Geometría Coordinada

Los métodos y las ideas de la geometría analítica ya se han empleado en los capítulos anteriores. Ha llegado el momento de considerarlos más de cerca por sí mismos; y al hacerlo reforzaremos nuestra comprensión de otras ideas a las que hemos llegado.

En este capítulo y en los siguientes volveremos a la idea de los números reales positivos y negativos, y prescindiremos de los imaginarios que se introdujeron en los dos últimos capítulos.

Hemos estado usando perpetuamente la idea de que, tomando dos ejes, $X O X^{'}$ y $Y O Y^{'}$ , en un plano, cualquier punto $P$ en ese plano puede quedar determinado en su posición por un par de números positivos o negativos $x$ e $y$ , donde (cf. [fig.] 13) $x$ es la longitud $O M$ e $y$ es la longitud $P M$ .

Esta concepción, por simple que parezca, es la idea principal del gran tema de la geometría analítica. Su descubrimiento marca una época trascendental en la historia del pensamiento matemático. Se debe (como ya se ha dicho) al filósofo Descartes, y se le ocurrió como un método matemático importante una mañana mientras yacía en la cama.

Los filósofos, cuando han poseído un conocimiento exhaustivo de las matemáticas, han estado entre aquellos que han enriquecido la 13 ciencia con algunas de sus mejores ideas. Por otro lado, hay que decir que, sin apenas excepción, todas las observaciones sobre matemáticas hechas por aquellos filósofos que solo han poseído un conocimiento escaso, o precipitado y adquirido tardíamente, carecen por completo de valor, ya que son triviales o erróneas.

El hecho es curioso, dado que las ideas últimas de las matemáticas parecen, después de todo, muy simples, casi con una simplicidad infantil, y se encuentran plenamente dentro de los dominios del pensamiento filosófico. Probablemente su misma simplicidad sea la causa del error; no estamos acostumbrados a pensar en cosas abstractas tan simples, y se requiere un largo entrenamiento para asegurar incluso una inmunidad parcial al error tan pronto como nos apartamos de la senda trillada del pensamiento.

El descubrimiento de la geometría analítica, y también el de la geometría proyectiva por la misma época, ilustran otro hecho que se verifica continuamente en la historia del conocimiento, a saber, que algunos de los mayores descubrimientos han de hacerse entre los temas más conocidos.

Para cuando llegó el siglo XVII, la geometría ya se había estado estudiando durante más de dos mil años, incluso si fechamos su surgimiento con los griegos. Euclides, que enseñó en la Universidad de Alejandría, nació alrededor del año 330; y él no hizo sino sistematizar y ampliar la obra de una larga serie de predecesores, algunos de ellos hombres de genio.

Tras él, generación tras generación de matemáticos laboraron en la mejora de la materia. Ni tampoco sufrió la materia de ese obstáculo fatal para el progreso, a saber, que su estudio estuviera confinado a un grupo reducido de hombres de similar origen y perspectiva; todo lo contrario fue el caso: para el siglo XVII había pasado por las mentes de egipcios y griegos, de árabes y de alemanes.

Y sin embargo, tras toda esta labor dedicada a ella a lo través de tantas edades por mentes tan diversas, sus secretos más importantes aún estaban por ser descubiertos.

Nadie puede haber estudiado ni siquiera los elementos de la geometría elemental sin sentir la falta de algún método orientador.

Cada proposición debe ser probada mediante un nuevo despliegue de ingenio; y una ciencia para la cual esto es verdad carece del gran requisito del pensamiento científico, a saber, el método.

Ahora bien, el punto esencial de la geometría analítica es que por primera vez introdujo un método. Las deducciones remotas de una ciencia matemática no son de primordial importancia teórica. La ciencia no se ha perfeccionado hasta que consiste, en esencia, en la exposición de grandes métodos afines mediante los cuales se puede obtener fácilmente información sobre cualquier tema deseado que se encuentre dentro de su alcance.

