Series

Ninguna parte de las Matemáticas sufre más por la trivialidad de su presentación inicial a los principiantes que el gran tema de las series.

Se consideran dos ejemplos menores de series, a saber, las series aritméticas y geométricas; estos ejemplos son importantes porque son los casos más sencillos de una teoría general importante. Pero las ideas generales nunca se revelan; y así los ejemplos, que no ejemplifican nada, quedan reducidos a tonterías triviales.

La idea matemática general de una serie es la de un conjunto de cosas dispuestas en orden, es decir, en secuencia; este significado está representado con precisión en el uso común del término.

Considérese, por ejemplo, la serie de los primeros ministros británicos durante el siglo XIX, ordenados según el período en que asumieron por primera vez ese cargo dentro de dicho siglo. La serie comienza con William Pitt y termina con

Lord Rosebery, que, con bastante propiedad, es el biógrafo del primer miembro. Podríamos haber considerado otros órdenes seriados para la disposición de estos hombres; por ejemplo, según su altura o su peso. Estos otros órdenes sugeridos nos parecen triviales en relación con los primeros ministros, y no se le ocurrirían a uno de forma natural; pero, en abstracto, son órdenes tan buenos como cualquier otro. Cuando un orden entre términos es mucho más importante u obvio que los demás órdenes, a menudo se le denomina el orden de dichos términos. Así, el orden de los números enteros siempre se entendería como su orden dispuesto según su magnitud. Pero, por supuesto, existe un número indefinido de otras formas de disponerlos. Cuando el número de cosas consideradas es finito, el número de formas de disponerlas en orden se denomina el número de sus permutaciones. El número de permutaciones de un conjunto de $n$ cosas, donde $n$ es algún número entero finito, es $n \times (n - 1) \times (n - 2) \times (n - 3) \times \dots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1,$ es decir, es el producto de los primeros $n$ enteros; este producto es tan importante en matemáticas que se utiliza una simbología especial para él, y siempre se escribe ` $𝑛!$ '. Así, $2! = 2 \times 1 = 2$ , y $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ , y $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ , y $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . A medida que $n$ aumenta, el valor de $n!$ crece con mucha rapidez; así, $100!$ es cien veces mayor que $99!$ .

Es fácil comprobar en el caso de valores pequeños de $n$ que $n!$ es el número de maneras de ordenar $n$ cosas. Así, consideremos dos cosas $a$ y $b$ ; estas son capaces de los dos órdenes $a b$ y $b a$ , y $2! = 2$ .

Nuevamente, tómense tres cosas $a$ , $b$ y $c$ ; estas son capaces de los seis órdenes, $a b c$ , $a c b$ , $b a c$ , $b c a$ , $c a b$ , $c b a$ , y $3! = 6$ .

De manera similar para los veinticuatro órdenes en los cuales cuatro cosas $a$ , $b$ , $c$ y $d$ pueden ser dispuestas.

Cuando llegamos a los conjuntos infinitos de cosas —como los conjuntos de todos los enteros, o de todas las fracciones, o de todos los números reales, por ejemplo—, tropezamos de inmediato con las complicaciones de la teoría de los tipos de orden.

Este tema se rozó en el capítulo VI al considerar los órdenes posibles de los enteros, de las fracciones y de los números reales. Toda la cuestión de los tipos de orden constituye una rama de las matemáticas comparativamente nueva y de gran importancia. No la consideraremos más.

Todas las series infinitas que consideramos ahora son del mismo tipo de orden que los enteros dispuestos en orden ascendente de magnitud, es decir, con un primer término, y tales que cada término tiene un par de vecinos inmediatos, uno a cada lado, con la excepción del primer término que tiene, por supuesto, un solo vecino inmediato.

Así, si $m$ es cualquier entero (distinto de cero), siempre habrá un término $m$ -ésimo. Una serie con un número finito de términos (digamos $n$ términos) tiene las mismas características en lo que respecta a los vecinos inmediatos que una serie infinita; solo se diferencia de la serie infinita en que tiene un último término, a saber, el $n$ -ésimo.

