変数
数学が学問として始まったのは、ある人物が――おそらくはギリシャ人であろうが――特定の具体的な対象を限定することなく、あらゆるもの、あるいはある種のものについての命題を証明したときのことである。こうした命題は、ギリシャ人によってまず幾何学において提唱された。それゆえに幾何学は、ギリシャにおける偉大な数学的学問となったのである。幾何学の興隆から代数学が真に有効な出発を果たすまでには、後代のギリシャの数学者たちによるわずかな予兆があったにもかかわらず、数世紀もの歳月が流れた。
「任意の」および「ある」という概念は、算術における確定した数の代わりに文字を用いることによって、代数学に導入される。したがって、代数学では「」と言う代わりに、一般化して「 と が任意の二つの数を表すならば、 である」と言う。また、「」と言う代わりに、一般化して「 が任意の数であるならば、 となるようなある数（あるいは複数の数） が存在する」と言う。ついでながら述べておくと、この後者の仮定は――というのも、厳密な究極の形式で表現すれば、それは一つの仮定となるからだが――
哲学にとっても数学にとっても極めて重要である。というのも、それによって無限という概念が導入されるからである。おそらく、数学において文字を確定した数として用いる慣習が完全に廃されたアラビア数字の導入こそが、任意の数やある数という概念のために文字を用いるという技術的な利便性を数学者たちに示唆するのに必要だったのであろう。ローマ人であれば、本書が執筆された年をMDCCCCX.と表記したであろうが、我々は1910と書く。こうして文字は別の用途のために残されることとなった。しかし、これは単なる推測に過ぎない。代数学の興隆の後、ニュートンによって微分積分学が発明され、そして
ライプニッツ、そして進歩における一時的な停止
数学的思考の哲学については、これらの概念に関する限り、これまでほとんど進展がありませんでした。しかし、ここ数年になってようやく、「あらゆる（any）」や「ある（some）」といった概念が数学の本質そのものにいかに根本的な役割を果たしているかが認識されるようになり、その結果として、数学的探究の対象がさらに大きく広がることとなったのです。