El crecimiento de una ciencia no se da principalmente en volumen, sino en ideas; y cuanto más crecen las ideas, menores son las deducciones que vale la pena poner por escrito.

Desafortunadamente, las matemáticas siempre están entorpecidas por la repetición en los libros de texto de incontables proposiciones subsidiarias, cuya importancia se ha perdido al ser absorbidas en el papel de casos particulares de verdades más generales; y, como ya hemos insistido, la generalidad es el alma de las matemáticas.

Una vez más, la geometría analítica ilustra otra característica de las matemáticas que ya ha sido señalada, a saber, que las ciencias matemáticas, a medida que se desarrollan, encajan perfectamente entre sí y comparten las mismas ideas en común.

No es exagerado afirmar que las diversas ramas de las matemáticas se someten a un proceso perpetuo de generalización y que, a medida que se generalizan, se fusionan.

Aquí también la razón brota de la propia naturaleza de la ciencia, su generalidad, es decir, del hecho de que la ciencia trata con las verdades generales que se aplican a todas las cosas en virtud de su propia existencia como cosas.

A este respecto, el interés de la geometría analítica radica en el hecho de que relaciona la geometría, que comenzó como la ciencia del espacio, y el álgebra, que tiene su origen en la ciencia del número.

Recordemos ahora las ideas principales de las dos ciencias y veamos después cómo se relacionan mediante el método de coordenadas de Descartes. Tomemos el álgebra en primer lugar. No nos preocuparemos por los imaginarios y pensaremos meramente en los números reales con signos positivos o negativos. La idea fundamental es la de cualquier número, el número variable, que se denota mediante una letra y no mediante un numeral definido.

Pasamos a continuación a la consideración de las correlaciones entre variables.

Por ejemplo, si $x$ e $y$ son dos variables, podemos concebirlas como correlacionadas por las ecuaciones $x + y = 1$ , o por $x - y = 1$ , o de cualquier otra manera entre un número indefinido de ellas.

Esto conduce de inmediato a la aplicación de la idea de forma algebraica. Pensamos, de hecho, en cualquier correlación de algún tipo de interés, elevándonos así desde la concepción inicial de números variables a la concepción secundaria de correlaciones variables de números.

Así generalizamos la correlación $x + y = 1$ , en la correlación $a x + b y = c$ . Aquí $a$ , $b$ y $c$ , al ser letras, representan cualquier número y son de hecho ellas mismas variables.

Pero son las variables que determinan la correlación variable; y la correlación, una vez determinada, correlaciona los números variables $x$ e $y$ . Las variables, como $a$ , $b$ y $c$ anteriores, que se utilizan para determinar la correlación se denominan «constantes» o parámetros.

El uso del término «constante» en este contexto para algo que es realmente una variable puede parecer extraño a primera vista; pero en realidad es muy natural. Pues la investigación matemática se ocupa de la relación entre las variables $x$ e $y$ , después de que se suponga que $a$ , $b$ , $c$ han sido determinadas. Así que, en cierto sentido, en relación con $x$ e $y$ , las «constantes» $a$ , $b$ y $c$ son constantes.

De este modo, $a x + b y = c$ representa el ejemplo general de cierta forma algebraica, es decir, de una correlación variable perteneciente a cierta clase.

Nuevamente generalizamos $x^{2} + y^{2} = 1$ en $a x^{2} + b y^{2} = c$ , o aún más en $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} = c$ , o, todavía más, en $a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y = c$ .

Aquí de nuevo nos vemos conducidos a correlaciones variables que están indicadas por sus diversas formas algebraicas.

Ahora pasemos a la geometría.

El nombre de la ciencia trae de inmediato a nuestras mentes la idea de figuras y diagramas que muestran triángulos, rectángulos, cuadrados y círculos, todos en relaciones especiales entre sí.

El estudio de las propiedades simples de estas figuras es la materia de la geometría elemental, tal como se presenta correctamente al principiante. Sin embargo, un momento de reflexión mostrará que este no es el verdadero concepto de la disciplina.

