XV

純粋数学の領域からもう一つの例を挙げよう。関数 $x^2$ について、その引数 $x$ のいかなる値に対しても、増加率を求めることにする。我々はまだ、「増加率」という言葉が何を意味するのかを厳密に定義していない。この特定の事例に関連させて、その意味を把握してみよう。$x$ が $x+h$ に増加するとき、関数 $x^2$ は $(x+h{)}^2$ に増加する。したがって、引数の $h$ という増加に対して、全増加量は $(x+h{)}^2-x^2$ となる。ゆえに、$x$ から $(x+h)$ までの区間全体において、引数の単位増加量あたりの関数の平均増加量は ${\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}$ である。しかし $(x+h{)}^2=x^2+2hx+h^2$ であるから、$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h$ となる。このように、$2x+h$ が、引数の単位増加量あたりの関数 $x^2$ の平均増加量であり、この平均は $x$ から $x+h$ までの区間についてとられたものである。しかし $2x+h$ は、区間の大きさである $h$ に依存している。我々が求めているもの、すなわち引数の値 $x$ における増加率は、$h$ を限りなく小さくしていくことによって明らかに得られるはずである。したがって、$h$ が

限りなく減少するとき、我々は $2x$ を、$x$ という引数の値における $x^2$ の増加率であると言う。

ここで私たちは再び、「$h$ が限りなく減少するときの極限において」という言葉の使用に際し、無限小という概念に直面させられているようである。ライプニッツは、神秘的に聞こえるかもしれないが、無限小という量、そして当然ながらそれに対応する無限小の数が実際に存在すると考えていた。ニュートンの言葉や考え方はより現代的な路線に近いものであったが、ライプニッツの考えをかなり間接的な言葉で説明している以上のことを明らかにしていると見なされるほど、明確にこの問題を説明することには成功しなかった。この主題に対する真の説明は、ワイエルシュトラスとベルリン学派の数学者たちによって初めてなされたのである。