Generalizaciones de Número

Una gran peculiaridad de las matemáticas es el conjunto de ideas afines que se han inventado en relación con los números enteros de los que partimos. Estas ideas pueden llamarse extensiones o generalizaciones del número.

En primer lugar está la idea de las fracciones. El tratado de aritmética más antiguo que poseemos fue escrito por un sacerdote egipcio llamado Ahmes, entre 1700 y 1100 a. C., y probablemente sea una copia de una obra mucho más antigua. Trata en gran medida sobre las propiedades de las fracciones. Parece, por tanto, que este concepto se desarrolló muy temprano en la historia de las matemáticas.

En efecto, el tema es de lo más evidente. Dividir un campo en tres partes iguales y tomar dos de ellas debió de ser un tipo de operación que ocurría con frecuencia. En consecuencia, no debe sorprendernos que los hombres de civilizaciones remotas estuvieran familiarizados con la idea de dos tercios y con nociones afines.

Así pues, situamos el concepto de fracciones como la primera generalización del número. Los griegos concebían este tema más bien bajo la forma de proporción, de modo que un griego diría naturalmente que una línea de dos pies de longitud guarda con una línea de tres pies de longitud la proporción de $2$ a $3$ . Bajo la influencia de nuestra notación algebraica, diríamos con más frecuencia que una línea tenía dos tercios de la longitud de la otra, y pensaríamos en los dos tercios como un multiplicador numérico.

En relación con la teoría de la razón, o de las fracciones, los griegos hicieron un gran descubrimiento, que ha dado lugar a una gran cantidad de reflexión tanto filosófica como matemática.

Descubrieron la existencia de razones "inconmensurables". Probaron, de hecho, en el curso de sus investigaciones geométricas que, partiendo de una línea de cualquier longitud, deben existir otras cuyas longitudes no guardan con la longitud original la razón de ningún par de enteros—o, en otras palabras, que existen longitudes que no son ninguna fracción exacta de la longitud original.

Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado no se puede expresar como ninguna fracción del lado del mismo cuadrado; en nuestra anotación moderna, la longitud de la diagonal es $\sqrt{2}$ veces la longitud del lado.

Pero no existe ninguna fracción que represente exactamente a $\sqrt{2}$ . Podemos aproximarnos a $\sqrt{2}$ tanto como queramos, pero nunca alcanzamos exactamente su valor.

Por ejemplo, $\frac{49}{25}$ es justo menor que $2$ , y $\frac{9}{4}$ es mayor que $2$ , de modo que $\sqrt{2}$ se encuentra entre $\frac{7}{5}$ y $\frac{3}{2}$ .

Pero la mejor manera sistemática de aproximarse a $\sqrt{2}$ obteniendo una serie de fracciones decimales, cada una mayor que la anterior, es mediante el método ordinario de extracción de la raíz cuadrada; así, la serie es $1$ , $\frac{14}{10}$ , $\frac{141}{100}$ , $\frac{1414}{1000}$ , y así sucesivamente.

Las razones de esta índole son llamadas por los griegos inescrutables. Han suscitado desde la época de los griegos en adelante una gran cantidad de discusión filosófica, y las dificultades relacionadas con ellas solo recientemente han sido aclaradas.

Ponaremos las razones inconmensurables con las fracciones, y consideraremos al conjunto total de números enteros, números fraccionarios y números inconmensurables como formante de una clase de números a la que llamaremos "números reales".

Siempre pensamos en los números reales como dispuestos en orden de magnitud, comenzando desde cero y ascendiendo, y haciéndose indefinidamente más y más grandes a medida que avanzamos. Los números reales se representan convenientemente mediante puntos en una línea.

Sea $O X$ pg76 cualquier línea limitada en $O$ y que se extiende indefinidamente en la dirección $O X$ . Tomemos cualquier punto conveniente, $A$ , en ella, de modo que $O A$ represente la unidad de longitud; y dividamos longitudes $A B$ , $B C$ , $C D$ , y así sucesivamente, cada una igual a $O A$ . Entonces el punto $O$ representa el número $0$ , $A$ el número $1$ , $B$ el número $2$ , y así sucesivamente. De hecho, el número representado por cualquier punto es la medida de su distancia desde $O$ , en términos de la unidad de longitud $O A$ .