Lo importante que hay que hacer con una serie de números —empleando en lo sucesivo «serie» en el sentido restringido que acaba de mencionarse— es sumar sus términos sucesivos.

Así pues, si $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , , $u_{n}$ , son respectivamente el $1$ er, $2$ do, $3$ er, $4$ to, , $n$ -ésimo término de una serie de números, formamos sucesivamente las series $u_{1}$ , $u_{1} + u_{2}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3}$ , $u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4}$ , y así sucesivamente; por lo tanto, la suma de los primeros $n$ términos puede escribirse $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} .$

Si la serie tiene solo un número finito de términos, llegamos por fin de este modo a la suma de toda la serie de términos. Pero, si la serie tiene un número infinito de términos, este proceso de formar sucesivamente las sumas de los términos nunca termina; y en este sentido no existe tal cosa como la suma de una serie infinita.

¿Pero por qué es importante sumar sucesivamente los términos de una serie de este modo?

La respuesta es que aquí estamos simbolizando el proceso mental fundamental de la aproximación. Este es un proceso que tiene un significado mucho más allá de las regiones de las matemáticas. Nuestros intellectos limitados no pueden lidiar con material complicado de una sola vez, y nuestro método de disposición es el de la aproximación.

El estadista al redactar su discurso pone los temas dominantes primero y deja que los detalles caigan naturalmente en sus lugares subordinados. Existe, por supuesto, el método artístico inverso de preparar la imaginación mediante la presentación de detalles subordinados o especiales, para luego ascender gradualmente a una crisis. De cualquier manera, el proceso es uno de suma gradual de efectos; y esto es exactamente lo que se hace mediante la suma sucesiva de los términos de una serie.

Nuestro método ordinario de expresar los números es precisamente un proceso de suma gradual, al menos, en el caso de los números grandes. Así, $568, 213$ se presenta a la mente como:—

$500, 000 + 60, 000 + 8, 000 + 200 + 10 + 3 .$

En el caso de las fracciones decimales esto es aún más manifiesto.

Así $3.14159$ es:–- $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000} + \frac{9}{100000} .$

Asimismo, $3$ , y $3 + \frac{1}{10}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000}$ , y $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100} + \frac{1}{1000} + \frac{5}{10000}$ son aproximaciones sucesivas al resultado completo $3.14159$ .

Si leemos $568, 213$ al revés, de derecha a izquierda, empezando por las $3$ unidades, lo leemos de la manera artística, preparando gradualmente la mente para la crisis de $500, 000$ .

El proceso ordinario de la multiplicación numérica se lleva a cabo mediante la suma de una serie. Considere el cálculo $* 6 @ c @ & & & 3 & 4 & 2 & & & 6 & 5 & 8 \cline 4 - 6 \Strut & & 2 & 7 & 3 & 6 & 1 & 7 & 1 & 0 & 2 & 0 & 5 & 2 & & \cline 1 - 6 \Strut 2 & 2 & 5 & 0 & 3 & 6$

De ahí que las tres líneas que deben añadirse formen una serie cuyo primer término es la línea superior. Esta serie sigue el método artístico de presentar el término más importante al final, no por ningún sentido del arte, sino debido a la comodidad obtenida al mantener un firme control sobre el lugar de las unidades, lo que nos permite omitir algunos $0$ , formalmente necesarios.

Pero cuando aproximamos añadiendo gradualmente los términos sucesivos de una serie infinita, ¿a qué estamos aproximando?

La dificultad radica en que la serie no tiene una «suma» en el sentido directo de la palabra, porque la operación de sumar sus términos nunca puede completarse.

La respuesta es que estamos aproximando al límite de la sumación de la serie, y ahora debemos proceder a explicar qué es el «límite» de una serie.

La suma de una serie se aproxima a un límite cuando la suma de cualquier número de sus términos, siempre que dicho número sea suficientemente grande, es tan casi igual al límite como se desee.

Pero esta descripción del significado de aproximarse a un límite evidentemente no resiste el riguroso escrutinio de las matemáticas modernas.

