VII

2 ) に対応する。したがって、 O R は

は、新しい積が $O Q$ に対して直角であり、かつ同じ長さであることを表している。 $O Q$ の長さを規定する法則が前述のケースと同じであること、すなわちその長さが掛け合わされる2つのベクトルの長さの積であることに注目されたい。しかし今や、 $O N$ が「横座標」軸 $O X$ 上にある代わりに $O N_{1}$ が「縦座標」軸 $O Y$ 上にあるため、 $O P$ の向きは直角分だけ回転している。

これまでの乗法の例において、我々はベクトル $O P$ がベクトル $O N$ および $O N_{1}$ によって修飾されるものと見なしてきた。この思考の順序を逆転させ、ベクトル $O N$ および $O N_{1}$ がベクトル $O P$ によって修飾されるものと考えることで、方向に関する一般法則の手がかりが得られるはずである。長さに関する法則は影響を受けず、結果として得られる長さは、二つのベクトルの積の長さとなる。拡大された $O N$ （すなわち $O Q$ ）の新しい方向は、 $O X$ から $O Y$ へ向かう（反時計回りの）回転方向に、角 $X O P$ と等しい角度だけ回転させることによって求められる。この回転によって $O Q$ が $O P$ と同一直線上に重なるのは、この特定の事例における偶然に過ぎない。同様に、 $O N_{1}$ と $O P$ の積を考える。拡大された $O N_{1}$ （すなわち $O R$ ）の新しい方向は、 $O N$ を反時計回りの回転方向に、角 $X O P$ と等しい角度だけ回転させることによって求められる。すなわち、角 $N_{1} O R$ は角 $X O P$ と等しい。