Variables

Las matemáticas como ciencia comenzaron cuando por primera vez alguien, probablemente un griego, demostró proposiciones sobre cosas cualesquiera o sobre algunas cosas, sin especificar cosas particulares y definidas.

Estas proposiciones fueron enunciadas por primera vez por los griegos para la geometría; y, en consecuencia, la geometría fue la gran ciencia matemática griega. Tras el surgimiento de la geometría pasaron los siglos antes de que el álgebra tuviera un comienzo realmente efectivo, a pesar de algunos tenues anticipos por parte de los matemáticos griegos tardíos.

Las ideas de cualquier número y de algún número se introducen en el álgebra mediante el uso de letras, en lugar de los números definidos de la aritmética.

Así, en vez de decir que $2+3=3+2$, en el álgebra generalizamos y decimos que, si $x$ e $y$ representan dos números cualesquiera, entonces $x+y=y+x$.

De nuevo, en lugar de decir que $3>2$, generalizamos y decimos que si $x$ es un número cualquiera, existe algún número (o números) $y$ tal que $y>x$.

Podemos señalar de paso que esta última suposición —pues al ser expresada en su forma estricta y última es una suposición— es de vital importancia, tanto para la filosofía como para las matemáticas; ya que mediante ella se introduce la noción de infinito.

Tal vez se requirió la introducción de los números arábigos, con los cuales el uso de letras para representar números definidos ha sido completamente descartado en las matemáticas, para sugerir a los matemáticos la conveniencia técnica del uso de letras para las ideas de cualquier número y algún número.

Los romanos habrían indicado el año en que esto está escrito en la forma MDCCCCX., mientras que nosotros lo escribimos 1910, reservando así las letras para el otro uso. Pero esto es meramente una especulación.

Tras el surgimiento del álgebra, el cálculo diferencial fue inventado por Newton y

Leibniz, y luego se produjo una pausa en el progreso de la filosofía del pensamiento matemático en lo que respecta a estas nociones; y no fue hasta hace muy pocos años que se ha comprendido cuán fundamentales son todo y algún para la naturaleza misma de la matemática, con el resultado de abrir aún más temas para la exploración matemática.

Hagamos ahora algunas afirmaciones algebraicas sencillas, con el objeto de comprender exactamente cómo surgen estas ideas fundamentales.

(1) Para cualquier número $x$, $x+2=2+x$;