¿Qué se entiende por suficientemente grande, por casi igual y por se desee?

Todas estas frases vagas deben explicarse en términos de las ideas abstractas simples que son las únicas admitidas en las matemáticas puras.

Sean $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , $u_{4}$ , $\dots$ , $u_{n}$ , etc., los términos sucesivos de la serie, de modo que $u_{n}$ es el $n$ -ésimo término de la serie. Sea también $s_{n}$ la suma de los primeros $n$ términos, sea cual sea $n$ . De modo que:--

$s_{1} = u_{1}, s_{2} = u_{1} + u_{2}, s_{3} = u_{1} + u_{2} + u_{3}, y s_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} .$

Luego los términos $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ..., $s_{n}$ forman una nueva serie, y la formación de esta serie es el proceso de sumación de la serie original. Entonces la "aproximación" de la sumación de la serie original a un "límite" significa la "aproximación de los términos de esta nueva serie a un límite". Y ahora tenemos que explicar qué queremos decir con la aproximación a un límite de los términos de una serie.

Ahora, recordando la definición (dada en el [capítulo] XII) de un grado de aproximación, la idea de un límite significa esto: $l$ es el límite de los términos de la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , , si, correspondiendo a cada número real $k$ , tomado como grado de aproximación, se puede encontrar un término $s_{n}$ de la serie de modo que todos los términos sucesivos (es decir, $s_{n + 1}$ , $s_{n + 2}$ , etc.) se aproximen a $l$ dentro de ese grado de aproximación.

Si se elige otro grado menor $k^{1}$ , el término $s_{n}$ puede ser demasiado temprano en la serie, y entonces se encontrará un término posterior $s_{m}$ con la propiedad anterior.

Si esta propiedad se cumple, es evidente que, a medida que se avanza en la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , ..., $s_{n}$ , de izquierda a derecha, al cabo de un tiempo se llega a términos que están todos más cerca de $l$ que cualquier número que se quiera asignar.

En otras palabras, uno se aproxima a $l$ tanto como desee.

La estrecha conexión de esta definición del límite de una serie con la definición de función continua dada en el [capítulo] XI será percibida inmediatamente.

Then coming back to the original series $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ , , $u_{n}$ , , the limit of the terms of the series $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , , $s_{n}$ , , is called the "sum to infinity" of the original series.

But it is evident that this use of the word "sum" is very artificial, and we must not assume the analogous properties to those of the ordinary sum of a finite number of terms without some special investigation.

Veamos un ejemplo de una "suma hasta el infinito".

Consideremos el decimal periódico $.1111 \dots$ . Este decimal no es más que una forma de simbolizar la "suma hasta el infinito" de la serie $.1$ , $.01$ , $.001$ , $.0001$ , etc. La serie correspondiente hallada por sumación es $s_{1} = .1$ , $s_{2} = .11$ , $s_{3} = .111$ , $s_{4} = .1111$ , etc.

El límite de los términos de esta serie es $\frac{1}{9}$ ; esto es fácil de ver mediante una división simple, pues $\frac{1}{9} = .1 + \frac{1}{90} = .11 + \frac{1}{900} = .111 + \frac{1}{9000} = etc.$

Por lo tanto, si se da $\frac{3}{17}$ (el $k$ de la definición), $.1$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{3}{17}$ ; si se da $\frac{1}{1000}$ (otra elección para el $k$ de la definición), $.111$ y todos los términos sucesivos difieren de $\frac{1}{9}$ en menos de $\frac{1}{1000}$ ; y así sucesivamente, cualquiera que sea la elección que se haga de $k$ .

Es evidente que nada de lo que se ha dicho da la más mínima idea de cómo se ha de hallar la "suma hasta el infinito" de una serie. Simplemente hemos expuesto las condiciones que tal número debe satisfacer.

En efecto, un método general para hallar en todos los casos la suma hasta el infinito de una serie queda intrínsecamente fuera de cuestión, por la sencilla razón de que dicha "suma", tal como se define aquí, no siempre existe.