Los puntos entre $O$ y $A$ representan las fracciones propias y los números inconmensurables menores que $1$ ; el punto medio de $O A$ representa $\frac{1}{2}$ , el de $A B$ representa $\frac{3}{2}$ , el de $B C$ representa $\frac{5}{2}$ , y así sucesivamente. De este modo, cada punto en $O X$ representa un número real, y cada número real está representado por un punto en $O X$ .

La serie (o sucesión) de puntos a lo largo de $O X$ , comenzando desde $O$ y avanzando regularmente en la dirección de $O$ a $X$ , representa los números reales dispuestos en orden ascendente de magnitud, comenzando desde cero y aumentando continuamente a medida que avanzamos.

Todo esto parece bastante simple, pero ya en esta etapa se pueden extraer algunas ideas interesantes si nos detenemos en estos hechos evidentes.

Consideremos la serie de puntos que representan únicamente los números enteros, a saber, los puntos $O$ , $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , etc.

Aquí hay un primer punto $O$ , un siguiente punto bien definido $A$ , y cada punto, como $A$ o $B$ , tiene un único predecesor inmediato bien definido y un único sucesor inmediato bien definido, con la excepción de $O$ , que no tiene predecesor; además, la serie continúa indefinidamente sin fin.

Este tipo de orden se denomina el tipo de orden de los números enteros; su esencia es la posesión de vecinos contiguos a ambos lados, con la excepción del número 1 de la fila.

Considérense de nuevo los enteros y las fracciones en conjunto, omitiendo los puntos que corresponden a las razones inconmensurables.

El tipo de ordenación en serie que obtenemos ahora es completamente diferente. Hay un primer término $O$ ; pero ningún término tiene un antecesor inmediato o un sucesor inmediato. Esto se ve fácilmente que es así, pues entre cualesquiera dos fracciones siempre podemos encontrar otra fracción de valor intermedio.

Una forma muy sencilla de hacer esto es sumar las fracciones y dividir el resultado por la mitad. Por ejemplo, entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$ se encuentra la fracción $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{3}{4})$ , es decir, $\frac{17}{24}$ ; y entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{17}{24}$ se encuentra la fracción $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} + \frac{17}{24})$ , es decir, $\frac{33}{48}$ ; y así indefinidamente.

Debido a esta propiedad se dice que la serie es «compacta». No hay un punto final en la serie, la cual aumenta indefinidamente sin límite a medida que avanzamos por la línea $O X$ .

Parecería a primera vista como si el tipo de serie obtenido de este modo a partir de las fracciones, incluyendo siempre a los enteros, fuera el mismo que el obtenido a partir de todos los números reales —enteros, fracciones e inconmensurables tomados en conjunto—, es decir, a partir de todos los puntos de la línea $O X$ .

Todo lo que hemos dicho hasta ahora sobre la serie de fracciones se aplica igualmente bien a la serie de todos los números reales. Pero hay diferencias importantes que pasamos a desarrollar ahora.

La ausencia de los inconmensurables en la serie de fracciones deja una ausencia de extremos en ciertas clases.

Así, considérese el inconmensurable $\sqrt{2}$ . En la serie de los números reales, este se sitúa entre todos los números cuyos cuadrados son menores que $2$ y todos los números cuyos cuadrados son mayores que $2$ . Pero si nos atenemos exclusivamente a la serie de las fracciones y no pensamos en los inconmensurables, de modo que no podamos introducir $\sqrt{2}$ , no existe ninguna fracción que posea la propiedad de dividir la serie en dos partes de este modo, es decir, de tal manera que todos los miembros de un lado tengan sus cuadrados menores que $2$ , y los del otro lado, mayores que $2$ .

Por lo tanto, en la serie de las fracciones hay un casi vacío donde debería ubicarse $\sqrt{2}$ . Esta presencia de casi vacíos en la serie de las fracciones puede parecer un asunto menor; pero cualquier matemático que lea esto sabe que la posible ausencia de límites o máximos para una clase de números —que, sin embargo, no se extiende a lo largo de toda la serie numérica— no es un mal menor.

Para evitar esta dificultad se recurre a los inconmensurables, a fin de obtener una serie completa y sin vacíos.

Existe otra diferencia aún más fundamental entre las dos series. Podemos reordenar las fracciones en una serie como la de los enteros, es decir, con un primer término, y de tal manera que cada término tenga un sucesor inmediato y (excepto el primer término) un predecesor inmediato. Podemos mostrar cómo se puede hacer esto.

Escríbase cada término de la serie de fracciones y enteros en forma fraccionaria escribiendo $\frac{1}{1}$ para $1$ , $\frac{2}{1}$ para $2$ , y así sucesivamente para todos los enteros, excluyendo el $0$ .

