のような一般的な代数形式で表される相関関係には、その幾何学的条件がすべて同じ形式であるような、ある一般的な型の軌跡が対応する。我々はこうして、二つの科学の間で概念と結果を完全に入れ替えることができるという境地に達した。それぞれの科学は互いに光を投げかけ、それ自体が計り知れないほど強力なものとなる。冒険と発見の歴史的な瞬間に人々が抱いた感情に思いを馳せると、心が揺さぶられずにはいられない――コロンブス
彼が初めて西の岸辺を目にしたとき、ピサロが太平洋を凝視したとき
海、そして電気の火花が走った時のフランクリン
凧の糸から、ガリレオは彼が
初めて望遠鏡を天に向けたときのことである。こうした瞬間は、思考という抽象的な領域に生きる学生たちにも与えられるものであり、その中でも特筆すべきは、デカルトがベッドの中で横たわり、あの方法を考案した朝のことであろう。
座標幾何学の
座標幾何学の概念を一度理解すると、直ちに心に浮かぶ疑問は、「よく知られた代数形式には、どのような種類の軌跡が対応するのか」というものである。例えば、一般的な代数形式の中で最も単純なものは である。これに対応する軌跡の種類は
これに対し、これは直線であり、逆にどのような直線に対してもこの形式の方程式が対応する。幾何学的な軌跡の中で最も単純なものが、代数的な形式の中で最も単純なものに対応しているのは幸運なことである。実際、幾何学的な単純さと代数的な単純さの間に見られるこの一般的な対応こそが、この学問全体に力を与えているのである。それは、幾何学と代数学の結びつきが偶然や人為的なものではなく、根深く本質的なものであるという事実に由来している。軌跡に対応する方程式は、その軌跡の「方程式」と呼ばれる。直線のいくつかの方程式の例を挙げれば、この主題がより明確になるだろう。14