XI

標準 $k$ の範囲内において、ある数 $a$ と集合内のすべての数との数値的差が $k$ 未満である場合。ここで $k$ は「近似の標準」である。したがって、数の集合 $3,4,6,8$ は、標準 $4$ の範囲内で数 $5$ に近似する。この場合、標準 $4$ は選択しうる最小のものではなく、当該集合はさらに

$5$の範囲内にある。同様に、$3.1$、$3.141$、$3.1415$、$3.14159$という数値は、基準値$\mathrm{.032}$の範囲内で$3.13102$に近似し、さらに小さい基準値$\mathrm{.03103}$の範囲内でも近似する。

「間隔」と「」というこの二つの概念は

ある数値に対する近似を基準の範囲内に収めることは、それほど難しいことではありません。唯一の難点は、それが極めて些細なことに見えてしまう点です。しかし、これが次の概念である「近傍（neighbourhood）」と結びついたとき、現代数学的推論の基礎が形成されます。ある関数 $f(x)$ について、引数 $x$ の値 $a$ の近傍において何かが真であると言うとき、我々は何を意味しているのでしょうか？ 今まさに我々が厳密に定義しなければならないのは、この根本的な概念なのです。

関数 $f(x)$ の値が「$a$ の近傍」においてある特性を持つとは、次のような区間が存在することをいう。すなわち、その区間は (i) 数 $a$ を端点としてではなく含んでおり、かつ (ii) すべての値が

その区間内にある $a$ 以外の引数に対する関数の値は、その特性を備えている。引数 $a$ に対する関数の値 $f(a)$ がその特性を備えているか否かは定かではない。$a$ の近傍に関する言明からは、この点について何も決定されない。

例えば、$x^2$ という特定の関数を取り上げてみよう。さて、$2$ の近傍において、$x^2$ の値は $5$ 未満である。なぜなら、我々は例えば $1$ から $2.1$ までの区間を見つけることができるからであり、この区間は (i) $2$ を端点として含まず、かつ (ii) その内部にある $x$ の値に対して $x^2$ が $5$ 未満となるようなものだからである。

さて、以上の考えを組み合わせれば、「 a の近傍において関数 f ( x ) が基準 k の範囲内で c に近似する」という言葉が何を意味するかがわかります。それは、ある区間が見つかり、その区間が (i) a を端点としてではなく含み、かつ (ii) その区間内にあり a とは異なるすべての x