Las series que poseen una suma hasta el infinito se llaman convergentes, y aquellas que no poseen una suma hasta el infinito se llaman divergentes.

Un ejemplo obvio de una serie divergente es $1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ , $n$ , es decir, la serie de los enteros en su orden de magnitud. Sea cual fuere el número $l$ que intentes tomar como su suma hasta el infinito, y cualquiera que sea el estándar de aproximación $k$ que elijas, tomando suficientes términos de la serie siempre puedes lograr que su suma difiera de $l$ en más de $k$ .

Una vez más, otro ejemplo de una serie divergente es $1$ , $1$ , $1$ , etc., es decir, la serie cuyos términos son todos iguales a $1$ . Entonces, la suma de $n$ términos es $n$ , y esta suma crece sin límite a medida que $n$ aumenta.

Una vez más, otro ejemplo de una serie divergente es $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , $1$ , $- 1$ , etc., es decir, la serie en la cual los términos son alternadamente $1$ y $- 1$ . La suma de un número impar de términos es $1$ , y la de un número par de términos es $0$ . Por lo tanto, los términos de la serie $s_{1}$ , $s_{2}$ , $s_{3}$ , $\dots$ , $s_{n}$ no se aproximan a un límite, aunque no crecen sin límite.

Es tentador suponer que la condición para que $u_{1}$ , $u_{2}$ , $\dots$ , $u_{n}$ tengan una suma hasta el infinito es que $u_{n}$ disminuya indefinidamente a medida que $n$ aumenta. Las matemáticas serían una ciencia mucho más fácil de lo que son, si este fuera el caso. Desafortunadamente, la suposición no es cierta.

Por ejemplo, la serie $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$ es divergente. Es fácil ver que esto es así; pues consideremos la suma de $n$ términos que empiezan en el término $(n + 1)$ -ésimo. Estos $n$ términos son $\frac{1}{n + 1}$ , $\frac{1}{n + 2}$ , $\frac{1}{n + 3}$ , $\dots$ , $\frac{1}{2 n}$ : hay $n$ de ellos y $\frac{1}{2 n}$ es el menor entre ellos. De ahí que su suma sea mayor que $n$ veces $\frac{1}{2 n}$ , es decir, sea mayor que $\frac{1}{2}$ . Ahora, sin alterar la suma hasta el infinito, si es que existe, podemos sumar términos vecinos y obtener la serie $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3} + \frac{1}{4}, \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}, etc.,$ es decir, por lo dicho anteriormente, una serie cuyos términos después del $2 .^{do}$ son mayores que los de la serie $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, etc.,$ en la que todos los términos después del primero son iguales. Pero esta serie es divergente. De ahí que la serie original sea divergente.Cf. Nota C, noteC.204

Esta cuestión de la divergencia muestra cuán cuidadosos debemos ser al argumentar a partir de las propiedades de la suma de un número finito de términos hacia la de la suma de una serie infinita.

Pues la propiedad más elemental de un número finito de términos es que, por supuesto, poseen una suma; pero ni siquiera esta propiedad fundamental la posee necesariamente una serie infinita.

Esta advertencia simplemente señala que no debemos dejarnos engañar por la sugerencia del término técnico «suma de una serie infinita». Es habitual indicar la suma de la serie infinita $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n}, \dots$ mediante $u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots .$

Pasamos ahora a una generalización de la idea de serie que las matemáticas, fiel a su método, realizan mediante el uso de la variable. Hasta ahora, solo hemos contemplado series en las que cada término definido era un número definido. Pero igualmente podemos generalizar y hacer que cada término sea alguna expresión matemática que contenga una variable $x$ .

