テイラーの定理がそれらすべての書物において誤って述べられ、証明されていたという仮定は、かなり確かなものと言える。したがって、現代数学の不安なまでの厳密さは、正確さを期すために不可欠である。第二に、それは研究のために不可欠である。それは思考の明晰さをもたらし、ひいては思考の大胆さと、新しい概念の組み合わせを試みる際の豊饒さをもたらす。最初の命題が曖昧でずさんなものであると、思考のあらゆる後続の段階において、適用範囲を限定し意味を説明するために、常識が介入しなければならなくなる。さて、創造的な思考において、常識は悪い主人である。常識の唯一の判断基準は、新しい概念が古い概念に似ているべきだということである。言い換えれば、常識は独創性を抑圧することによってしか機能し得ないのである。
（関数の）連続性の厳密な定義へと歩みを進めるにあたり、「数」の間に「漸進性」という関係は存在しないという言明を、より詳細に考察してみよう。ある数は別の数よりわずかに大きいだけではないのか、言い換えれば、二つの数の差は小さいのではないか、と問う人がいるかもしれない。肝心なのは、抽象的な次元においては、何らかの恣意的な応用を前提としない限り、「大きい数」や「小さい数」といったものは存在しないということである。100万マイルという距離は、恒星を研究する天文学者にとっては小さい数であるが、100万という
ポンドという金額は、年収としては多額である。繰り返すが、4分の1という割合は、慈善活動に寄付する額としては収入の大きな部分を占めるが、私的な用途のために手元に残す額としてはわずかな部分にすぎない。絶対的な意味での「大きい」や「小さい」といった概念が、数に対して抽象的に適用されることはないということを示す例は、いくらでも挙げることができる。我々は2つの数について、一方が他方より大きい、あるいは小さいと言うことはできるが、特定の状況を明示することなしに、ある一つの数が大きい、あるいは小さいと言うことはできない。したがって我々の課題は、関数の値における「小さい」変化や「漸進的な」変化について一切言及することなく、連続性を定義することである。
そのために、いくつかの概念に名前を付けることにします。これは、後に極限や微分積分学を考える際にも有用となるはずです。
引数 の値の「区間」
関数 の（定義域の）ある区間とは、引数の二つの値の間に存在するすべての値のことである。例えば、 と の間の区間は、 がとり得る から までのすべての値、すなわち から までのすべての実数から構成される。しかし、区間の境界となる数は整数である必要はない。引数の値の区間がある数 を含むとは、 がその区間に属していることをいう。例えば、 と の間の区間は、、、 などを含んでいる。
一連の数値はある数 に近似する