Asimismo, por el momento consideraremos distintas las fracciones que son iguales en valor pero no están reducidas a sus términos mínimos; de modo que, por ejemplo, hasta nuevo aviso, $\frac{2}{3}$ , $\frac{4}{6}$ , $\frac{6}{9}$ , $\frac{8}{12}$ , etc., se consideran todas distintas.

Ahora agrupa las fracciones en clases sumando entre sí el numerador y el denominador de cada término. Por razones de brevedad, llama a esta suma del numerador y del denominador de una fracción su índice.

Así, $7$ es el índice de $\frac{4}{3}$ , y también de $\frac{3}{4}$ , y de $\frac{2}{5}$ .

Sean las fracciones de cada clase todas aquellas que tienen un índice especificado, el cual puede llamarse por tanto también índice de la clase.

Now arrange these classes in the order of magnitude of their indices.

The first class has the index $2$ , and its only member is $\frac{1}{1}$ ;
the second class has the index $3$ , and its members are $\frac{1}{2}$ and $\frac{2}{1}$ ;
the third class has the index $4$ , and its members are $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{1}$ ;
the fourth class has the index $5$ , and its members are $\frac{1}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{2}$ , $\frac{4}{1}$ ;
and so on.

Es fácil ver que el número de miembros (incluyendo aún las fracciones que no están en su mínima expresión) pertenecientes a cualquier clase es uno menos que su índice.

Asimismo, los miembros de cualquier clase pueden ordenarse tomando como primer miembro la fracción con numerador $1$ , como segundo miembro la que tiene el numerador $2$ , y así sucesivamente, hasta $(n - 1)$ , donde $n$ es el índice.

Por lo tanto, para la clase de índice $n$ , los miembros aparecen en el orden

$\frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1} .$

Los miembros de las primeras cuatro clases han sido, de hecho, mencionados en este orden. Así, todo el conjunto de fracciones se ha dispuesto ahora en un orden semejante al de los enteros. Este transcurre así

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, [\frac{2}{2}], \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \dots,$

$\frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n - 1}, \frac{2}{n - 2}, \frac{3}{n - 3}, \dots, \frac{n - 1}{1}, \frac{1}{n},$

y así sucesivamente.

Ahora podemos deshacernos de todas las repeticiones de fracciones del mismo valor simplemente tachándolas cada vez que aparecen después de su primera aparición. En los pocos términos iniciales escritos arriba, $\frac{2}{2}$ , que aparece encerrada arriba entre corchetes, es la única fracción que no está en sus términos mínimos. Ya ha aparecido antes como $\frac{1}{1}$ . Por lo tanto, esta debe ser tachada. Pero a la serie todavía le quedan las mismas propiedades, a saber:

(a) hay un primer término,
(b) cada término tiene vecinos contiguos,
(c) la serie continúa sin fin.

Puede demostrarse que no es posible ordenar toda la serie de los números reales de este modo. Este curioso hecho fue descubierto por Georg Cantor, un matemático alemán que aún vive; es de la mayor importancia para la filosofía de las ideas matemáticas. De hecho, aquí estamos rozando la periferia de los grandes problemas del significado de la continuidad y del infinito.

Otra ampliación del número proviene de la introducción de la idea de lo que se ha denominado de varias maneras operación o paso, nombres que son respectivamente apropiados desde puntos de vista ligeramente diferentes.

Comenzaremos con un caso particular. Consideremos la afirmación $2 + 3 = 5$ . Sumamos $3$ a $2$ y obtenemos $5$ . Pensemos en la operación de sumar $3$ : que esta sea denotada por $+ 3$ . Asimismo, $4 - 3 = 1$ . Pensemos en la operación de restar $3$ : que esta sea denotada por $- 3$ .

Así, en lugar de considerar los números reales en sí mismos, consideramos las operaciones de sumarlos o restarlos: en lugar de $\sqrt{2}$ , consideramos $+ \sqrt{2}$ y $- \sqrt{2}$ , es decir, las operaciones de sumar $\sqrt{2}$ y de restar $\sqrt{2}$ . Entonces podemos sumar estas operaciones, por supuesto en un sentido de la suma diferente de aquel en el que sumamos números.

