直線は、全体として考察されるとき、現代幾何学が出発点とする根源的な概念となる。しかし、そこから他の種類の線が我々の念頭に浮かび、我々は完全な曲線という概念に到達する。この曲線は、直線があらゆる点において「直線性」という特性を示すのと同様に、そのあらゆる点において何らかの均一な特性を示すものである。例えば、円というものがあるが、これは
あらゆる点において、中心から一定の距離にあるという特性を示しており、また楕円というものがあるが、これは卵形である
曲線。その曲線上の任意の点から、焦点と呼ばれる2つの定点までの距離の和が、
その焦点までの距離の和は、曲線上のすべての点において一定である。円が、二つの焦点が同一の点に重なった楕円の特殊な場合にすぎないことは明らかである。なぜなら、そのとき二つの距離の和は、単に円の半径の二倍となるからである。古代人は楕円と円の性質を知っており、当然のことながら、それらを全体として捉えていた。例えば、ユークリッドは円の単なる線分（すなわち断片）から出発して、それを延長するというようなことは決してしない。彼は常に、描かれた円の全体を考察の対象とする。幾何学において円が真の基本線ではないことは不幸なことであり、そのために、直線をめぐる彼の不完全な考察が、より重大な結果を招くことになってしまったのである。
ある点において、どのような
ある点が何らかの共通の性質を示すことは、幾何学において「軌跡（locus）」という用語で表現される。軌跡とは、ある与えられた性質をすべて備えた点の集合によって形成される曲線（平面に限定しなければ曲面）のことである。点同士が持ちうるあらゆる相互関係上の性質に対して、その性質を備えたすべての点からなる何らかの軌跡が対応する。全体として捉えられた軌跡の性質を研究する際、我々は軌跡上の任意の点、あるいは複数の点を考察する。このように、幾何学において我々は再び「変数」という根本的な概念に出会うのである。さらに、軌跡を直線、円、楕円といった見出しのもとに分類する際、我々は再び「形式」という概念を見出すことになる。
代数学において我々が変数、変数間の相関関係、そして代数的形式という概念による相関関係の類別を扱うのと同様に、幾何学においても我々は変数点、ある条件を満たすことで軌跡を形成する変数点、そして同形式の条件という概念による軌跡の類別を扱うのである。