関数を正弦波の和として表すことを、その関数の「調和解析」と呼ぶ。例えば、海岸のどの地点においても、潮汐は周期的に満ち引きを繰り返している。ドーバー海峡に近い地点であれば、地球の自転に起因して1日に2回の満潮と干潮がある。この日々の潮汐の満ち引きは、2つの潮汐波が存在するために複雑なものとなっている。一つはイギリス海峡を遡ってくる波であり、もう一つはスコットランドの北を回り込み、北海を南下してくる波である。さらに、満潮の高さには差がある。これは、月だけでなく太陽にも潮汐を引き起こす影響力があるためである。このようにして、月単位やその他の周期がもたらされるのである。
予測不可能な風による例外的な影響は考慮に入れないものとする。潮汐の調和解析における一般的な問題は、191ページの式にあるような項の集合を見出すことであり、それによって各集合が、ある一つの「周期」の起潮力による寄与を、任意の時点における潮位に対して近似的な精度で与えるようにすることである。したがって、引数 は、任意の都合のよい開始時点から計算した時間となる。
繰り返しになるが、ヴァイオリンの弦の振動運動も同様の調和解析に付される。エーテルや空気の振動もまた同様であり、それらはそれぞれ光の波と音の波に対応している。我々はここで、数理物理学の根本的なプロセスの一つ、すなわち「周期性」という偉大な自然の事実を扱うための一般的な手法そのものに直面しているのである。