幾何学的な相似は次のように定義される。二つの図形が相似であるとは、(i) 一方の図形の任意の点に対して他方の図形の点が対応し、それによってすべての線分に対して対応する線分が、すべての角に対して対応する角が存在すること、そして (ii) 対応する線分の長さが一定の比率にあり、対応する角の大きさが等しいことである。地図（または平面図）における対応する線分の長さと、実物におけるそれとの一定の比率を、地図の縮尺と呼ぶ。縮尺は、すべての地図や平面図の余白に必ず明記されるべきである。すでに指摘した通り、対応する角がそれぞれ等しい二つの三角形は相似である。したがって、二つの三角形 24 と において、角 と角 、角 と角 、そして角 と角 がそれぞれ等しければ、 と は同じ比率にある。
がに対する比、およびがに対する比と同じである。しかし、他の図形については、単に角が等しいというだけで相似が保証されるわけではない。例えば、よく知られた長方形と正方形の例を挙げてみよう。を正方形、そしてを長方形とする。このとき、対応する角はすべて等しい。しかし、正方形の辺は長方形の辺と等しいのに対し、正方形の辺は長方形の辺の約半分の長さである。したがって、正方形が長方形と相似であるというのは正しくない。三角形が持つこの特異な性質は、他の直線図形には見られないものであり、三角形を相似理論における基本的な図形たらしめている。それゆえに測量においては三角測量が基本的な手法となり、そこから「三角法（trigonometry）」という言葉も生まれたのである。
ギリシャ語の「trigonon（三角形）」と「metria（測定）」という二つの言葉に由来する。三角法が生まれるきっかけとなった根本的な問いは次のようなものである。すなわち、三角形の角の大きさが与えられたとき、辺の相対的な大きさについて何が言えるか、という問いである。ここで「辺の相対的な大きさ」と言うのは、相似の理論により、わかるのは辺の比率のみだからである。この問いに答えるために、ある角の大きさを引数とみなして、その関数が導入される。これらの関数の起源は、直角三角形を考えることによって得られたものであり、角の大きさは円弧の長さによって定義されていた。現代の初等的な教科書では、角の大きさを定義するものとしての円弧という根本的な位置づけがいくぶん背景に追いやられてしまっており、これは理論にとっても説明の明快さにとっても好ましいことではない。まず留意すべきは、相似との関係において、円は曲線図形の中で、三角形が直線図形の中で占めるのと同じ根本的な位置を占めているということである。どのような二つの円も相似な図形であり、異なるのは尺度だけである。図26における と のような二つの円の円周の長さは、それぞれの半径の長さに比例する。さらに、もし二つの円が同じ