= c とし、あるいはさらに進めて a x 2 + 2 h x y + b y 2 + 2 g x + 2 f y = c とします。
ここでもまた、我々は代数的な形式によって示される変数の相関関係へと導かれる。
さて、幾何学へと目を向けよう。この学問の名を聞けば、三角形や長方形、正方形、円といった図形や図式が、互いに特別な関係性をもって示されている様子が、ただちに思い浮かぶ。こうした図形の単純な性質を研究することこそが、初学者に対して正当に提示される初等幾何学の主題である。しかし、少し考えればわかるように、これがこの学問の真の概念というわけではない。子供がハサミで切り抜いた三角形や正方形のような形から幾何学的な推論を始めるのは、正しいことかもしれない。だが、そもそも三角形とは何だろうか。それは、3本の直線の断片によって囲まれ、区切られた図形のことである。
さて、線分によって空間の境界を定めるという考え方は非常に複雑なものであり、この学問の骨組みとなるべき単純で一般的な概念を提示できる見込みは全くない。我々には、より単純で、より一般的な何かが必要である。こうした誤った初期の概念への固執――それは創造の過程においては極めて自然で優れた着想ではあるのだが――
その主題に関する最初の考察――それこそが、何世紀にもわたってこの学問の研究が比較的実りのないものに終わっていた原因である。座標幾何学、そしてその創始者であるデカルトこそが、幾何学的思考のための真に単純な対象を明らかにしたという功績を認められるべきである。
直線の一部ではなく、両方向に果てしなく続く直線の全体について考えてみよう。これこそが、我々の幾何学的探究の出発点となる一般的な概念である。ギリシャ人は、現代のあらゆる幾何学的思考において不可欠となっているこの概念を、一度も活用しようとしなかったように思われる。ユークリッドは常に、二つの定点の間に引かれたものとして直線を捉えており、その線分を延長する場合にも、その旨を明記することに非常に慎重であった。彼は、直線というものを、最初から全体として与えられた実体であるとは考えなかったのである。このように、直感的に明らかでない無限性を排除するために注意深く定義し、限定を加えるという姿勢は、ギリシャ人のあらゆる活動に極めて特徴的なものであった。それは、ギリシャ建築とゴシック建築の違い、そしてギリシャの宗教と現代の宗教の違いの中に如実に表れている。ゴシック様式の大聖堂にそびえる尖塔と、現代幾何学における無限の直線の重要性は、どちらも現代世界の変容を象徴するものなのである。