XI

$x$ に関する他の関数としては、$y=x^2$ が挙げられる。

$y=2x^2+3x+1$、$y=x$、$y=\log x$、$y=\sin x$。このグループの最後の2つの関数は、代数学と三角法を少しでも理解している人ならすぐにそれと分かるだろう。これらは単に例として挙げたに過ぎないので、ここで時間を割いて説明する価値はない。

ここまでのところ、私たちは関数とは何かということを一般的に定義してきましたが、いくつかの特別な関数について言及してきたに過ぎません。しかし数学は、その一般的な手続きの方法に忠実であり、あらゆる関数という一般的な概念を記号化します。それは次のように書くことによって行われます。

$F(x)$、$f(x)$、$g(x)$、$\varphi (x)$ など、任意の $x$ の関数において、引数 $x$ を括弧に入れ、$F$、$f$、$g$、$\varphi$ といった文字を括弧の前に置くことでその関数を表すという表記法がある。この表記には欠点がある。すなわち、単一の文字は変数（数）を表すという慣習と明らかに衝突するからである。なぜなら、ここでは括弧の前に置かれた $F$、$f$、$g$、$\varphi$ などが変数（関数）を表しているからである。何が意図されているのかを常識と文脈に頼るしかないような例を挙げることは容易である。この混乱を避ける一つの方法は、関数にギリシャ文字（前述の $\varphi$ など）を用いることである。もう一つの方法は、関数を表す文字として $f$ や $F$（function の頭文字）に固執し、他の変数関数を記号化する必要がある場合には、$g$ のような隣接する文字を用いることである。

以上の説明と注意を踏まえ、 y = f ( x ) と書くことで、 y が引数 x のある未定の関数の値であることを表すことにします。ここで f ( x ) は、 x + 1 、 x 2 − 2 x + 1 、 sin x 、 log x 、あるいは単なる x 自身など、どのようなものであってもかまいません。肝要な点は、 x が与えられたときに、 y がそれによって明確に定まるということです。この概念の一般性について、十分に明確にしておくことが重要です。したがって