Puede que sea correcto que un niño comience su razonamiento geométrico con formas, como triángulos y cuadrados, que ha recortado con tijeras. ¿Qué es, sin embargo, un triángulo? Es una figura trazada y delimitada por tres trozos de tres líneas rectas.

Ahora bien, el límite de los espacios mediante fragmentos de líneas es una idea muy complicada, y en absoluto una que ofrezca esperanza alguna de exhibir las sencillas concepciones generales que deberían constituir los cimientos del tema. Queremos algo más simple y más general.

Es esta obsesión con las ideas iniciales equivocadas —ideas muy naturales y buenas para la creación de los primeros pensamientos sobre el tema— la que fue la causa de la estéril comparativa del estudio de la ciencia durante tantos siglos. A la geometría analítica, y a Descartes, su inventor, se le debe atribuir el mérito de revelar los verdaderos objetos simples para el pensamiento geométrico.

En lugar de un trozo de línea recta, pensemos en la totalidad de una línea recta a lo largo de su longitud interminable en ambas direcciones. Este es el tipo de idea general de donde partir para nuestras investigaciones geométricas.

Los griegos jamás parecieron encontrar utilidad alguna para esta concepción, que hoy es fundamental en todo el pensamiento geométrico moderno. Euclides siempre contempla la línea recta como trazada entre dos puntos definidos, y es muy cuidadoso en mencionar cuándo debe prolongarse más allá de este segmento. Nunca piensa en la entidad de la línea como dada de una vez por todas en su totalidad.

Esta cuidadosa definición y limitación, de modo que se excluyera un infinito no inmediatamente aparente a los sentidos, fue muy característica de los griegos en todas sus múltiples actividades. Se encuentra consagrada en la diferencia entre la arquitectura griega y la arquitectura gótica, y entre la religión griega y la religión moderna. El chapitel de una catedral gótica y la importancia de la línea recta ilimitada en la geometría moderna son ambos emblemáticos de la transformación del mundo moderno.

La línea recta, considerada como un todo, es en consecuencia la idea raíz de la que parte la geometría moderna.

Pero entonces se nos ocurren otros tipos de líneas, y llegamos a la concepción de la curva completa que en cada uno de sus puntos presenta alguna característica uniforme, del mismo modo que la línea recta presenta en todos los puntos la característica de la rectitud.

Por ejemplo, está el círculo, que en todos los puntos presenta la característica de estar a una distancia dada de su centro, y también está la elipse, que es una curva ovalada tal que la suma de las dos distancias de cualquier punto de ella a dos puntos fijos, llamados focos, es constante para todos los puntos de la curva.

Es evidente que un círculo es meramente un caso particular de una elipse cuando los dos focos se superponen en el mismo punto; pues entonces la suma de las dos distancias es simplemente el doble del radio del círculo.

Los antiguos conocían las propiedades de la elipse y del círculo y, por supuesto, los consideraban como todos. Por ejemplo, Euclides nunca parte de meros segmentos (es decir, trozos) de círculos, que luego son prolongados. Él siempre considera el círculo entero como trazado.

Es una pena que el círculo no sea la verdadera línea fundamental en su geometría, de modo que su consideración defectuosa de la línea recta podría haber tenido menos importancia.

Esta idea general de una curva que en cualquiera de sus puntos presenta alguna propiedad uniforme se expresa en geometría con el término «lugar geométrico».

Un lugar geométrico es la curva (o superficie, si no nos limitamos a un plano) formada por puntos que poseen todos alguna propiedad dada. A cada propiedad en relación mutua que los puntos puedan tener le corresponde algún lugar geométrico, que consta de todos los puntos que poseen dicha propiedad.

Al investigar las propiedades de un lugar geométrico considerado como un todo, consideramos cualquier punto o puntos del lugar geométrico. Así, en geometría nos encontramos de nuevo con la idea fundamental de la variable. Además, al clasificar los lugares geométricos bajo rúbricas tales como líneas rectas, círculos, elipses, etc., volvemos a encontrar la idea de forma.

