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数学は、それが用いる数多くの記号のせいで、しばしば難解で神秘的な学問だと見なされている。もちろん、これほど理解しがたいものはない。

私たちが理解できない象徴。また、部分的にしか理解しておらず、使い慣れていない象徴というものは、追いかけるのが困難なものである。それとまったく同様に、いかなる職業や専門分野の専門用語も、それらを使う訓練を受けていない者にとっては理解不能なものである。しかし、それはそれらの用語がそれ自体で難しいからではない。それどころか、それらは常に物事を容易にするために導入されてきたのである。数学においても同様で、私たちが数学的な概念に真剣に注意を払うのであれば、その象徴体系は常に計り知れないほど簡略化されたものである。それは実用的なだけでなく、非常に興味深いものでもある。なぜなら、それはその主題に関する概念の分析を提示し、それらの相互関係をほとんど絵画的に表現しているからである。もし誰かが記号の有用性を疑うのであれば、以下のいくつかの式が表している意味のすべてを、いかなる記号も使わずに完全に書き出してみるとよい。

代数学の基本法則：――注A、noteA.60を参照。

x + y = y + x, \tag{\quad\ensuremath{(1)}} \ (x + y) + z = x + (y + z), \tag \ x × y = y × x, \tag}{\quad\ensuremath{(3)}} \ (x × y) × z = x × (y × z), \tag}} \ x × (y + z) = (x × y) + (x × z). \tag*{\quad\ensuremath{(5)}

ここで、(1) と (2) はそれぞれ加法の交換法則および結合法則と呼ばれ、(3) と (4) は

は乗法に関する交換法則および結合法則であり、(5)は加法と乗法を結びつける分配法則である。例えば、記号を用いずに述べると、(1)は次のようになる。ある数に別の数を加えた結果は、最初の数に二番目の数を加えた場合と同じである。

この例が示すのは、象徴を用いることで、本来であれば脳の高次機能を用いるべき推論の過程を、目を使ってほとんど機械的に進められるようになるということである。

「自分が何をしているかについて考える習慣を養うべきだ」というのは、あらゆる手習い本や著名人が演説の際に繰り返す、極めて誤った自明の理である。事実はその正反対である。文明は、我々が考えずに行える重要な動作の数を増やすことによって進歩する。思考という動作は、戦場における騎兵突撃のようなものだ。つまり、その回数は厳格に制限されており、新鮮な馬を必要とし、決定的な瞬間にのみ行われなければならないのである。

記号法が備えるべき極めて重要な特性の一つは、一目で見て取れ、かつ素早く書けるよう、簡潔であることである。さて、記号を並置する以上に簡潔に配置する方法はない。したがって、優れた記号法においては、重要な記号の並置は