Así, podemos considerar la serie $1$ , $x$ , $x^{2}$ , $x^{3}$ , $\dots$ , $x^{n}$ , $\dots$ , y la serie

$x, \frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{3}}{3}, \dots, \frac{x^{n}}{n}, \dots .$

Para simbolizar la idea general de cualquier función de esta índole, concíbase una función de $x$ , digamos $f_{n} (x)$ , cuya formación involucra un entero variable $n$ ; entonces, al asignarle a $n$ los valores $1$ , $2$ , $3$ , etc., sucesivamente, obtenemos la serie

$f_{1} (x), f_{2} (x), f_{3} (x), \dots, f_{n} (x), \dots .$

Una serie de este tipo puede ser convergente para algunos valores de $x$ y divergente para otros. De hecho, es bastante raro encontrar una serie que involucre una variable $x$ que sea convergente para todos los valores de $x$ ,—al menos en cualquier caso particular es muy poco seguro suponer que este sea el caso. Por ejemplo, examinemos el más simple de todos los casos, a saber, el «geométrico»

series $1, x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}, \dots .$

The sum of $n$ terms is given by $s_{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} .$

Ahora multipliquemos ambos lados por $x$ y obtenemos $x s_{n} = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots + x^{n} + x^{n + 1} .$ Ahora restemos la última línea de la línea superior y obtenemos $s_{n} (1 - x) = s_{n} - x s_{n} = 1 - x^{n + 1},$ y por lo tanto (si $x$ no es igual a $1$ ) $s_{n} = \frac{1 - x^{n + 1}}{1 - x} = \frac{1}{1 - x} - \frac{x^{n + 1}}{1 - x} .$ Ahora bien, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , para valores suficientemente grandes de $n$ , $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ es siempre numéricamente menor que $k$ , por muy pequeño que se elija $k$ . Así, si $x$ es numéricamente menor que $1$ , la serie $1$ , $x$ , $x^{2}$ , , $x^{n}$ , es convergente, y $\frac{1}{1 - x}$ es su límite. Esta afirmación se simboliza mediante $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots, (- 1 < x < 1) .$ Pero si $x$ es numéricamente mayor que $1$ , o numéricamente igual a $1$ , la serie es divergente. En otras palabras, si $x$ se encuentra entre $- 1$ y $+ 1$ , la serie es convergente; pero si $x$ es igual a $- 1$ o $+ 1$ , o si $x$ se encuentra fuera del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , entonces la serie es divergente. Por lo tanto, la serie es convergente en todos los "puntos" dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los puntos extremos.

En este estado de nuestra investigación surge otra pregunta.

Supongamos que la serie $f_{1} (x) + f_{2} (x) + f_{3} (x) + \dots + f_{n} (x) + \dots$ es convergente para todos los valores de $x$ comprendidos en el intervalo de $a$ a $b$ , es decir, la serie es convergente para cualquier valor de $x$ que sea mayor que $a$ y menor que $b$ .

Asimismo, supongamos que queremos tener la seguridad de que, al aproximarnos al límite, sumamos suficientes términos como para alcanzar cierto estándar de aproximación $k$ .

¿Podemos determinar siempre un número de términos, digamos $n$ , tal que, si tomamos $n$ o más términos para formar la suma, entonces, sea cual fuere el valor de $x$ dentro del intervalo, habremos satisfecho el estándar de aproximación deseado?

A veces podemos y a veces no podemos hacer esto para cada valor de $k$ . Cuando podemos, la serie se denomina uniformemente convergente en todo el intervalo, y cuando no podemos hacerlo, la serie se denomina no uniformemente convergente en todo el intervalo.

Representa una gran diferencia para las propiedades de una serie el hecho de que sea o no uniformemente convergente en un intervalo. Ilustremos la cuestión con el ejemplo más sencillo y los números más sencillos.

Considera la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots .$

Es convergente en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , excluyendo los valores extremos $x = \pm 1$ .

Pero no es uniformemente convergente en todo este intervalo. Pues si $s_{n} (x)$ es la suma de $n$ términos, hemos demostrado que la diferencia entre $s_{n} (x)$ y el límite $\frac{1}{1 - x}$ es $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ .

Supongamos ahora que $n$ es un número dado cualquiera de términos, digamos $20$ , y sea $k$ cualquier nivel de aproximación asignado, digamos $.001$ . Entonces, tomando $x$ lo suficientemente cerca de $+ 1$ o lo suficientemente cerca de $- 1$ , podemos hacer que el valor numérico de $\frac{x^{21}}{1 - x}$ sea mayor que $.001$ . Por lo tanto, $20$ términos no servirán en todo el intervalo, aunque sean más que suficientes en algunas partes del mismo.

