について、 f ( x ) の値と c との差が k 未満になる、ということを意味します。例えば、 2 の近傍において、関数 x は基準 .0001 の範囲内で 1.41425 に近似します。これが成り立つのは、 1.99996164 の平方根が 1.4142 であり、 2.00024449 の平方根が 1.4143 だからです。したがって、 2 を端点としてではなく含む区間 1.99996164 から 2.00024449 の範囲内にある x の値に対して、関数 x の値はすべて 1.4142 と 1.4143 の間に収まり、
したがって、それらはすべて との差が 未満である。この場合、望むならば、 や といった、より小さな近似の基準を定めることもできる。別の例として、 の近傍において関数 が という基準内で に近似する場合を考えてみよう。 であり であるから、 を端点として含まない、求めるべき区間 から が見つかったことになる。この例は、数 の近傍における関数 についての言明が、 のときの の値についての言明とは別物であるという事実を浮き彫りにしている。その言明が真となるような区間を提示することが求められるのである。したがって、 であるという事実だけでは、 の近傍において関数 が に等しいと言うことは正当化されない。そのような性質を持つ区間を提示することはできないため、この言明は誤りとなる。また、 であるという事実だけでは、 の近傍において関数 が という基準内で に近似すると言うことも正当化されない。もっとも、実際にはその言明が真であることは今しがた証明されたわけであるが。
以上の概念を理解すれば、近代数学の基礎を理解したことになる。これらの概念と類似した考え方については、「級数」の章で再び触れ、さらに「微分法」の章でも改めて取り上げることにする。