方程式の一般形には、一見しただけでは円錐曲線とは認識できないような例外的なケースも含まれている。定数を適切に選ぶことで、その方程式は2本の直線を表すものとなる。さて、2本の交差する直線は、ギリシア的な円錐曲線の概念に当てはまると言っても差し支えないだろう。なぜなら、
上の双円錐の図を見ると、頂点 を通る平面の中には、円錐を で交わる一対の直線として切断するものがあることがわかる。2本の平行な直線という場合は、円柱を円錐の特別な一例とみなすことで含めることができる。その場合、円柱を切断し、かつその軸に平行な平面は、円柱を2本の平行な直線として切断することになる。いずれにせよ、それがそうであるか否かにかかわらず、
古代ギリシアであれば、こうした特殊なケースを円錐曲線と呼ぶことを許容したであろうが、それらは間違いなく、二次代数形式の一般式によって表される曲線の中に含まれている。この事実は注目に値する。というのも、かつては特別扱いされていたあらゆる種類の特殊なケースを一般形式の中に含めることは、近代数学の特徴だからである。これは、近代数学が一般性を追求していることに起因している。