El mismo razonamiento puede aplicarse sea cual sea el otro número que tomemos en lugar de $20$ , y sea cual sea el grado de aproximación en lugar de $.001$ . De aquí que la serie geométrica $1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} + \dots$ sea no uniformemente convergente en todo su intervalo de convergencia de $- 1$ a $+ 1$ . Pero si tomamos cualquier intervalo menor que se encuentre en ambos extremos dentro del intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , la serie geométrica es uniformemente convergente dentro de él. Por ejemplo, tómese el intervalo de $0$ a $+ \frac{1}{10}$ . Entonces cualquier valor de $n$ que haga que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ sea numéricamente menor que $k$ en estos límites para $x$ también sirve para todos los valores de $x$ entre estos límites, ya que da la casualidad de que $\frac{x^{n + 1}}{1 - x}$ disminuye en valor numérico a medida que $x$ disminuye en valor numérico. Por ejemplo, tómese $k = .001$ ; entonces, poniendo $x = \frac{1}{10}$ , hallamos:–- {3} &\text{para $n = 1$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{2}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{90} = .0111\dots, \

&\text{para $n = 2$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{3}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{900} = .00111\dots, \

&\text{para $n = 3$ ,}\quad & \frac{x^{n+1}}{1 - x} &= \frac{(\frac{1}{10})^{4}}{1 - \frac{1}{10}} &&= \tfrac{1}{9000} = 0{,}000111\dots.

Así, tres términos bastarán para todo el intervalo, aunque, por supuesto, para algunas partes del intervalo sea más de lo necesario.

Nótese que, debido a que $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ es convergente (aunque no uniformemente) en todo el intervalo de $- 1$ a $+ 1$ , para cada valor de $x$ en el intervalo se puede encontrar un número de términos $n$ que satisfará un estándar deseado de aproximación; pero, a medida que tomamos $x$ más y más cerca de cualquiera de los valores extremos $+ 1$ o $- 1$ , se deben emplear valores de $n$ cada vez mayores.

Es curioso que esta importante distinción entre convergencia uniforme y no uniforme no fuera publicada hasta 1847 por Stokes—posteriormente,

Sir George Stokes–-y más tarde, de forma independiente en 1850 por Seidel, un matemático alemán.

Los puntos críticos, donde entra en juego la convergencia no uniforme, no se encuentran necesariamente en los límites del intervalo a lo largo del cual se cumple la convergencia. Esta es una peculiaridad propia de la serie geométrica.

En el caso de la serie geométrica $1 + x + x^{2} + \dots + x^{n} + \dots$ , se puede dar una expresión algebraica simple $\frac{1}{1 - x}$ para su límite en su intervalo de convergencia.

Pero este no es siempre el caso. A menudo podemos demostrar que una serie es convergente dentro de un cierto intervalo, aunque no sepamos nada más acerca de su límite excepto que es el límite de la serie.

Pero esta es una manera muy buena de definir una función; a saber, como el límite de una serie infinita convergente, y es, de hecho, el modo en que la mayoría de las funciones son, o deberían ser, definidas.

Así, la serie más importante del análisis elemental es $1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots,$ donde $n!$ tiene el significado definido anteriormente en este capítulo. Se puede demostrar que esta serie es absolutamente convergente para todos los valores de $x$ , y que es uniformemente convergente dentro de cualquier intervalo que queramos tomar. De ahí que posea todas las propiedades matemáticas convenientes que una serie debe tener. Se le llama la serie exponencial. Denotemos su suma hasta el infinito mediante $\exp x$ . Así, por definición, $\exp x = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots .$ $\exp x$ se llama la función exponencial.

