円錐曲線が数学者たちの前に最初に現れたのは、次のような形であった。頂点（あるいは尖点）を とし、円形の底面 の上に立つ円錐（[図]15参照）を考えてみよう。例えば、円錐形のランプシェードを
電灯は、そのような曲面の例としてよく挙げられる。さて、を通り、その曲面上にある「母線」をすべて後方に延長してみよう。その結果得られるのは双円錐であり、は、という断面とはを挟んで反対側にある、もう一つの円形の断面である。円錐の軸は、これらの円の中心をすべて通り、互いに平行である円の平面に対して垂直である。図において、紙面よりも奥にあると想定される曲線部分は点線で、紙面上または手前にある部分は実線で示されている。ここで、この双円錐が軸に対して垂直ではない（あるいは、必ずしも垂直とは限らない）平面によって切断されると仮定する。すると、3つのケースが生じ得る。
(1) 平面は円錐を閉じた
のような楕円形の曲線は、2つの半円錐のうちの片方に完全に含まれる。この場合、平面はもう一方の半円錐とは全く交わらない。このような曲線を楕円と呼ぶ。これは楕円形の曲線である。円錐のこのような切断面の特殊なケースとして、平面が軸 に対して垂直である場合があり、そのときの切断面（ や など）は円となる。したがって、
円は楕円の特殊なケースである。
(2) その平面は、円錐の「母線」のひとつに沿って接する接平面になぞらえることができる。例えば、
図中の曲線 は、母線 に沿って円錐に接する接平面と平行である。この曲線は依然として半円錐の一方に限定されているが、もはや閉じた楕円曲線ではなく、半円錐の母線を頂点から遠ざかる方向に延長する限り、無限に続く。このような円錐曲線を放物線と呼ぶ。
(3) 平面が両方の半円錐を切断する場合がある。