XIV

発散級数の明白な例は、$1$、$2$、$3$、……、$n$、すなわち整数の大きさを順に並べた級数である。無限大の和としてどのような数 $l$ をとろうとしても、またどのような近似の基準 $k$ を選ぼうとしても、級数の項を十分に多くとれば、その和と $l$ との差を常に $k$ より大きくすることができる。また、発散級数の別の例として、$1$、$1$、$1$、……、すなわち各項が $1$ に等しい級数がある。この場合、$n$ 項の和は $n$ であり、この和は $n$ が増加するにつれて限りなく大きくなる。さらにもう一つの発散級数の例として、$1$、$-1$、$1$、$-1$、$1$、$-1$、……、すなわち項が交互に $1$ と $-1$ になる級数がある。奇数項までの和は $1$ であり、偶数項までの和は $0$ である。したがって、級数 $s_1$、$s_2$、$s_3$、……、$s_n$ の各項は、限りなく増加するわけではないものの、ある極限値に近づくことはない。

$u_1$, $u_2$, …, $u_n$ の和が無限大に収束するための条件は、$n$ が増加するにつれて $u_n$ が限りなく減少することである、と想定したくなるかもしれない。もしそうであれば、数学は今よりもずっと容易な学問であっただろう。あいにく、その想定は正しくない。

例えば、級数 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots ,\frac{1}{n},\dots$ は発散する。このことが成り立つのは容易に見て取れる。なぜなら、$n$ 項の和を考えてみればよい。

( n + 1 ) 番目の項から始まるとする。これらの n 個の項は 1 n + 1 , 1 n + 2 , 1 n + 3 , , 1 2 n であり、これらは n 個存在し、その中で 1 2 n が最小である。したがって、それらの和は 1 2 n の n 倍よりも大きい、すなわち 1 2 よりも大きい。さて、無限和が存在するならばそれを変えることなく、隣接する項を足し合わせることで、級数