Es bastante fácil demostrar, con un poco de conocimiento de matemáticas elementales, que $(\exp x) \times (\exp y) = \exp (x + y) . \quad\ensuremath{(A)}$ En otras palabras, que

$(\exp x) \times (\exp y) = 1 + (x + y) + \frac{(x + y)^{2}}{2!} + \frac{(x + y)^{3}}{3!} + \dots + \frac{(x + y)^{n}}{n!} + \dots .$

Esta propiedad (A) es un ejemplo de lo que se llama un teorema de adición.

Cuando cualquier función [digamos $f (x)$ ] ha sido definida, lo primero que hacemos es intentar expresar $f (x + y)$ en función únicamente de funciones conocidas de $x$ y de funciones conocidas de $y$ únicamente. Si podemos hacerlo, el resultado se llama teorema de adición.

Los teoremas de adición desempeñan un gran papel en el análisis matemático. Así, el teorema de adición para el seno viene dado por $\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y,$ y para el coseno por $\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y .$

De hecho, las mejores formas de definir $\sin x$ y $\cos x$ no son mediante los elaborados métodos geométricos del capítulo anterior, sino como los límites, respectivamente, de las series $x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + etc. \dots,$ y $1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + etc. \dots,$ de modo que establecemos

$\sin x &= x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \text{etc.} \dots, \ \cos x &= 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \text{etc.} \dots.$

Estas definiciones son equivalentes a las definiciones geométricas, y se puede demostrar que ambas series son convergentes para todos los valores de $x$ , y convergentes uniformemente en todo el intervalo.

Estas series para el seno y el coseno guardan un parecido general con la serie exponencial dada anteriormente. Están, de hecho, íntimamente conectadas con ella mediante la teoría de los números imaginarios explicada en los capítulos [chapter:VII]VII. y [chapter:VIII]VIII.

La gráfica de la función exponencial se da en la [fig.] 29. Corta al eje $O Y$ en el punto $y = 1$ , como evidentemente debe hacerlo, ya que cuando $x = 0$ todos los términos de la serie, excepto el primero, son cero.

La importancia de la función exponencial radica en que representa cualquier cantidad física cambiante cuya tasa de aumento en un instante dado es un porcentaje uniforme de su valor en ese instante. Por ejemplo, la gráfica anterior representa el tamaño en cualquier momento de una población con una tasa de natalidad uniforme, una tasa de mortalidad uniforme y sin emigración, donde $x$ corresponde al tiempo contado a partir de cualquier día conveniente, e $y$ representa la población a la escala adecuada.

La escala debe ser tal que $O A$ represente la población en la fecha que se toma como origen. Pero aquí nos hemos topado con la idea de «tasas de aumento», que es el tema del próximo capítulo.

Una función importante estrechamente relacionada con la función exponencial se encuentra al sustituir $- x^{2}$ por $x$ como argumento en la función exponencial.

Obtenemos así $\exp (- x^{2})$ . La gráfica $y = \exp (- x^{2})$ se da en la [fig.]30. 30

La curva, que se parece a un sombrero de tres picos, se denomina curva de error normal. Su función correspondiente es de vital importancia para la teoría de la estadística y nos indica en muchos casos el tipo de desviaciones de los resultados medios que debemos esperar.

Otra función importante se encuentra al combinar la función exponencial con el seno, de este modo:–- $y = \exp (- c x) \times \sin \frac{2 π x}{p} .$ 31

Su gráfica se da en la [fig.]31. Los puntos $A$ , $B$ , $O$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ están situados a intervalos iguales de $\frac{1}{2} p$ , y debe trazarse una serie interminable de ellos hacia adelante y hacia atrás.

Esta función representa la extinción de las vibraciones bajo la influencia de la fricción o de fuerzas de «amortiguación». Aparte de la fricción, las vibraciones serían periódicas, con un período $p$ ; pero la influencia de la fricción hace que la amplitud de cada vibración sea menor que la de la precedente en un porcentaje constante de dicha amplitud.

Esta combinación de la idea de «periodicidad» (que requiere el seno o el coseno para su simbolismo) y de «porcentaje constante» (que requiere la función exponencial para su simbolismo) es la razón de la forma de esta función, a saber, su forma como producto de una función seno por una función exponencial.