Por consiguiente, así como en álgebra nos ocupamos de números variables, de correlaciones entre números variables y de la clasificación de las correlaciones en tipos según la idea de forma algebraica; así también en geometría nos ocupamos de puntos variables, de puntos variables que satisfacen alguna condición de modo que forman un lugar geométrico, y de la clasificación de los lugares geométricos en tipos según la idea de condiciones de la misma forma.

Ahora bien, la esencia de la geometría analítica es la identificación de la correlación algebraica con el lugar geométrico.

El punto en un plano está representado en álgebra por sus dos coordenadas, $x$ e $y$ , y la condición satisfecha por cualquier punto del lugar geométrico está representada por la correlación correspondiente entre $x$ e $y$ .

Finalmente, a las correlaciones expresables en alguna forma algebraica general, tal como $a x + b y = c$ , les corresponden lugares geométricos de algún tipo general, cuyas condiciones geométricas son todas de la misma forma.

Hemos llegado así a una posición en la que podemos efectuar un intercambio completo de ideas y resultados entre las dos ciencias. Cada ciencia arroja luz sobre la otra y gana a su vez un poder inmensurable.

Es imposible no sentirse conmovido al pensar en las emociones de los hombres en ciertos momentos históricos de aventura y descubrimiento: Colón cuando vio por primera vez la costa occidental, Pizarro cuando contempló el Pacífico

Océano, Franklin cuando la chispa eléctrica saltó de la cuerda de su cometa, Galileo cuando dirigió por primera vez su telescopio a los cielos. Tales momentos también se les conceden a los estudiantes en las regiones abstractas del pensamiento, y muy alto entre ellos debe situarse la mañana en que Descartes yacía en la cama e inventó el método de la geometría analítica.

Una vez que se ha comprendido la idea de la geometría analítica, la pregunta inmediata que acude a la mente es: ¿Qué clase de lugares geométricos corresponden a las formas algebraicas bien conocidas?

Por ejemplo, el más simple entre los tipos generales de formas algebraicas es $a x + b y = c$ . La clase de lugar geométrico que corresponde a esto es una línea recta, y recíprocamente, a cada línea recta le corresponde una ecuación de esta forma.

Es afortunado que el más simple de los lugares geométricos corresponda a la más simple de las formas algebraicas. En efecto, es esta correspondencia general de simplicidad geométrica y algebraica la que confiere a todo el tema su potencia. Emana del hecho de que la conexión entre la geometría y el álgebra no es casual y artificial, sino profunda y esencial.

La ecuación que corresponde a un lugar geométrico se llama la ecuación "del" (o "al") lugar geométrico. Algunos ejemplos de ecuaciones de líneas rectas ilustrarán el tema.

Considere $y - x = 0$ ; aquí la $a$ , la $b$ y la $c$ de la forma general han sido reemplazadas por $- 1$ , $1$ y $0$ respectivamente.

Esta línea pasa por el «origen», $O$ , en el diagrama y biseca el ángulo $X O Y$ . Es la línea $L^{'} O L$ del diagrama.

El hecho de que pase por el origen, $O$ , se ve fácilmente observando que la ecuación se satisface al poner $x = 0$ y $y = 0$ simultáneamente, pero $0$ y $0$ son las coordenadas de $O$ .

De hecho, es fácil generalizar y ver por el mismo método que la ecuación de cualquier línea que pasa por el origen es de la forma $a x + b y = 0$ .

El lugar geométrico de la ecuación $y + x = 0$ también pasa por el origen y biseca el ángulo $X^{'} O Y$ : es la línea $L_{1} O L_{1}^{'}$ del diagrama.

Consideremos $y - x = 1$ : el lugar geométrico correspondiente no pasa por el origen. Por lo tanto, buscamos dónde corta a los ejes.

