O は存在するが、どの項にも直前の項や直後の項は存在しない。これは容易に理解できる。なぜなら、任意の二つの分数の間には、常にその中間の値を持つ別の分数を見つけることができるからである。これを行う非常に単純な方法は、二つの分数を足し合わせ、その結果を二等分することである。例えば、
との間には、分数、すなわちが存在し、そしてとの間には
分数 、すなわち が存在し、以下同様に無限に続く。この性質ゆえに、この級数は「コンパクト」であると言われる。この級数には終点が存在せず、直線 上を進むにつれて限りなく増大していく。一見すると、このように分数から得られる級数の型は、整数、分数、無理数をすべて含めたもの、すなわち直線 上のすべての点から得られるものと同じであるように思われるかもしれない。これまで述べてきた分数の級数に関するすべてのことは、実数全体の級数にも等しく当てはまる。しかし、ここから述べる重要な違いが存在する。分数の級数には無理数が欠けているため、ある種のクラスに終点が存在しないことになる。例えば、無理数 を考えてみよう。実数の級数において、これは二乗が 未満であるすべての数と、二乗が より大きいすべての数との間に位置している。しかし、無理数を考慮に入れず分数の級数のみに限定すると、 を持ち出すことができないため、この級数を二つの部分に分ける、すなわち一方側のすべての要素の二乗は 未満であり、他方側のすべての要素の二乗は より大きいという性質を持つような分数は存在しない。したがって、分数の級数においては
があるべき場所に、準ギャップが存在する。分数系列におけるこうした準ギャップの存在は些細なことのように思えるかもしれない。しかし、これを読んでいる数学者であれば誰しも、極限が存在し得ないということが
あるいは極大値をある種の数に限定し、それが数の系列全体に及ばないようにすることは、決して小さな弊害ではない。この困難を回避するために、隙間のない完全な系列を得るべく、無理数に頼るという手段がとられるのである。
この二つの級数には、さらに根本的な違いがもう一つある。我々は、整数のような級数において分数を並べ替えることができる。つまり、最初の項を定め、各項に直後の項（後続項）があり、（最初の項を除いて）直前の項（先行項）があるように並べ替えるのである。これがどのようにして可能かを示そう。分数と整数の級数に含まれるすべての項を、分数形式で書き表すことにする。すなわち、 1 は 1 1 、 2 は