XIV

n ! 」と表記される。したがって、 2 ! = 2 × 1 = 2 であり、 3 ! = 3 × 2 × 1 = 6 であり、 4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 であり、 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 である。 n が増加するにつれて、 n ! の値は非常に急速に増加する。そのため、 100 ! は 99 ! の100倍もの大きさになるのである。

$n$の値が小さい場合、$n!$が$n$個のものを順に並べる方法の数であることは容易に確かめられる。例えば、$a$と$b$の2つのものを考えると、これらには$ab$と$ba$という2通りの順序が可能であり、$2!=2$となる。

今一度、$a$、$b$、$c$ という3つのものを取り上げてみましょう。これらは、$abc$、$acb$、$bac$、$bca$、$cab$、$cba$ という6通りの順序をとることができ、$3!=6$ となります。同様に、$a$、$b$、$c$、$d$ という4つのものを並べる順序についても、24通りとなります。

無限の集合体について考えるとき――例えば

例えば、すべての整数の集合、あるいはすべての分数の集合、あるいはすべての実数の集合といったものに目を向けると、私たちは直ちに「順序型」の理論という複雑な問題に突き当たります。この主題については、第VI章において、整数、分数、そして実数の取りうる順序を考察する際に触れました。順序型に関するこの問題全体は、数学の中でも比較的新しく、かつ非常に重要な一分野を形成しています。本稿ではこれ以上深く立ち入ることはしません。私たちがこれから考察する無限級数はすべて、整数を大きさの昇順に並べたものと同じ順序型を持っています。すなわち、初項が存在し、初項を除いて各項にはその両隣にそれぞれ一つずつ隣接する項が存在し（もちろん初項には隣接する項は一つしかありません）、したがって、$m$ が（ゼロ以外の）任意の整数であれば、必ず第 $m$ 項が存在するというものです。有限の