La suma de dos operaciones es la única operación que tiene el mismo efecto que las dos operaciones aplicadas sucesivamente. ¿En qué orden deben aplicarse las dos operaciones? La respuesta es que es indiferente, ya que, por ejemplo, $2 + 3 + 1 = 2 + 1 + 3$ ; de modo que la suma de los pasos $+ 3$ y $+ 1$ es conmutativa.

Los matemáticos tienen la costumbre, desconcertante para quienes se dedican a desentrañar significados pero muy práctica en la ejecución, de utilizar el mismo símbolo en sentidos diferentes aunque emparentados.

El único requisito esencial para un símbolo, a sus ojos, es que, cualesquiera sean sus posibles variedades de significado, las leyes formales para su empleo sean siempre las mismas. De acuerdo con esta costumbre, la suma de operaciones se denota mediante $+$ al igual que la suma de números.

En consecuencia, podemos escribir $(+ 3) + (+ 1) = + 4;$ donde el $+$ central del lado izquierdo denota la suma de las operaciones $+ 3$ y $+ 1$ .

Pero, además, no necesitamos ser tan sumamente pedantes en nuestro simbolismo, excepto en los raros casos en los que rastreamos directamente los significados; así, siempre omitimos el primer $+$ de una línea y los paréntesis, y nunca escribimos dos signos $+$ seguidos.

De este modo, la ecuación anterior se convierte en $3 + 1 = 4,$ que interpretamos como una simple suma numérica, o como la suma de operaciones más elaborada que se expresa plenamente en la forma anterior de escribir la ecuación, o por último como la expresión del resultado de aplicar la operación $+ 1$ al número $3$ y obtener el número $4$ .

Cualquier interpretación que sea posible es siempre correcta. Pero la única interpretación que es siempre posible, bajo ciertas condiciones, es la de las operaciones. Las otras interpretaciones a menudo dan resultados absurdos.

Esto nos conduce de inmediato a una pregunta que debe de haber estado formándose con insistencia en la mente del lector: ¿De qué sirve toda esta elaboración?

En este punto, nuestro amigo el hombre práctico seguramente intervendrá e insistirá en barrer todas estas tontas telarañas del cerebro.

La respuesta es que lo que el matemático busca es la Generalidad. Esta es una idea digna de ser colocada junto a las nociones de Variable y de Forma en lo que concierne a su importancia para regir el procedimiento matemático.

Cualquier limitación, sea cual fuere, sobre la generalidad de los teoremas, de las demostraciones o de la interpretación es aborrecible para el instinto matemático. Estas tres nociones —la variable, la forma y la generalidad— componen una especie de trinidad matemática que preside todo el tema. Todas ellas provienen en realidad de la misma raíz, a saber, de la naturaleza abstracta de la ciencia.

Veamos cómo se gana en generalidad con la introducción de esta idea de operaciones.

Tomemos la ecuación $x + 1 = 3$ ; la solución es $x = 2$ . Aquí podemos interpretar nuestros símbolos como meros números, y el recurso a las «operaciones» es completamente innecesario.

Pero, si $x$ es un mero número, la ecuación $x + 3 = 1$ carece de sentido. Pues $x$ debería ser el número de cosas que quedan cuando has quitado $3$ cosas de $1$ cosa; y tal procedimiento no es posible.

Llegados a este punto interviene nuestra idea de forma algebraica, que no es en sí misma sino una generalización bajo otro aspecto.

Consideramos, por tanto, la ecuación general de la misma forma que $x + 1 = 3$ . Esta ecuación es $x + a = b$ , y su solución es $x = b - a$ .

Aquí nuestras dificultades se agudizan; pues esta forma solo puede utilizarse para la interpretación numérica en tanto que $b$ sea mayor que $a$ , y no podemos afirmar sin reservas que $a$ y $b$ puedan ser cualesquiera constantes.

En otras palabras, hemos introducido una limitación en la variabilidad de las «constantes» $a$ y $b$ , que debemos arrastrar como una cadena a lo largo de todo nuestro razonamiento. Unas investigaciones matemáticas realmente prolongadas serían imposibles bajo tales condiciones. Cada ecuación terminaría por quedar sepultada bajo un montón de limitaciones.

Pero si ahora interpretamos nuestros símbolos como "operaciones", toda limitación desaparece como por arte de magia. La ecuación $x + 1 = 3$ da $x = + 2$ , la ecuación $x + 3 = 1$ da $x = - 2$ , la ecuación $x + a = b$ da $x = b - a$ , que es una operación de suma o resta según sea el caso. Nunca necesitamos decidir si $b - a$ representa la operación de suma o de resta, pues las reglas de procedimiento con los símbolos son las mismas en ambos casos.

