XIII

中心 $O$ を共有する場合（[図]26の2つの円のように）、任意の角 $AOP$ の辺によって切り取られる弧 $AP$ と $A_1{P}_1$ もまた、それぞれの半径に比例する。したがって、弧 $AP$ の長さと半径 $OP$ の長さの比、すなわち ${\displaystyle \frac{\text{弧 }AP}{\text{半径 }OP}}$ は、半径 $OP$ の長さとは全く無関係な数値であり、分数 ${\displaystyle \frac{\text{弧 }{A}_1{P}_1}{\text{半径 }O{P}_1}}$ と同じ値になる。この「弧を半径で割った」分数こそが、大きさを測定するための適切な理論的方法である。

角である。なぜなら、それは任意の長さの単位にも、直角のような任意の角を分割する任意の方法にも依存しないからである。したがって、分数 ${\displaystyle \frac{AP}{OA}}$ は角 $AOP$ の大きさを表す。ここで、$PM$ を $OA$ に対して垂直に引く。すると、ギリシャの数学者たちは線分 $PM$ を弧 $AP$ の正弦（サイン）と呼び、線分 $OM$ を弧 $AP$ の余弦（コサイン）と呼んだ。彼らは、これら種々の線分相互の関係の重要性が、我々が今しがた説いた相似の理論に依存していることを十分に承知していた。しかし、彼らはこの理論から生じる性質を表現するように定義を構成しなかった。また、彼らは変数である二つの数の組を対応させるという関数に関する現代的な一般的概念を抱いておらず、実際、代数学や代数解析に関するいかなる現代的な概念も持ち合わせていなかった。したがって、彼らにとっては図形の中の特定の線分間の関係についてのみ考えるのが自然であった。我々にとって事情は異なる。我々は、より強力な我々の概念を具体化したいのである。

したがって、現代数学においては、弧 $AP$ を考える代わりに、分数 ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$ を考える。これは $OP$ の長さがどのような値であっても変わらない数である。また、線分 $PM$ および $OM$ を考える代わりに、我々は

${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ および ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ という分数。これらもまた $OP$ の長さに依存しない、すなわち図の縮尺に依存しない数である。そこで、数 ${\displaystyle \frac{PM}{OP}}$ を数 ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$ の正弦（サイン）と定義し、数 ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ を数 ${\displaystyle \frac{PA}{OP}}$ の余弦（コサイン）と定義する。これらの分数形式は印刷するには扱いにくいため、分数 ${\displaystyle \frac{AP}{OP}}$（これは角 $AOP$ の大きさを表す）を $u$ と置き、分数 ${\displaystyle \frac{PM}{OM}}$ を $v$、分数 ${\displaystyle \frac{OM}{OP}}$ を $w$ と置くことにしよう。すると $u,v,w$ は数であり、任意の角 $AOP$ について論じている以上、それらは変数である。しかし、それらの大きさの間には相関関係が存在し、$u$（すなわち角 $AOP$）が与えられれば、$v$ と $w$ の大きさは一意に定まる。したがって、$v$ と $w$ は引数 $u$ の関数である。我々は $v$ を $u$ の正弦、$w$ を $u$ の余弦と呼んできた。この特殊なケースに一般的な関数記法 $y=f(x)$ を適用したい。そこで現代数学においては

私たちが「$f$」の代わりに「$\sin$」と書くのは、そうしたいときである。