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（それが何らかの軌跡を表すとき）常に円錐曲線を表すこと、さらに、あらゆる円錐曲線の方程式は常にこの形に変形できることである。この形式の方程式によって与えられる円錐曲線の種類の判別は非常に容易である。それは完全に、$ab-h^2$ の考察に依存する。ここで、$a$、$b$、および $h$ は上記のように書かれた「定数」である。もし $ab-h^2$ が正の数であれば、その曲線は楕円であり、もし $ab-h^2=0$ であれば、その曲線は放物線であり、そしてもし $ab-h^2$ が負の数であれば、その曲線は双曲線である。

例えば、 a = b = 1 、 h = g = f = 0 、 c = − 4 としてみよう。すると、 x 2 + y 2 − 4 = 0 という方程式が得られる。これが中心を原点とし、半径を 2 単位の長さとする円の方程式であることは容易に証明できる。さて、 a b − h 2 は 1 × 1 − 0 2 、すなわち 1 となり、したがって正である。ゆえに、円は楕円の特殊なケースであり、当然ながらその通りである。一般化すると、どのような円の方程式も