No entra en el plan de esta obra escribir un capítulo detallado de álgebra elemental.

Nuestro objetivo es meramente aclarar las ideas fundamentales que guían la formación de la ciencia. En consecuencia, no explicamos con más detalle las reglas minuciosas mediante las cuales los «números positivos y negativos» se multiplican y combinan de otro modo.

Hemos explicado más arriba que los números positivos y negativos son operaciones. También se les ha llamado «pasos». Así, $+ 3$ es el paso por el cual vamos de $2$ a $5$ , y $- 3$ es el paso hacia atrás por el cual vamos de $5$ a $2$ .

Consideremos la línea $O X$ dividida de la manera explicada en la primera parte del capítulo, de modo que sus puntos representen números. Entonces $+ 2$

pg86 es el paso de $O$ a $B$ , o de $A$ a $C$ , o (si las divisiones se toman hacia atrás a lo largo de $O X^{'}$ ) de $C^{'}$ a $A^{'}$ , o de $D^{'}$ a $B^{'}$ , y así sucesivamente. De manera similar, $- 2$ es el paso de $O$ a $B^{'}$ , o de $B^{'}$ a $D^{'}$ , o de $B$ a $O$ , o de $C$ a $A$ .

Podemos considerar el punto al que se llega mediante un paso desde $O$ como representativo de ese paso.

Así, $A$ representa $+ 1$ ,
$B$ representa $+ 2$ ,
$A^{'}$ representa $- 1$ ,
$B^{'}$ representa $- 2$ ,
y así sucesivamente.

Se observará que, mientras que antes, con los simples números reales "sin signo", solo los puntos situados a un lado de $O$ , a saber, a lo largo de $O X$ , eran representativos de números, ahora, con los pasos, cada punto de toda la línea que se extiende a ambos lados de $O$ es representativo de un paso.

Esta es una representación gráfica de la superior generalidad introducida por los números positivos y negativos, a saber, las operaciones o pasos.

Estos números "con signo" son también casos particulares de lo que se ha denominado vectores (del latín veho, yo arrastro o transporto). Pues podemos pensar en una partícula transportada desde $O$ hasta $A$ , o desde $A$ hasta $B$ .

Al sugerir hace unas páginas que el hombre práctico pondría objeciones a la sutileza que entraña la introducción de los números positivos y negativos, estábamos calumniando a ese excelente individuo.

Pues, en verdad, nos encontramos en el escenario de uno de sus mayores triunfos. Si hay que decir la verdad, fue el propio hombre práctico quien utilizó por primera vez los símbolos reales $+$ y $-$ . Su origen no es muy cierto, pero parece de lo más probable que surgieran de las marcas hechas con tiza en los cofres de mercancías en los almacenes alemanes, para denotar exceso o defecto respecto a un peso estándar.

La primera mención de estos aparece en un libro publicado en Leipzig en 1489. Parece que fueron empleados por primera vez en las matemáticas por un matemático alemán, Stifel, en un libro publicado en Núremberg en 1544.

Pero claro, solo recientemente se ha empezado a considerar a los alemanes como una nación enfáticamente práctica. Hay un viejo epigrama que asigna el imperio del mar a los ingleses, el de la tierra a los franceses y el de las nubes a los alemanes. ¡Seguro que fue de las nubes de donde los alemanes bajaron el $+$ y el $-$ ;

las ideas que estos símbolos han generado son demasiado importantes para el bienestar de la humanidad como para haber venido del mar o de la tierra.

Las posibilidades de aplicación de los números positivos y negativos son muy evidentes.

Si las longitudes en una dirección se representan mediante números positivos, las de la dirección opuesta se representan mediante números negativos.
Si una velocidad en una dirección es positiva, la de la dirección opuesta es negativa.
Si una rotación alrededor de una esfera de reloj en dirección opuesta a las agujas del mismo (en sentido antihorario) es positiva, la que va en el sentido de las agujas del reloj es negativa.
Si un saldo en el banco es positivo, un descubierto es negativo.
Si la electrización vítrea es positiva, la electrización resinosa es negativa.

En realidad, en este último caso, los términos electrización positiva y electrización negativa, considerados como meros nombres, han desplazado prácticamente a los demás términos.

Se podría dar una serie interminable de ejemplos. La idea de los números positivos y negativos ha sido prácticamente la más exitosa de las sutilezas matemáticas.