より小さい数に制限され、同様に に開かれた「領域」も制限される。次に、正負の整数のみを考え、次のような関係をとってみよう。
は、そのような数の組によって満たされる。このとき、 にどのような整数値を与えても、 はそれに対応する一つの整数値をとることができる。したがって、 の「領域」は、これらの正または負の整数の範囲内で制限を受けない。しかし、 の「領域」は二つの点で制限されている。第一に、 は正でなければならず、第二に、 が整数である以上、 は平方数でなければならない。したがって、 の「領域」は、、、、、……すなわち、、、、、……という整数の集合に制限される。
数の対の間の関係の一般的な性質についての研究は、次のように構成された図を用いることによって、大いに容易になる。1
直角に交わる2本の直線 と を引き、任意の数 を 単位で表すこととする。
（任意の尺度で）軸に沿って長さをとり、という任意の数についても（任意の尺度で）軸に沿って単位の長さをとる。したがって、軸上のが単位の長さであり、軸上のが単位の長さであるならば、平行四辺形を完成させることで、数の組およびに対応する点を見出すことができる。各点には一つの数の組が対応し、各数の組には一つの点が対応する。この数の組は、その点の座標と呼ばれる。すると、ある一定の関係を満たす座標を持つ点は、それらすべてが直線上に並ぶ場合は線を描くことによって、あるいはそれらがすべてある領域内の点である場合は領域を塗りつぶすことによって、便利な方法で示すことができる。もしその関係がやといった方程式で表せるならば、点は線上に並び、前者の場合は直線となり、後者の場合は曲線となる。例えば、正の数のみを考える場合、を満たす座標を持つ点は、1において直線上に並ぶ。ここで、である。このように、直線のこの線分は、正の数という制限下におけるその関係の性質を視覚的に表現したものとなる。
2つの変数の関係を示すもう一つの例として、空気のようなある気体物質の一定質量における圧力と体積の変化を考察することが挙げられる。