IX

紀元330年頃に生まれ、彼はそれまでの長い先人たちの業績を体系化し、拡張したに過ぎなかった。その先人たちの中には、天才と呼ぶべき人物もいた。彼以降、何世代にもわたって数学者たちがこの学問の改良に努めた。また、この学問は、進歩を阻む致命的な障害、すなわち、似たような出自や見解を持つ狭い集団のみによって研究されるという事態に陥ることもなかった。むしろその逆であり、17世紀までには、それは

エジプト人やギリシャ人、アラブ人やドイツ人といった人々の思考を経てきた。それにもかかわらず、これほど多様な知性によって、これほど長い時代をかけて注ぎ込まれた多大な労力の末でさえ、その最も重要な秘密は未だ解き明かされていなかったのである。

初等幾何学の基礎を少しでも学んだ者であれば、何らかの指針となる手法が欠けているという感覚を抱かずにはいられないはずである。個々の命題は、その都度、新たな創意工夫を凝らして証明しなければならない。そのような状態にある学問は、科学的思考にとって最も不可欠なもの、すなわち「方法」を欠いていると言える。さて、座標幾何学の特筆すべき点は、それが初めて「方法」を導入したことにある。数学という学問において、遠大な推論は理論的にさほど重要ではない。学問というものは、その本質が、その範囲内に含まれるあらゆる主題について容易に情報を得られるような、偉大で体系的な手法の提示から成り立つようになって初めて完成されるのである。学問の発展とは、第一義的には量の増大ではなく、概念の発展である。そして概念が発展すればするほど、わざわざ書き留める価値のある推論は少なくなっていく。あいにく数学というものは、教科書において無数の補助的な命題が繰り返されることで常に煩わされている。それらの命題は、より一般的な真理の特殊な事例として吸収されてしまったことで、もはや重要性を失っているにもかかわらずである。そして、すでに強調してきた通り、一般性こそが数学の魂なのである。

繰り返しになるが、座標幾何学は、すでに指摘した数学のもう一つの特徴、すなわち数学という学問は発展するにつれて互いに組み合わさり、共通の概念を分かち合うようになるという性質を如実に示している。数学の諸分野は絶えず一般化の過程を経ており、一般化されるにつれてそれらが融合していくと言っても過言ではない。ここでもその理由は、数学という学問の本質そのもの、すなわちその一般性に由来している。つまり、数学が、あらゆる事物が「事物」として存在するがゆえに適用される普遍的な真理を扱う学問であるという事実に起因しているのである。この関連において、座標幾何学の興味深い点は、空間の科学として始まった幾何学と、数の科学に起源を持つ代数学とを結びつけたという事実にある。

それでは、これら二つの科学の主要な概念を振り返り、デカルトの座標法によってそれらがどのように関連付けられているかを見ていくことにしよう。とる