2 π の周期で繰り返されることに注目されたい。このグラフは、あらゆる他の関数がそこから構成される、最も単純な形式の周期関数を表している。余弦は正弦と根本的に異なるものを与えるわけではない。なぜなら、 cos x = sin ( x + π 2 ) であることは容易に証明できるからであり、したがって cos x のグラフは、[図]28を単に修正したものであることがわかる。
図上の本来の位置ではなく、軸上の と記された点を通り、軸を描くこと。
28において、周期が任意の指定された値 を持つ「正弦」関数を構成することは容易である。なぜなら、単に と書き、次に とすればよいからである。
= \sin \left(\frac{2\pi x}{a} + 2\pi\right) = \sin \frac{2\pi x}{a}.$ したがって、この新しい関数の周期は今や となる。ではここで、どのようなものかについての一般的な定義を与えよう。
周期関数とは何を意味するか。関数 が周期 を持つ周期関数であるとは、(i) 任意の の値に対して が成り立ち、かつ (ii) 任意の の値に対して となるような より小さい数 が存在しないことをいう。