debido al hecho de que las narices son una parte prominente del cuerpo humano.

Aunque los procedimientos matemáticos en la geometría y en el álgebra son en esencia idénticos y están entrelazados en su desarrollo, existe necesariamente una distinción fundamental entre las propiedades del espacio y las propiedades del número; de hecho, toda la diferencia esencial entre el espacio y el número.

La «espacialidad» del espacio y la «numerosidad» del número son cosas esencialmente diferentes, y deben ser directamente aprehendidas. Ninguna de las aplicaciones del álgebra a la geometría ni de la geometría al álgebra avanza ni un solo paso en el camino para borrar esta distinción vital.

Una diferencia muy marcada entre el espacio y el número es que el primero parece ser mucho menos abstracto y fundamental que el segundo.

El número de los arcángeles se puede contar precisamente porque son cosas. Una vez que sabemos que sus nombres son Rafael, Gabriel y Miguel, y que estos nombres distintos representan seres distintos, sabemos sin mayor duda que son tres.

Todas las sutilezas del mundo sobre la naturaleza de las existencias angélicas no pueden alterar este hecho, dadas las premisas.

Pero seguimos estando bastante a oscuras en cuanto a su relación con el espacio. ¿Existen en el espacio en absoluto? Tal vez sea igualmente absurdo decir que están aquí, o allí, o en cualquier parte, o en todas partes. Su existencia puede sencillamente no tener relación con localidades en el espacio. En consecuencia, si bien los números deben aplicarse a todas las cosas, no es necesario que el espacio lo haga.

La percepción de la localidad de las cosas parecería acompañar, o estar implícita en muchas, o en todas, nuestras sensaciones.

Es independiente de cualquier sensación particular en el sentido de que acompaña a muchas sensaciones. Pero es una peculiaridad especial de las cosas que aprehendemos mediante nuestras sensaciones.

La aprehensión directa de lo que entendemos por las posiciones de las cosas unas respecto de otras es algo sui generis, exactamente igual que lo son las aprehensiones de los sonidos, los colores, los sabores y los olores.

A primera vista, por lo tanto, parecería que las matemáticas, en la medida en que incluyen la geometría en su ámbito, no son abstractas en el sentido en que se les atribuye la abstracción en I.

Esto, sin embargo, es un error; la verdad es que la "espacialidad" del espacio no entra en absoluto en nuestro razonamiento geométrico.

Entra en las intuiciones geométricas de los matemáticos de maneras personales y peculiares para cada individuo. Pero lo que entra en el razonamiento son meramente ciertas propiedades de las cosas en el espacio, o de las cosas que forman el espacio, cuyas propiedades son completamente abstractas en el sentido en que lo abstracto fue definido en I.; estas propiedades no implican ninguna aprehensión espacial, intuición espacial o sensación espacial peculiar. Están exactamente sobre la misma base que las propiedades matemáticas del número.

Así, la intuición espacial, que es una ayuda tan esencial para el estudio de la geometría, es lógicamente irrelevante: no interviene en las premisas cuando estas se enuncian correctamente, ni en ningún paso del razonamiento. Posee la importancia práctica de un ejemplo, el cual es esencial para estimular nuestros pensamientos.

Los ejemplos son igualmente necesarios para estimular nuestros pensamientos sobre el número. Cuando pensamos en «dos» y «tres», vemos rayas en fila, o bolas en un montón, o alguna otra agregación física de cosas particulares.

La peculiaridad de la geometría es la fijeza y la abrumadora importancia del único ejemplo particular que acude a nuestras mentes. La forma lógica abstracta de las proposiciones, cuando se enuncia por completo, es: "Si cualquier colección de cosas tiene tales y cuales propiedades abstractas, también tiene tales y cuales otras propiedades abstractas".

Pero lo que aparece ante el ojo de la mente es una colección de puntos, líneas, superficies y volúmenes en el espacio; este ejemplo aparece inevitablemente, y es el único ejemplo que confiere a la proposición su interés. Sin embargo, a pesar de toda su abrumadora importancia, no es más que un ejemplo.

La geometría, considerada como una ciencia matemática, es una división de la ciencia más general del orden.

Puede llamarse la ciencia del orden dimensional; la calificación "dimensional" se ha introducido porque las limitaciones, que la reducen a solo una parte de la ciencia general del orden, son tales que producen las relaciones regulares de las líneas rectas con los planos, y de los planos con la totalidad del espacio.

Es fácil comprender la importancia práctica del espacio en la formación de la concepción científica de un mundo físico externo.

Por un lado, nuestras percepciones espaciales están entrelazadas en nuestras diversas sensaciones y las conectan entre sí. Normalmente juzgamos que tocamos un objeto en el mismo lugar en que lo vemos; e incluso en los casos anormales lo tocamos en el mismo espacio en que lo vemos, y este es el hecho real fundamental que une nuestras diversas sensaciones.

En consecuencia, las percepciones del espacio son, en cierto modo, la parte común de nuestras sensaciones.

Por otra parte, sucede que las propiedades abstractas del espacio forman una gran parte de todo aquello que tiene interés espacial. No es exagerado decir que a cada propiedad del espacio le corresponde una declaración matemática abstracta.

Para tomar el ejemplo más desfavorable, una curva puede tener una belleza de forma especial; pero a esta forma le corresponderán algunas propiedades matemáticas abstractas que van con esta forma y con ninguna otra.

Así, para resumir: (1) las propiedades del espacio que se investigan en la geometría, al igual que las del número, son propiedades que pertenecen a las cosas en cuanto cosas, y sin referencia especial a ningún modo particular de aprehensión: (2) La percepción del espacio acompaña a nuestras sensaciones, tal vez a todas ellas, ciertamente a muchas; pero no parece ser una cualidad necesaria de las cosas que todas deban existir en un solo espacio o en cualquier espacio.