XIII

すると、この一般化された角の正弦は ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ であり、その余弦は ${\displaystyle \frac{x}{r}}$ となる。これらの定義により、関数関係 $v=\sin u$ および $w=\cos u$ が、最終的にすべての正の実数値 $u$ に対して定義される。負の値 $u$ に対しては、単に $Q$ を反対方向（時計回り）に回転させるものとする。しかし、一般的な手順はすでに説明したのであるから、この点についてこれ以上詳しく述べる必要はないだろう。

このように定義された正弦および余弦の関数は、三角法がその起源を持つ三角形に関する問題を扱うことを可能にする。しかし、私たちは今、三角法を、その重要性が（中略）である「周期性」というより広い概念と結びつけることができる段階にある。

前章で説明した通りである。関数 $\sin u$ および $\cos u$ が $u$ の周期関数であることは容易に理解できよう。なぜなら、点 $A$ から出発して円周上を回転する動点 $Q$ の位置 $P$（[図]27参照）を考えてみればよいからである。この位置 $P$ は、角 ${\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$、および $2\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$、 $4\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$、 $6\pi +{\displaystyle \frac{\text{arc }AP}{r}}$、……と無限に続く角を示している。さて、これらの角はすべて同じ正弦および余弦、すなわち ${\displaystyle \frac{y}{r}}$ および ${\displaystyle \frac{x}{r}}$ を持つ。したがって、以下のことが容易に理解できる。

$u$ がどのような値をとるとしても、偏角 $u$、$2\pi +u$、$4\pi +u$、$6\pi +u$、$8\pi +u$ など、無限に続くこれらはすべて、対応する正弦（サイン）および余弦（コサイン）について同じ値を持つ。言い換えれば、 {4} \sin u &= \sin(2\pi + u) &&= \sin(4\pi + u) &&= \sin(6\pi + u) &&= \text{等々}; \ \cos u &= \cos(2\pi + u) &&= \cos(4\pi + u) &&= \cos(6\pi + u) &&= \text{等々}。

この事実は、$\sin u$ と $\cos u$ が周期 $2\pi$ の周期関数であるという言葉で表現される。

関数 y = sin x のグラフ（ここでは v や u をやめて、より馴染み深い y と x を用いることに注意されたい）を[図]28に示す。 x 軸上には数 π を表すために任意の長さをとり、 y 軸上には数 1 を表すために任意の長さをとる。正弦（サイン）と余弦（コサイン）の数値は決して1を超えることはない。図が