IX. Geometría analítica

Por ejemplo, si $x$ e $y$ son dos variables, podemos concebirlas como correlacionadas por las ecuaciones $x+y=1$, o por $x-y=1$, o de cualquier otra manera entre un número indefinido de ellas. Esto conduce de inmediato a la aplicación de la idea de forma algebraica. Pensamos, de hecho, en cualquier correlación de algún tipo de interés, elevándonos así desde la concepción inicial de números variables a la concepción secundaria de correlaciones variables de números.

Así generalizamos la correlación $x+y=1$, en la correlación $ax+by=c$. Aquí $a$, $b$ y $c$, al ser letras, representan cualquier número y son de hecho ellas mismas variables.

Pero son las variables que determinan la correlación variable; y la correlación, una vez determinada, correlaciona los números variables $x$ e $y$. Las variables, como $a$, $b$ y $c$ anteriores, que se utilizan para determinar la correlación se denominan «constantes» o parámetros.

El uso del término «constante» en este contexto para algo que es realmente una variable puede parecer extraño a primera vista; pero en realidad es muy natural. Pues la investigación matemática se ocupa de la relación entre las variables $x$ e $y$, después de que se suponga que $a$, $b$, $c$ han sido determinadas. Así que, en cierto sentido, en relación con $x$ e $y$, las «constantes» $a$, $b$ y $c$ son constantes.

De este modo, $ax+by=c$ representa el ejemplo general de cierta forma algebraica, es decir, de una correlación variable perteneciente a cierta clase.

Nuevamente generalizamos $x^2+y^2=1$ en $a{x}^2+b{y}^2=c$, o aún más en $a{x}^2+2hxy+b{y}^2=c$, o, todavía más, en $a{x}^2+2hxy+b{y}^2+2gx+2fy=c$.

Aquí de nuevo nos vemos conducidos a correlaciones variables que están indicadas por sus diversas formas algebraicas.

Ahora pasemos a la geometría.

El nombre de la ciencia trae de inmediato a nuestras mentes la idea de figuras y diagramas que muestran triángulos, rectángulos, cuadrados y círculos, todos en relaciones especiales entre sí.

El estudio de las propiedades simples de estas figuras es la materia de la geometría elemental, tal como se presenta correctamente al principiante. Sin embargo, un momento de reflexión mostrará que este no es el verdadero concepto de la disciplina.

Puede que sea correcto que un niño comience su razonamiento geométrico con formas, como triángulos y cuadrados, que ha recortado con tijeras. ¿Qué es, sin embargo, un triángulo? Es una figura trazada y delimitada por tres trozos de tres líneas rectas.

Ahora bien, el límite de los espacios mediante fragmentos de líneas es una idea muy complicada, y en absoluto una que ofrezca esperanza alguna de exhibir las sencillas concepciones generales que deberían constituir los cimientos del tema. Queremos algo más simple y más general.

Es esta obsesión con las ideas iniciales equivocadas —ideas muy naturales y buenas para la creación de los primeros pensamientos sobre el tema— la que fue la causa de la estéril comparativa del estudio de la ciencia durante tantos siglos. A la geometría analítica, y a Descartes, su inventor, se le debe atribuir el mérito de revelar los verdaderos objetos simples para el pensamiento geométrico.