Debe cortar al eje de $x$ en algún punto de coordenadas $x$ y $0$ . Pero poniendo $y = 0$ en la ecuación, obtenemos $x = - 1$ ; de modo que las coordenadas de este punto $(A)$ son $1$ y $0$ . De manera similar, el punto $(B)$ donde la línea corta al eje $O Y$ son $0$ y $1$ .

El lugar geométrico es la línea $A B$ de la figura y es paralela a $L O L^{'}$ . Del mismo modo, $y + x = 1$ es la ecuación de la línea $A_{1} B$ de la figura; y el lugar geométrico es paralelo a $L_{1} O L_{1}^{'}$ .

Es fácil demostrar el teorema general de que dos líneas representadas por ecuaciones de las formas $a x + b y = 0$ y $a x + b y = c$ son paralelas.

El siguiente grupo de loci con el que nos tropezamos es lo suficientemente importante como para merecer un capítulo por sí mismo. Pero antes de pasar a él, nos detendremos un poco más en las ideas principales del tema.

La posición de cualquier punto $P$ se determina eligiendo arbitrariamente un origen, $O$ , dos ejes,

$O X$ y $O Y$ , en ángulo recto, y anotando luego sus coordenadas $x$ e $y$ , es decir, $O M$ y $P M$ (véase la [fig.] 13). Asimismo, como hemos visto en el último capítulo, $P$ puede determinarse mediante el «vector» $O P$ , donde la idea del vector incluye tanto una dirección determinada como una longitud determinada.

Desde un punto de vista matemático abstracto, la idea de un origen arbitrario puede parecer artificial y torpe, y lo mismo ocurre con los ejes trazados arbitrariamente, $O X$ y $O Y$ .

Pero en relación con la aplicación de las matemáticas al acontecimiento del Universo, estamos simbolizando aquí con sencilla franqueza el hecho más fundamental respecto a la perspectiva del mundo que nos brindan nuestros sentidos.

Cada uno de nosotros remite sus percepciones sensibles de las cosas a un origen que llamamos «aquí»: nuestra ubicación en una parte particular del espacio en torno a la cual agrupamos el Universo entero es el hecho esencial de nuestra existencia corporal.

Podemos imaginar seres que observan todos los fenómenos en todo el espacio con ojo imparcial, sin inclinarse a favor de ninguna parte. Con nosotros ocurre de otro modo, un gato a nuestros pies reclama más atención que un terremoto en el cabo de Hornos, o que la destrucción de un mundo en la Vía Láctea.

Es verdad que al poner nuestro conocimiento en común con nuestros semejantes, tenemos que renunciar a algo del estricto egoísmo de nuestro propio «aquí» individual. Sustituimos el «aquí» por el «casi aquí»; así medimos las millas desde el ayuntamiento de la ciudad más cercana, o desde la capital del país.

Al medir la tierra, los hombres de ciencia sitúan el origen en el centro de la tierra; los astrónomos llegan incluso al altruismo extremo de situar su origen dentro del sol. Pero, por muy lejano que sea este último origen, e incluso si vamos más allá hasta algún punto conveniente entre las estrellas fijas más próximas, aun así, en comparación con las inmensurables infinitudes del espacio, sigue siendo cierto que nuestro primer procedimiento para explorar el Universo es fijar un origen «casi aquí».

Nuevamente, la relación de las coordenadas $O M$ y $M P$ (es decir, $x$ e $y$ ) con el vector $O P$ es un ejemplo de la famosa ley del paralelogramo, como puede verse fácilmente (véase la [fig.] 8) completando el paralelogramo $O M P N$ .

La idea del "vector" $O P$ , es decir, de una magnitud dirigida, es la idea fundamental de la ciencia física. Todo cuerpo en movimiento tiene una cierta magnitud de velocidad en una cierta dirección, es decir, su velocidad es una magnitud dirigida, un vector. Asimismo, una fuerza tiene una cierta magnitud y una dirección definida.

De este modo, cuando en la geometría analítica se introducen las ideas del "origen", de las "coordenadas" y de los "vectores", estamos estudiando las concepciones abstractas que corresponden a los hechos fundamentales del mundo físico.