XIV

我々の探究のこの段階において、別の問いが生じる。級数 $f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+\dots +f_n(x)+\dots$ が、$a$ から $b$ までの区間内にあるすべての $x$ の値に対して収束すると仮定しよう。すなわち、この級数は $a$ より大きく $b$ より小さいいかなる $x$ の値に対しても収束するものとする。さらに、極限を近似するにあたって、ある近似基準 $k$ の範囲内に収まるのに十分な項数を加えていることを確実にしたいと仮定しよう。我々は常に、ある項数、例えば $n$ を指定して、もし $n$ 項以上の和をとるならば、$x$ がどのような値をとろうとも

その区間内において、我々は所望の近似基準を満たしたか？

できるときもあれば、できないときもある。

$k$ の各値についてこれを行います。それが可能な場合、その級数は区間全体で一様収束すると呼ばれ、不可能な場合、その級数は区間全体で非一様収束すると呼ばれます。ある級数が区間全体で一様収束するか否かは、その級数の性質に大きな違いをもたらします。最も単純な例と最も単純な数値を用いて、この問題を説明しましょう。