数の一般化
数学の大きな特異性の一つは、
私たちが最初に出発点とした整数に関連して考案されてきた、一連の関連概念がある。これらの概念は、数の拡張あるいは一般化と呼ぶことができる。まず第一に、分数の概念がある。現存する最古の算術書は、アーメスという名のエジプトの僧侶によって、紀元前1700年から1100年の間に書かれたものである。
そして、それはおそらく、はるかに古い著作の写しであろう。その内容は主に分数の性質を扱っている。したがって、この概念は数学の歴史の極めて早い段階で発展したようである。実際、この主題は非常に自明なものである。畑を3等分し、そのうちの2つを取るという作業は、頻繁に生じていたはずの操作の一種に違いない。それゆえ、遠い文明の人々が3分の2という概念に精通していたとしても、何ら驚くにはあたらないのである。そして
それに関連する概念を伴う。したがって、数の最初の一般化として、我々は分数の概念を位置づける。ギリシャ人はこの主題をむしろ比の形式で捉えていたため、ギリシャ人であれば当然、長さ2フィートの線分は長さ3フィートの線分に対して2対3の比を持つと言うだろう。我々の代数的な記法の影響下では、一方の線分は他方の3分の2の長さであると表現することが多く、3分の2を数値的な乗数として考えることになる。
比の理論に関連して、あるいは
分数に関して、ギリシャ人は偉大な発見を成し遂げた。それは、数学的のみならず、膨大な哲学的思索のきっかけともなったものである。彼らは「不 commensurable（通約不可能）」な比の存在を見出したのである。実際、彼らは幾何学的な探究の過程で、ある任意の長さの線分から出発したとき、その元の長さとの比が、いかなる整数の対の比でも表すことのできない他の線分が必ず存在することを証明した。言い換えれば、元の長さの正確な分数倍では表せない長さが存在する、ということを証明したのである。
例えば、正方形の対角線は、その正方形の一辺の長さのいかなる分数倍としても表すことができません。現代の記法では、対角線の長さは一辺の長さの 倍となります。しかし、 を正確に表す分数は存在しません。私たちは近似することができます